【压轴题】高一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)

【压轴题】高一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩
，
关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数
解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞ B ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(1,+)∞
2．已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数1
()log ()(011
a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．
12
B 2
C 2
D ．2
4．已知0.11.1x =， 1.1
0.9y =，2
3
4
log 3
z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>
C ．y z x >>
D ．x z y >>
5．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>
6．已知1
3
1log 4a =，154
b
=，136c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
7．已知函数()2
x x
e e
f x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有
()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．()0,2
C ．(),1-∞
D ．(]
1-∞， 8．若二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
9．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知函数()ln f x x =，2
()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]
1,0x ∈-时，()cos 12
x
f x π=-，若函
数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5
B ．
()2,4
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,53⎛⎫
⎪⎝⎭
12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知1,0()1,0
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________
15．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；
16．设定义在[]22-,
上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________． 17．若函数在区间
单调递增，则实数的取值范围为
__________．
18．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=
5
2
，a b =b a ，则a= ，b= . 19．已知函数()232,1
1,1
x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数
a =________________.
20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则
()4f =______. 三、解答题
21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.
22．已知函数()()
sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2
π
ϕ<)，在同一个周期内，
当6
x π
=
时，()f x 取得最大值
322
，当23x π=时，()f x 取得最小值2
2-
. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移
12
π
2
个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.
23．已知集合{}
24A x x =-≤≤，函数()()
2log 31x
f x =-的定义域为集合B .
(1)求A B U ；
(2)若集合{}
21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 24．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >. （1）求()1f ；
（2）求证：()f x 在定义域内单调递增;
（3）求解不等式12
f
<
. 25．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;
(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 26．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．
()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；
()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大
值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解
【详解】
解：因为22
log ,0()2,0.
x x
f x x x x ⎧>=⎨
--≤⎩，，可作函数图象如下所示：
依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数
()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令
12341
10122
x x x x <-<<<
<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以34
1x x =，则
34
1
x x =
，()41,2x ∈ 所以123444
1
2x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =
+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
1234441120,2x x x x x x ⎛⎫
∴+++=-+
+∈ ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x
g x x
'=-
+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在
()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1
()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有
()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =
+-中,10
ln(1)0
x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且
0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数()1
log ()=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．
【详解】
由函数()1
log ()=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但
在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，
当x=1时，1
(1)log (
)=-log 2=111
a a f =+, 解得1=
2
a ， 故选A ．
本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】
解：0.1
x 1.1 1.11=>=Q ， 1.10
0y 0.90.91<=<=，2
23
3
4
z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由对数的运算化简可得2log a =
log b =，结合对数函数的性质，求得
1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得24222log 31
log 3log 3log log 42
a ==
==
28222log 61
log 6log 6log log 83
b ==
==，
2<
<
，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，
由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性
比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】
因为154b
=
，所以551
log log 104
b =<=，
又因为(1
3333
1log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
都
有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：
f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；
由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
都有m ﹣1＜s inθ成立；
∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；
∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．
点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由已知可知，()f x 在()1
，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】
∵二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
∴()f x 在()1
，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a
=
， ∴0
1
12a a
<⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y
[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)
1，f (1)＝0， 所以a ＝2，
所log a
56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
因为函数()ln f x x =，()2
3g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对
称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.
解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
11．D
解析：D 【解析】
试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数
()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只
有3个交点.由数形结合分析可知，01
11
{log 31,53
log 51
a a a a <<>-⇒
<<<-，故D 正确. 考点：函数零点
【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．A
解析：A 【解析】 由选项可知，
项均不是偶函数，故排除
，
项是偶函数，但项与轴没有交点，
即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
二、填空题
13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：
解析：3
{|}2
x x ≤
【解析】
当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 3
22
x -≤≤
；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并
解集为32x x ⎧⎫≤
⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧
⎫
≤⎨⎬⎩⎭
.
14．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般
解析：1
(,0)4
-
【解析】 【分析】
令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】
令20x t =>,则方程化为:20t t a --=
Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,
1212
140
100
a x x x x a ∆=+>⎧⎪
∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.
故答案为: 1(,0)4
-. 【点睛】
本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.
15．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞
【解析】 【分析】
根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()705050
7027127
m m m m m m ⎧-+≤⎪
-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪
⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式
组即可. 【详解】
当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，
当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，
当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，
若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，
根据一次函数的单调性和函数值可得()()705050
7027127
m m m m m m ⎧-+≤⎪
-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，
故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】
本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
16．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上
解析：11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】
解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，
()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数
()f x 在区间[]0,2上单调递减，
(1)()f m f m -<，
0|||1|2m m ∴<-剟，
得112m -<
…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
． 【点睛】
本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在
求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,
来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．
17．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：
【解析】由题意得
或
，解得实数的取值范围为
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间
上
单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.
