第十一讲 数字信号处理-DIT—FFT
第十一讲 数字信号处理-DIT—FFT
r 0
r 0
r 0
2 x1 (r )(WN ) rk j 2 2 N j
r 0
2 k x2 (r )(WN ) rk WN
2 WN e
e
2 N /2
WN / 2
3. 求出子序列的DFT
X（k )
N / 2 1 r 0 rk x1 (r )WN / 2 rk k x2 (r )WN / 2WN r 0 N / 21
5. 求出后半部的表示式
rk r WN / 2 WN (/k2 N / 2)
k X（k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
N / 21 N / 21 N r ( N / 2 k ) rk X 1 ( k ) x1 (r )WN / 2 x1 (r )WN / 2 X 1 (k ) 2 r 0 r 0 N / 21 N / 21 N r ( N / 2 k ) rk X 2 ( k ) x2 (r )WN / 2 x2 (r )WN / 2 X 2 (k ) 2 r 0 r 0
看出：后半部的k值所对应的X1(k),X2(k)则完全重复了前半部分的 k值所对应的X1(k),X2(k)的值。
又 W
（N / 2 k ) N
W
N /2 N
W W
k N
k N
N k 后半部分： X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2
6. 结论2
频域中的N个点频率成分为：
作图要素： (1)左边两路为输入 (2)右边两路为输出 (3)中间以一个小圆表示加、 减运算（右上路为相加输出、 右下路为相减输出)
《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲课程编码：课程名称：数字信号处理英文名称： Digital signal processing适用专业：物联网工程先修课程：复变函数、线性代数、信号与系统学分：2总学时：48实验（上机）学时：0授课学时：48网络学时：16一、课程简介《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
二、课程目标和任务1.课程目标课程目标1（CT1）:运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、Z变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[课程思政点1]。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神[课程思政点2]。
课程目标2 （CT2）:说明利用DFT对模拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[课程思政点3]。
2.课程目标与毕业要求的对应关系三、课程教学内容第一章时域离散信号与系统（1）时域离散信号表示；（2）时域离散系统；（3）时域离散系统的输入输出描述法；*（4）模拟信号数字处理方法；教学重点：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
精品课程《数字信号处理》PPT课件11-文档资料
复数乘法 DFT运算实质
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
复数加法
4.2.1 DFT的运算量 设x(n)为N点有限长序列
DFT IDFT
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
X (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
k=0, 1, …, N-1 n=0, 1, …, N-1
N点DFT，不进行分解
N2
次复数乘法
N N 1 次复数加法
将N点DFT，进行一次分解后，运算工作量节省了近一半
第4章 快速傅里叶变换
由于N=2L，N/2仍是偶数 可以进一步把每个N/2点子序列分解为两个N/4点的子序列
第4章 快速傅里叶变换
得到
W W r
k
N 2
N /2
rk N /2
Xபைடு நூலகம்
1
N 2
k
N 2
1
x1(
r
r)WN
/
N
2 2
k
r0
N 1 2
x1(r)WNrk/ 2
r 0
X1(k )
X
2
N 2
k
X 2(k)
解: 直接计算DFT复乘次数（N )2=（1024×1024)2 ≈ 1012次， 用每秒可做10万次复数乘法的计算机，需要近3000小时。 对实时性很强的信号处理，改进方法： 1）提高计算速度（这样，对计算速度要求太高了）； 2) 改进DFT的计算方法，以大大减少运算次数。
第4章 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换算法的基本思想
数字信号处理_武汉理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数字信号处理_武汉理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( )。
参考答案:1和22.若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是对称的，长度为N，则它的对称中心是（）参考答案:（N-1）/23.下列序列中属周期序列的为( )。
