一次函数-二次函数和反比例函数综合题复习(答案)

一次函数，二次函数和反比例函数综合题复习（答案）
一 知识要点:
反比例函数及其基本性质
1、反比例函数的基本形式
一般地，形如x
k y =
（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x k
y =还可以写成
kx y =1-
2、反比例函数中比例系数k 的几何意义
（1）过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

（2）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =
x
k
（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

（3）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =
x
k
（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

3.反比例函数及其图象的性质 1)．函数解析式：
（） 2)．自变量的取值范围：
3)．图象： ①图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
②图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当
时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
③对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，
）在双
曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则
（，）和（
，
）在双曲线的另一支上．
二 例题教学：
例1：一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k
y k 0x
=
≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【 】 A ．b 2a k =+ B ．a b k =+ C ．a b 0>> D ．a k 0>>
例2：若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2（x≤2）
4x （x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，则常数
m 的取值范围是 ▲ 。

【答案】0＜m ＜2。

【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。

【分析】分段函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
（x≤2）
4x （x ＞2）的图象如右图所示：
例3：已知函数23y kx 2x 2
=-+（k 是常数）
（1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；
（2）若点()M 1,k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数23
y kx 2x 2
=-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设抛物线23y kx 2x 2
=-+与x 轴交于()()12x ,0,B x A ,0两点，且12x x <，2212x x 1+=，
在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

综上所述，要使该反比例函数和二次函数都y 随着x 的增大而增大，必须k<0且1x<k。

（3）存在。

∵抛物线23y kx 2x 2
=-+与x 轴有两个交点，
∴一元二次方程方程23kx 2x 02-+=的判别式()2
324k >02
∆=--⨯，解
得2k<3。

积为
4216。

三 巩固练习
1. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数b
y x
=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B
两点，若反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是【 】
A ．2≤k ≤9
B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤5
D ．5≤k ≤8
3. 已知正比例函数y =ax 与反比例函数k
y x
在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y =ax 2＋k 在坐系中的大致图象是【 】
4.如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2
k y=x
交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜
2
k x
＋b 的解集是 ▲ ．
5. 如图，直线()y kx b b >0+=与抛物线21
y x 8
=相交于A ()11x ,y ，B ()22x ,y 两点，与x
轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C ，设△OCD 的面积为S ，且kS 320+=。

（1）求b 的值；
（2）求证：点()12y ,y 在反比例函数64
y x
=
的图象上；
6. 已知点A (1，c )和点B (3，d )是直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2
x （k 2＞0）的交点．
（1）过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ．若AM ＝BM ，求点B 的坐标；
（2）设点P 在线段AB 上，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，并交双曲线y ＝k 2
x （k 2＞0）于
点N ．当
PN NE 取最大值时，若PN ＝ 1
2
，求此时双曲线的解析式．
（1）图 （2）图
∴1≤PE NE ≤43.。

∴ PE ≥NE 。

∴ PN NE ＝PE NE －1＝()211
x 2+33--。

∴当x ＝2时，
PN NE 的最大值是1
3。

由题意，此时PN ＝12，∴ NE ＝32。

∴ 点N (2，3
2) 。

∴ k 2＝3。

∴此时双曲线的解析式为y ＝3
x。

7.如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，
． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()6B m ，
，求m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的
面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足：12
3
S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存
在，请说明理由．
x
y
C D
B
A
O
7.如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，
． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()6B m ，
，求m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积1S 与
四边形OABD 的面积S 满足：12
3
S S =若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
C D
B
A
O
8.A 、B 分别是轴、轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。

例如：如图，正方形ABCD 是一次函数图像的其中一个伴侣
正方形
（1）若某函数是一次函数
，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD ，点D
（2，m ）（m <2）在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、
D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。

(本小题只需直接写出答案)。