18．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42
【解析】
试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为215
22
t t a b t +=
⇒=⇒=， 因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5
log log 2
a b b a +=
时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5
log log 2
a b b a +=
的根有两个，由于增根导致错误 19．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题
解析：2 【解析】 【分析】
利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.
【详解】
由题意得：()0
0323f =+=，()2
3331103f a a =-+=-，
所以由()()01032f
f a a =-=， 解得2a =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.
20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82
【解析】 【分析】
采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】
令()3x
f x t -=，所以()3x
f x t =+，
又因为()4f t =，所以34t t +=，
又因为34t
y t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31x
f x =+，所以()4
43182f =+=.
故答案为：82. 【点睛】
本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()
f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.
三、解答题
21．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】
（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.
（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()2
2211x m x --=-，计算得
到答案. 【详解】
（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，
()()12122
212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x
x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭
因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->， 即
121122
1x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫
-> ⎪-⎝⎭
，()()120f x f x ->.
所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. （2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+
⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫
=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222
(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭
， 所以()2
2211x m x --=-，所以()2
11m -=，0m =或2m =. 【点睛】
本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 22．(1)(
)262f x x π⎛
⎫=
++
⎪⎝
⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；
(2)2a ∈⎣ 【解析】 【分析】
（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式； （2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,
]2
π
上的单调性，而()g x a =有两个
解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得． 【详解】
(1)
由题意知,2
2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩
解得A =
，B =
.
又
22362
T πππ=-=，可得2ω=.
由632
2f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=++=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 解得6
π
=
ϕ.
所以()262f x x π⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭， 由2222
62
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，
解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k ∈Z .
又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾
犏犏臌
.
(2)函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，得到函数()
g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,
]12π是递增，在[,]122
ππ
上递减，
要使得()g x a =在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有2个不同的实数解， 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，
所以a ∈⎣. 【点睛】
本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础． 23．(1){}2x x ≥-；(2)(]
2,3 【解析】 【分析】
（1）由对数函数指数函数的性质求出集合B ，然后由并集定义计算；
（2）在（1）基础上求出A B I ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论． 【详解】
(1)由310x ->，解得0x >， 所以{}
0B x x =>. 故{}
2A B x x ⋃=≥-. (2)由{}
04A B x x ⋂=<≤. 因为()C A B ⊆⋂， 所以20,
1 4.m m ->⎧⎨
+≤⎩
所以23m <≤，即m 的取值范围是(]
2,3. 【点睛】
本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．
24．（1）0；（2）证明见解析；（3）()()1,02019,2020x ∈-U 【解析】 【分析】
（1）取1x y ==，代入即可求得()1f ； （2）任取210x x >>，可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫
-=>
⎪⎝⎭
，根据单调性定义得到结论； （3
）利用1
2
f
=
将所求不等式变为
f f
<，结合定义
域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】
（1）取1x y ==，则()()()111f f f =+，解得：()10f = （2）任取210x x >>
则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-= ⎪
⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
210x x >>Q 21
1x x ∴
> 210x f x ⎛⎫
∴> ⎪⎝⎭
，即()()210f x f x -> ()f x ∴在定义域内单调递增
（3）(
)
20201f f
f
=+=Q
12
f
∴=
12
f
f ∴<
=
由（2）知()f x 为增函数
220190
x x ⎧->⎪∴< 解得：()()1,02019,2020x ∈-U 【点睛】
本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误. 25．(1)2
()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】 【分析】
（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线
的解析式为2
()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；
（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】
(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2
()(1)f x a x =+，
因为(1)4f =,即2
(11)4a +=，
所以设1a = 所以2
()(1)f x x =+
(2)由(1)知2
()(1)ln(||1)h x x x =+-+
因为2
(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<
2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>
即(0)(1)0h h ⋅<
因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】
本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.
26．(1)2,0428,4205
x v x x <≤⎧⎪
=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克
【解析】 【分析】
当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；
第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出
()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．
【详解】
(1)由题意得，当04x <≤时，2v =； 当420x <≤时，设v ax b =+，
由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩
，所以285v x =-+，
故函数2,0428,4205
x v x x <≤⎧
⎪
=⎨-+<≤⎪⎩．
(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，
依题意及()1可得()22,0428,4205
x x f x x x x <≤⎧
⎪
=⎨-+<≤⎪⎩，
当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=； 当420x <≤时，()()
222222
820(10)40555
f x x x x x x =-
+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．
综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． 【点睛】
本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．。