参考答案:x(n)=14.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( )参考答案:单位圆5.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜<1，则该序列为( )。
参考答案:左边序列6.x(n)=u(n)偶对称部分为( )参考答案:1/2+1/2δ(n)7.下列滤波器中，阶数越高越接近矩形特性的为( )参考答案:以上均是8.若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= ( )参考答案:89.快速傅里叶变换的特点是（）参考答案:以上均是10.设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（）参考答案:当n<0时，h(n)=011.在N=32的基2时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到X(k)需 ( ) 级蝶形运算过程。
参考答案:512.数字信号处理的实现方法为（）参考答案:以上均是13.DIF-FFT输入x(n)是（），输出X(K)是（）参考答案:自然顺序，倒序14.DIT-FFT输入x(n)是（），输出X(K)是（）参考答案:倒序，自然顺序15.DIF-FFT蝶形运算（）乘以旋转因子，（）进行加减运算；DIT-FFT蝶形运算（）乘以旋转因子，（）进行加减运算。
参考答案:后，先；先，后16.一线性时不变因果系统由差分方程y(n) = x(n) + x(n-1)+0.8y(n-1)描述，则系统的频率响应呈（）。
参考答案:低通特性17.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过（）即可完全不失真恢复原信号。
8点基于DIT的FFT的实现
8点基于DIT的FFT的实现离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它是信号处理领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统等领域。
离散傅里叶变换的计算方法之一是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），它是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法。
DIT-FFT（Decimation in Time Fast Fourier Transform）是一种基于分治思想的FFT实现方法，该方法将输入序列划分成两个子序列，分别进行FFT计算，并通过旋转因子进行连接。
在DIT-FFT算法中，输入序列的长度必须是2的整数次幂。
下面将详细介绍8点DIT-FFT的实现步骤：步骤1：读取输入序列首先，我们需要读取一个长度为8的输入序列，记为x[0]到x[7]。
步骤2：重新排列输入序列按照DIT-FFT算法的要求，需要对输入序列x进行重新排列。
对于长度为8的序列，重新排列的顺序如下所示：x[0],x[4],x[2],x[6],x[1],x[5],x[3],x[7]排列后的序列依次为x'[0]到x'[7]。
步骤3：递归计算FFT使用递归的方式计算子序列的FFT。
对于输入序列x'[0]到x'[3]，以及x'[4]到x'[7]，分别进行FFT计算。
其中，x'[0]到x'[3]可以视为长度为4的子序列，x'[4]到x'[7]可以视为长度为4的子序列。
步骤4：计算旋转因子根据FFT的定义，我们需要计算旋转因子 W = exp(-j*2*pi/N)，其中，N 为输入序列的长度。
步骤5：连接子序列将计算得到的长度为4的子序列进行连接。
对于x'=[x'[0],x'[1],x'[2],x'[3]]和y'=[x'[4],x'[5],x'[6],x'[7]]，连接操作可以表示为：x'[k]=x[k]+W^k*y[k]y'[k]=x[k]-W^k*y[k]其中，k为子序列的索引。
数字信号处理知识点总结
N
1
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)W
Nkn，0k0nN
1
2024/1/22
7
Discrete Fourier Transform
DFT Transform Pair
DFT的物理意义
X
(k
)
N 1
n0
x(n)W
k N
n，0
k
N
1
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)W
N
k
n，0
k0
n
N
1
N 1
X (z) x(n)zn 1. z-Transform n0
将模拟信号转换为数字信号，并且保证采样前后信息部丢失—采样定理。
xa(t)
采样
量化
编码
x(n)
A/D转换器
xa t sin4 t
2024/1/22
4
采样频率
s
2
Ts
xa( t )|tnT x( n ) sin( nTs ) x( n ) sin(n )
时域离散 幅度量化
3
数字信号处理 Digital signal processing
复加次数： Nlog2N；
2024/1/22
11
FFT computation cost
Comparison between FFT and DFT in complex multiplication
N 16 512 2048
N2 (DFT) 256
262144 4194304
Nlog2N/2(FFT) 32
卷积
（3）
N
DIF和DIT实现FFT
DIF和DIT实现FFTFFT(快速傅里叶变换)是一种高效的算法，用于将一个离散的傅里叶变换(DFT)序列转换为其相应的频谱表示。
在FFT算法中，有两个重要的参数，即DIF(分离回归)和DIT(混合回归)，它们在算法的实现中起着关键的作用。
DIF(Decimation-In-Frequency)表示在频域中将输入序列拆分为两个子序列，然后递归地对这些子序列进行FFT变换并组合结果。
具体过程如下：1.将输入序列分成偶数和奇数索引的两个子序列，分别称为偶数序列和奇数序列。
2.对这两个子序列分别进行DFT或递归DFT，得到它们的频谱表示。
3.将两个子序列的频谱结果合并为一个频谱。
其中，奇数序列的频谱结果在频率上紧跟在偶数序列的频谱结果后面。
4.重复上述步骤，直到得到最终的频谱。
DIT(Decimation-In-Time)表示在时域中将输入序列拆分为两个子序列，然后递归地对这些子序列进行FFT变换并组合结果。
具体过程如下：1.将输入序列分成偶数和奇数索引的两个子序列，分别称为偶数序列和奇数序列。
2.对这两个子序列分别进行DFT或递归DFT，得到它们的频谱表示。
3.将两个子序列的频谱结果交叉合并为一个频谱。
偶数序列的频谱结果与奇数序列的频谱结果交替出现。
4.重复上述步骤，直到得到最终的频谱。
总的来说，DIF和DIT实现FFT的步骤类似，只是在分解和合成的顺序上有所不同。
DIF算法在频域中进行分解，逐步减少输入序列的长度，最终得到频谱。
DIT算法在时域中进行分解，逐步增加输入序列的长度，最终得到频谱。
两种算法都可以实现DFT的高效计算，其中DIT算法更加直观，容易理解。
无论是DIF还是DIT，实现FFT算法都需要考虑递归的终止条件、处理长度为2的序列的情况以及合并子序列的方式。
在具体实现中，可以使用循环或递归的方式进行操作。
算法的时间复杂度为O(NlogN)，其中N 是输入序列的长度。
总结起来，DIF和DIT是实现FFT算法的基本思想，它们在分解和合成的顺序上有所不同，但都能高效地计算离散傅里叶变换。
数字信号处理与DSP实现技术课后习题与参考答案
21世纪高等院校电子信息类规划教材安徽省高等学校“十二五”省级规划教材数字信号处理与DSP实现技术课后习题与参考答案主编：陈帅副主编：沈晓波淮南师范学院2015.11第1章绪论思考题1．什么是数字信号？2．什么是数字信号处理？3．数字信号处理系统的实现方法有哪些？4．数字信号处理有哪些应用？5．数字信号处理包含哪些内容？6．数字信号处理的特点是什么？第1章绪论参考答案1．时间和幅度都离散的信号称为数字信号，即信号的时间取离散的值，幅度也取离散的值。
2．数字信号处理是指在数字领域进行数字信号的加工（变换、运算等），即输入是数字信号，采用数字信号处理方法进行处理，输出仍然是数字信号。
3．数字信号处理系统的实现方法有①通用软件方法实现系统；②专用加速处理机方法；③软硬件结合的嵌入式处理方法；④硬件方法。
4．数字信号处理在通信、计算机网络、雷达、自动控制、地球物理、声学、天文、生物医学、消费电子产品等各个领域均有应用，是信息产业的核心技术之一。
比如信源编码、信道编码、多路复用、数据压缩，数字语音、汽车多媒体、MP3/MP4/MP5、数字扫面仪、数字电视机顶盒、医院监视系统、生物指纹系统等。
5．数字信号处理主要包含以下几个方面的内容①离散线性时不变系统理论。
包括时域、频域、各种变换域。
②频谱分析。
FFT谱分析方法及统计分析方法，也包括有限字长效应谱分析。
③数字滤波器设计及滤波过程的实现（包括有限字长效应）。
④时频-信号分析（短时傅氏变换），小波变换，时-频能量分布。
⑤多维信号处理（压缩与编码及其在多煤体中的应用）。
⑥非线性信号处理。
⑦随机信号处理。
⑧模式识别人工神经网络。
⑨信号处理单片机(DSP)及各种专用芯片(ASIC)，信号处理系统实现。
6．数字信号处理主要具有4个方面优点：①数字信号精度高；②数字信号处理灵活性强；③数字信号处理可实现模拟信号难以实现的特性；④数字信号处理可以实现多维信号处理。
数字信号处理主要存在3个方面缺点：①需要模拟接口等增加了系统复杂性；②由于取样定理的约束其应用的频率受到限制；③功耗大。
数字信号处理之离散傅里叶变换
要点
计算机分析连续信号频谱遇到的问题 离散傅里叶变换的引出及本质 用离散傅里叶变换分析平稳信号 离散傅里叶变换在分析非平稳信号的应用—短时离散傅里叶变换
1.计算机分析连续信号频谱遇到的问题
连续时间傅里叶变换
采样变成离散序列
冲激串采样 采样序列
连续频谱
冲激采样 频谱
进行傅里叶级数
反变换
形成周期为N的周期序列
取周期序列前N个值
得到有
限长序列x[n]
注意！采样点N需要大于等于序列有效长度L，否则x[n]进行长度N的周期延拓将发生混叠
至此，已知有限长序列x[n]连续频域0-2π的N点采样值能完全表征x[n]，我们将建立起它们的直
接联系—有限长序列x[n]的N点离散傅里叶变换
观察有限长序列x[n]的离散时间傅里叶变换
可以发现 所以有限长序列x[n]的N点DFT的本质就是x[n]连续频谱0-2π内的N点采样值
改变N值的影响 5点DFT 10点DFT 20点DFT
3.用离散傅里叶变换分析连续平稳信号
抗混叠低通 滤波器
连续—离散 时间转换
加
窗×
DF
T
连续时间信号的傅里叶分析处理步骤
Thank you
我们在脑海中可以建立这样的过程
有限长序列x[n]
进行长度为N的周期延拓
求取傅里叶级数
级数前N个值
得到x[n]连续频域0-2π的N点采样值
取傅里叶
现在面临的问题：有限长序列x[n]连续频域的N点采样值能否完全表征x[n]？
可以！！让我们进行上面过程的逆过程
将N点采样值进行长度为N的周期延拓
形成傅里叶级数
14
fft变换
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。
这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。
另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。
N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。
为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。
每一个点就对应着一个频率点。
这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。
而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。
例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
数字信号处理 基于8点的dif-fft变换
数字信号处理1、设计目的及意义(1)、掌握实现基2-DIF－FFT算法的方法(2)、掌握Maltlab的基本使用方法，初步具有使用Maltlab编程的能力2、设计原理2.1 FFT简介离散傅里叶变换（DFT）正变换： n=0，1，2…，N-1逆变换： n=0，1，2…，N-12.2 按频率抽选的FFT算法FFT算法主要有两种，按时间抽选的FFT的算法（DIT-FFT）和按频率抽选的FFT算法（DIF-FFT）。
这里主要介绍DIF-FFT。
DIF-FFT算法是将输入序列x（k）分成前后两个部分。
由于，则k为偶数k为奇数所以把k按奇数和偶数分， r=0，1，…N/2-1K为偶数 k为奇数将X（k）分为两部分：令，，可得，r=0，1，2，…，N/2-1由此可得频率抽选法蝶形运算单元，如图2.1所示图2.1频率抽选法蝶形运算单元这样可以把一个N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合，两个N/2点DFT还可以继续分解，设N=2M，则经过M-1次分解，最后可以分解成为N/2个两点DFT，可以由一个蝶形运算来求解。
例如8点DIF-FFT蝶形运算图如图2.2图2.2 8点DIF-FFT运算流图。
输出序列的排列规律不是从小到大按顺序的，而是按照倒叙规则排序的，即先将0-7转换为二进制数，然后将二进制数左右倒序，再转为十进制就可以得到新的数列，即：0，4，2，6，1，5，3，7。
2.3 程序流程图开始设定输入序列求出蝶形运算级数m=3循环mm=1到3级蝶形运算求该级旋转因子下标Nm循环该级1到2mm-1组蝶形运算循环该组1到23-mm个蝶形运算计算一个蝶形运算单元序列倒序后绘图结束YY Y N N N图2.3 程序流程图3、程序及结果3.1 直接调用FFT函数源程序以下是直接调用Matlab自带的FFT函数计算的源程序，其输入序列为x=[0 2 4 6 0 2 4 6]，求出FFT结果y=X(k)后对其幅值和原序列进行绘图。
FFT至简设计法实现法_FFT算法_蝶形运算
DIT-FFT 至简设计实现法1、 DIT-FFT 算法的基本原理有限长序列x n 的N 点DFT 定义为：X (k )=∑x (n )W N Kn N−1n=0,式中W N=e−j2πN。
DFT 在实际应用中很重要，但是如果直接按DFT 变换进行计算，当序列长度N 很大时，计算量会非常大，所需时间也很长，因此常用的是DFT 的一种快速计算算法，简称FFT 。
最常用的FFT 算法是基于时间抽取的基2-FFT 算法和基于频率抽取的基2-FFT 算法，这种算法的特点在于FFT 会把一次大的DFT 分割成几个小的DFT ，这样递归式地细分下去，例如有8个采样点的FFT ，首先会把最外层的8点运算分成两个4点FFT 的奇偶组合，第二层FFT 又分成四个两点FFT 的奇偶组合，并且由此计算出的频谱中很有趣的一点在于对于实数输出的数组，后面一半和前面一半正好对称相同，对于虚数输出的数组，后面一半是前面数组对称后乘上负1，因此，我们只需要算出FFT 的一半即可求出全部。
本设计讨论的是基于至简设计法实现按时间抽选的基2-FFT 算法（即DIF-FFT ）实现过程，支持N 由8到1024。
图 1按时间抽取的基2-FFT 算法蝶形运算流图（N=8）2、蝶形运算至简实现过程2、1 模块划分图 2蝶形运算模块框图本模块包括三个RAM模块（RAM1，RAM2，RAM3）与一个DFT模块，各模块功能如下：1）RAM1模块：在开始进行蝶形运算前，全部采样点（如图1所示的x(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(1)、x(5)、x(3)、x(7)）已经按照倒位序二进制的地址依次存储在RAM1模块中，即地址0保存了采样点x(0)，地址1保存了采样点x(4)。
选用双端口RAM1可以同时对两点采样数据(如图1的x（0）、x(4))进行读、写操作。
2）RAM2模块：RAM2模块也是采用双端口输入输出，可同时对两点数据进行读、写操作。
数字信号处理-快速傅立叶变换(FFT)
FFT算法思想
不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用旋转
因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
7
nk WN 的特性
对称性
(W ) W
nk * N
nk N
W nN nk Nk nk WN WN WN WN W
n ( N k ) N
W
( N n ) k N
直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较 大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处 理是不切实际的。
N=8—64次复乘 N=1024—1 048 576次复乘
如何减少运算量？？
思路：把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大 nk 减少。另外，旋转因子 WN 的固有特性（周期性、对称性）来 减少DFT的运算量。
p=J×2M-L， J=0,1,2,… ,2L-1－1
25
3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目 第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2M-L个蝶形中； 4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离” 第L级中，蝶距：D=2L。
5、同一蝶形运算两输入数据的距离
在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶 形的2个输入数据相距：B=2L-1。 6、码位颠倒 输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的
21
DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 1、直接DFT运算N点运算： 复数乘次数：N×N 整个运算流图中 有 M 级蝶形 ，每
一级运算流图中 复数加次数：N×(N-1) 有 N/2 个 蝶 形 ， 2、 用DIT-FFT作N点运算： 每个蝶形需一次 复数乘次数：M×N/2=N/2×log2N； 复乘和两次复数 加运算。 复加次数： 2 ×N/2×M= N×log2N。
fft dif dit 原理
fft dif dit 原理
傅里叶变换（FFT）是一种数学算法，用于将一个函数（通常是
一个时域信号）转换为其频域表示。
FFT算法有两种主要实现方式，分治法（DIF）和蝶形运算法（DIT）。
首先来看DIF算法，它基于分治法的思想，将一个长度为N的
离散序列分解成两个长度为N/2的子序列，然后对这两个子序列分
别进行FFT变换，最后将它们合并起来。
这个过程可以递归地进行
下去，直到序列长度为1，这时FFT变换就变成了一个简单的乘法。
而DIT算法则是基于蝶形运算的思想，将整个FFT变换看作是
一系列蝶形运算的组合。
在蝶形运算中，输入序列被分成偶数和奇
数位置的两部分，然后进行加权和乘法运算，最后得到FFT变换的
结果。
这种算法的优点在于它可以利用数据的局部性，因此在实际
应用中通常有较好的性能表现。
总的来说，无论是DIF还是DIT算法，它们的原理都是基于将
一个复杂的FFT变换分解成一系列简单的操作，然后通过递归或迭
代的方式将这些简单操作组合起来，最终得到整个FFT变换的结果。
这些算法的设计使得FFT变换可以高效地在数字信号处理、通信系
统、图像处理等领域得到广泛应用。
希望这个回答能够全面地解答你的问题。
fftshitf原理
FFTShift原理详解1. 引言在数字信号处理（DSP）中，傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而更好地理解信号的性质和特征。
在傅里叶变换中，FFT（快速傅里叶变换）是一种高效的计算傅里叶变换的算法，它可以大大降低计算复杂度。
而FFTShift（快速傅里叶变换位移）则是对FFT结果进行后处理的一种操作，用于调整频谱的中心位置。
本文将详细解释FFTShift 的基本原理，并讨论其在信号处理中的应用。
2. FFT原理回顾在介绍FFTShift之前，我们先回顾一下FFT的基本原理。
傅里叶变换将一个连续的信号（时域信号）分解成一系列的正弦和余弦函数（频域信号）的叠加。
对于离散信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）来进行频域分析。
而FFT是一种快速计算DFT的算法，它的核心思想是将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT的基本原理是将信号分成偶数点和奇数点两部分，然后分别对它们进行DFT计算。
然后将两部分的结果合并，得到完整的频域信号。
这个过程可以递归地进行，直到最终得到完整的频域信号。
3. FFTShift原理FFTShift是对FFT结果进行后处理的一种操作，用于调整频谱的中心位置。
具体来说，FFTShift将FFT结果的低频部分移到频谱的中心位置，将高频部分移到频谱的两侧。
为了更好地理解FFTShift的原理，我们先来看一个例子。
假设我们有一个长度为8的序列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，我们对其进行8点FFT变换。
首先，我们将序列分成偶数点和奇数点两部分：偶数点部分：[1, 3, 5, 7] 奇数点部分：[2, 4, 6, 8]然后，我们分别对偶数点部分和奇数点部分进行4点的DFT计算，得到它们的频域表示。
偶数点部分频域表示：[16, 0, -4, 0] 奇数点部分频域表示：[20, -8, 0, -8]接下来，我们将两部分的频域表示合并，得到完整的频域表示。
信号处理 FFT算法
实验2 基2时域抽选的FFT 程序设计与调试一、实验目的掌握信号处理，尤其是数字信号处理的基本原理和方法。
要求能通过实验熟练掌握基2时域抽选的快速傅立叶变换算法（FFT ）的基本原理，了解二维及多维快速傅立叶变换算法。
二、实验原理1．复数类型对于FFT 算法涉及的复数运算，使用自定义的COMPLEX 来定义复数类型，其使用方法与常规类型（如int,float,double ）相似。
typedef struct { float real, imag; } COMPLEX; 2．FFT 基本原理FFT 改进了DFT 的算法，减少了运算量，主要是利用了旋转因子W 的两个性质：（a ）W 的周期性：W = W （b) W 的对称性：W =-WFFT 把N 点DFT 运算分解为两组N/2点的DFT 运算，然后求和：)()()(21k X W k X k X k N +=1,,1,0 ),()()2(221-=-=+N kN k k X W k X N k X 其中，∑∑∑∑-=-=-=-=+====1122111122222222)12()()()2()()(N N NN N N N N r rkr rk r rkr rkW r x W r xk X Wr x Wr x k X在计算X 1(k)与X 2(k)时，仍利用上述公式，把它们看成是新的X(k)。
如此递归下去，便是FFT 算法。
3．蝶形运算从基2时域抽选FFT 运算流图可知：① 蝶形两节点的距离为2m-1，其中，m 表示第m 列，且m =1,… ,L 。
例如N=8=23， 第一级(列)距离为21-1=1， 第二级(列)距离为22-1=2， 第三级(列)距离为23-1=4。
② 考虑蝶形运算两节点的距离为2m-1，蝶形运算可表为： X m (k)=X m-1(k)+X m-1(k+2m-1) W N rX m (k+2m-1)= X m-1(k)-X m-1(k+2m-1) W N r由于N 为已知，所以将r 的值确定即可确定W N r 。
数字信号处理_4 FFTDIT
蝶形运算构成了N点 DFT 的上半部分和下半部分
8
k X (k ) G (k ) WN H (k ) N k X (k ) G(k ) WN H (k ) 2
0 k N / 2 1
偶数序号部分的 N/2 点 DFT
G (k ) X (k )
奇数序号部分的 N/2 点 DFT
m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数
Xm － 1 (k )
r Xm (k )＝Xm － 1 (k )＋Xm － 1 ( j) WN
Xm － 1 ( j)
r WN
－1
r Xm ( j)＝Xm － 1 (k )－Xm － 1 ( j) WN
21
每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数 加(每个蝶形需要两次复数加法)
2 点 DFT
N [1] P [ 0]
W4
1 2 点 DFT P [ 1]
0 W 4 4点 DFT Q [0 ] 1 1 Q [1] W4
H[0] W80
1 W H[1] 8
X [4] X [5]
H[2] W82
X [6]
X [7]
17
2 点 DFT
1
H[3] W83
基-2 按时间抽选 FFT 运算流图
偶数项 奇数项
1
r 0,1,..., N / 2 1
x(n)的DFT:
nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0
N 1 2 r 0 N 1 2 r 0
N 1
2 rk (2 r 1) k x(2r )WN x(2r 1)WN , k 0,1,
H[3] W83
8点基-2时间抽取FFT算法流图
dit-fft算法原理
dit-fft算法原理DIT-FFT算法，即按时间抽取的快速傅里叶变换（Decimation-In-Time Fast Fourier Transform）算法，是FFT（Fast Fourier Transform）算法的一种。
它是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的算法，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
DIT-FFT算法的基本原理是将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，通过递归地应用这种分解方法，最终将原始的DFT转换为一系列的短DFT，从而降低了计算的复杂度。
具体来说，DIT-FFT算法基于以下步骤：1.将输入序列x(n)按照偶数和奇数下标分别抽取，得到两个子序列x_even(n)和x_odd(n)。
2.对x_even(n)和x_odd(n)分别进行DFT，得到X_even(k)和X_odd(k)。
3.将X_even(k)和X_odd(k)合并成一个新的序列X(k)，即X(k) = X_even(k)+ e^(-j2pi*k/N)*X_odd(k)。
4.对X(k)进行逆DFT，得到输出序列y(n)。
在DIT-FFT算法中，每次递归都会将DFT的点数减半，从而降低了计算复杂度。
然而，由于在合并子序列时需要乘以一个复数指数，因此DIT-FFT算法需要更多的乘法运算。
除了DIT-FFT算法外，还有其他类型的FFT算法，如蝶形算法（Butterfly Algorithm）、混合基数算法（Mixed-Radix Algorithm）等。
这些算法各有优缺点，可以根据实际应用场景选择合适的算法。
需要注意的是，虽然FFT算法可以大大降低DFT的计算复杂度，但它仍然是一种计算量较大的算法。
因此，在实际应用中，需要根据实际需求选择合适的算法和硬件平台来实现高效的信号处理和图像处理。
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X(0) X(1) X(2) X(3)
X(4) X(5) X(6) X(7)
W8
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ ） X 1 (1) X 2 (1)W81 1
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
7. 结论3
•由于N=2M，因此N/2仍为偶数，可以依 照上面方法进一步把每个N/2点子序列， 再按输入n的奇偶分解为两个N/4点的子 序列，按这种方法不断划分下去，直到 最后剩下的是2点DFT，两点DFT实际上 只是加减运算。
X (k ) x(n)W , N 2时 X (0) x(0) x(1) X (1) x(0) x(1)
直接计算DFT计算量
• 问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N, 计算对x(n)进行一次DFT运算，共需多大的运算 工作量?
kn x(n) X (k ) x(n)WN DFT n 0 N 1
算N个值
1 N 1 IDFT X (k ) x(n) X (k )WN kn N k 0
作图要素： (1)左边两路为输入 (2)右边两路为输出 (3)中间以一个小圆表示加、 减运算（右上路为相加输出、 右下路为相减输出)
W
X2(k)
k N
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
(4)如果在某一支路上信号需要进行 (5)当支路上没有箭头及系 相乘运算，则在该支路上标以箭头， 数时，则该支路的传输比 将相乘的系数标在箭头旁。 为1。
代入DFT变换式：
r 0,, N / 2 1
x(0),x(2)…x(2r)偶数点 x(1),x(3)…x(2r+1)奇数点
(2 x(2r 1)WN r 1) k
生成两个子序列
2 x(2r )WN rk N / 2 1 N / 2 1
X (k )
N / 2 1
N / 2 1
看出：后半部的k值所对应的X1(k),X2(k)则完全重复了前半部分的 k值所对应的X1(k),X2(k)的值。
又 W
（N / 2 k ) N
W
N /2 N
W W
k N
k N
N k 后半部分： X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2
6. 结论2
频域中的N个点频率成分为：
(d) 另一个2点的DFT蝶形流图
同理： x(1) x(5) 2点DFT X5(0) X5(1) X6(0) 2点DFT X6(1)
X2(0)
X2(1)
x(3) x(7)
W40
W41
X2(2)
X2(3)
其中X 2 (0) X 5 (0) W40 X 6 (0) X 2 (2) X 5 (0) W40 X 6 (0)
k X 1 (k ) WN
X 2 (k )
k 0,1 N / 2 1
N / 21 N / 21 rk rk X 1 (k ) r0 x1 (r )WN / 2 r0 x(2r )WN / 2 其中： N / 21 N / 21 rk rk X 2 (k ) x2 (r )WN / 2 x(2r 1)WN / 2 r 0 r 0
r 0
r 0
r 0
2 x1 (r )(WN ) rk j 2 2 N j
r 0
2 k x2 (r )(WN ) rk WN
2 WN e
e
2 N /2
WN / 2
3. 求出子序列的DFT
X（k )
N / 2 1 r 0 rk x1 (r )WN / 2 rk k x2 (r )WN / 2WN r 0 N / 21
整个DFT运算量为：
kn N
N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法
2.5.2 基-2 按时间抽取的 FFT算法
一、算法原理 二、算法步骤 三、蝶形结 四、按时间抽取的FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 五、FFT算法中一些概念
一、算法原理
• 设输入序列长度为N=2M(M为正整数)，将该序 列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列， 称为基2按时间抽取的FFT算法。
n 0 kn N
N 1
一、算法原理 二、算法步骤 三、蝶形结 四、按时间抽取的FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 五、FFT算法中一些概念
三、蝶形结
即蝶式计算结构也即为蝶式信号流图 频域中前/后半部分表示式可以用蝶形信号流图表示。
X1(k)
X 1 (k ) W X 2 (k )
k N
第2章 DFT及其快速算法
• 2-1 周期序列
• 2-2 离散傅立叶级数
• 2-3 离散傅立叶变换 • 2-4 频率采样理论 • 2-5 快速傅立叶变换 • 2-6 离散傅立叶反变换（IDFT) 的运算
2-5
快速傅里叶变换(FFT)
主要内容
• 1.直接计算DFT算法存在的问题及改进途径。 • 2. 时间抽取FFT算法
k 前半部分：X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k )
后半部分： X (k N / 2) X 1 (k ) W X 2 (k )
k N
结论：只要求出（0~N/2-1）区间内的各个整 数k值所对应的X1(k),X2(k)值，即可以求出 (0~N-1)整个区间内全部X(k)值，这就是FFT能 大量节省计算的关键。
(b) 求2点的DFT
x1 (r ) X 1 (k )可分解为：
DFT
X 1 (k )
N / 4 1
L 0
x1 (2 L)W
2 Lk N /2
N / 4 1
L 0
x1 (2 L 1)W
(2 L 1) k N /2
X 3 (k ) WNk / 2 X 4 (k ) 其中k 0， 1 同理：X 1 (k N / 4) X 3 (k ) WNk / 2 X 4 (k ) 同样，x2 (r )也可分解为： X 2 (k ) X 5 (k ) W X 6 (k ) k X 2 (k N / 4) X 5 (k） WN / 2 X 6 (k )
将N=8点分解成2个4点的DFT的信号流图
x1(r) x(0) 偶 x(2) 数 序 x(4) 列 x(6) x2(r) x(1) 奇 数 x(3) 序 x(5) 列 x(7) X1(0) X1(1) 4点 X1(2) DFT X1(3) X2(0) W80 X2(1)W 1 4点 X2(2) 8 W82 DFT X2(3) 3
一、算法原理 二、算法步骤 三、蝶形结 四、按时间抽取的FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 五、FFT算法中一些概念
二、算法步骤
1.分组，变量置换
DFT变换：
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
k 0, , N 1
先将x(n)按n的奇偶分为两 组，作变量置换:
k 0,1 N / 2 1
4. 结论1
• 一个N点的DFT被分解为两个N/2点DFT。 X1(k),X2(k)这两个N/2点的DFT按照：
X（k ) X 1 (k ) W X 2 (k )
k N
又合成N点DFT中的前半部分k 0,1 N / 2 1
• 再应用W系数的周期性，求出用X1(k),X2(k) 表达的后半部的X(k+N/2)的值。
X(0) X(1) X(2) X(3)
X(4) X(5) X(6) X(7)
W8
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ ） X 1 (1) X 2 (1)W81 X(4)~X(7) 1 X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83 同学们自已写
x1 (2 L) x3 ( L) 偶序列 N 若设： （L 0 1 ），在此L 0， 1 4 ） X4 x1 (2 L 1 x（L）奇序列 x2 (2 L) x5 ( L) 偶序列 N 同理： （L 0 1 ），在此L 0， 1 ） （ 4 x2 (2 L 1 x6 L）奇序列
• 其中基数2----N=2M，M为整数.若不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使 其达到 N=2M
思路：将N=8点分解成2个4点的DFT
x1(r) x(0) 偶 x(2) 数 序 x(4) 列 x(6) x2(r) x(1) 奇 数 x(3) 序 x(5) 列 x(7) X1(0) X1(1) 4点 X1(2) DFT X1(3) X2(0) W80 X2(1)W 1 4点 X2(2) 8 W82 DFT X2(3) 3
蝶形结描述的另一种方法
X1(k)
k N
k X 1 (k ) WN X 2 (k )
中间无交叉
W
X2(k)
1
k X 1 (k ) WN X 2 (k )
例子：求 N=23=8点FFT变换
（1）先按N=8-->N/2=4，做4点的DFT：
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )
5. 求出后半部的表示式
rk r WN / 2 WN (/k2 N / 2)
k X（k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
N / 21 N / 21 N r ( N / 2 k ) rk X 1 ( k ) x1 (r )WN / 2 x1 (r )WN / 2 X 1 (k ) 2 r 0 r 0 N / 21 N / 21 N r ( N / 2 k ) rk X 2 ( k ) x2 (r )WN / 2 x2 (r )WN / 2 X 2 (k ) 2 r 0 r 0