2016-2017学年高中数学必修二课件：3-2-3直线的一般式方程

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解：因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，所 以由两点式可得直线A′B的方程为－y－2－66＝x3＋＋11，即2x＋y －4＝0.
同理，点B(－1,6)关于x轴对称点为B′(－1，－6)，由 两点式可得直线AB′的方程为－y－6－22＝－x1－－33，即2x－y－ 4＝0，所以入射光线所在直线的方程为2x－y－4＝0，反射 光线所在直线的方程为2x＋y－4＝0.
[重点] 求直线的一般式方程，直线的一般式方程与其 他形式的互化．
[难点] 二元一次方程与直线关系的理解，直线的一般 式方程的应用．
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直线的一般式方程 [填一填]
1．关于x，y的二元一次方程，它都表示一条 直线 ． 2．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0 ，其中A，B不 同时为 0 ，若A＝0，则y＝ －CB ，它表示一条与 x轴 平行或重合的直线；若B＝0，则x＝ －AC ，它表示一条与 y轴 平行或重合的直线．
第三章
直线与方程
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3．2 直线的方程
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3．2.3 直线的一般式方程
要点整合夯基础 典例讲练破题型
课堂达标练经典 课时作业
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[目标] 1.掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义； 2.掌握一般式与其他形式的互化； 3.了解二元一次方程与 直线的对应关系．
第十一页，在x轴，y轴上的截距是多
少？
提示：当A，B，C均不为0时，一般式方程Ax＋By＋C
＝0可化为
x －AC
＋
y －CB
＝1，此时在x轴，y轴上的截距分别为
－
C A
，－
C B
；当A＝0，B，C均不为0时，直线平行于x轴，
此时在y轴上的截距为－
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解得ab＝≠21，， 或ab＝≠－－21，. 当a＝0时，l1的方程为y＝12，l2的方程为x＝b， 此时l1与l2不平行． 综上所述，当a＝2，b≠1，或a＝－2，b≠－1时，两直 线平行．
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对于含有参数的题目，尤其是关于直线的平行和垂直的问 题，一定要有分类讨论的意识，如本例中两直线平行时，涉及 斜率是否存在，因此要对y的系数是否为零进行分情况讨论.
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[变式训练1] 已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线 的点斜式，斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x 轴、y轴上的截距．
解：∵kl＝
3－1 3－2
＝2，∴点斜式方程为：y－1＝2(x－
2)，斜截式方程为：y＝2x－3，一般式方程为：2x－y－3＝
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直线方程的实际应用
[例3] 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个 矩形草坪(如右图)，另外△AEF内部有一文物保护区不能占 用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪的面积最大？
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[解] 选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)， 即x＋2y－4＝0； (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0； (3)由截距式得x3＋－y3＝1，即2x－y－3＝0；
2 (4)由两点式得－y－4－－－22＝x5－－33， 即x＋y－1＝0.
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2．点斜式y－y0＝k(x－x0)，化为一般式为 kx－y－(kx0－y0)＝0 ；斜截式y＝kx＋b，化为一般式为
kx－y＋b＝0
；两点式yy2－－yy11＝xx2－－xx11，化为一般式为
(y2－y1)x－(x2－x1)y＋(x2－x1)y1－(y2－y1)x1＝0；截距式
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x a
＋
y b
＝1化为一般式为 bx＋ay－ab＝0
.
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[答一答] 3．直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？ 提示：坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式 表示，而其他形式都有一定的局限性． 4．已知直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，如何求直 线的斜率？ 提示：若B≠0，直线方程可化为y＝－ AB x－ CB ，故直线 的斜率为－AB，若B＝0，则直线的斜率不存在．
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[答一答] 1．如何理解A2＋B2≠0? 提示：A2＋B2≠0表示A，B不能同时为零，包括三种 情况：一是A≠0且B≠0；二是A＝0，B≠0；三是B＝0， A≠0.
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2．坐标平面内的直线，都可以用关于x，y的二元一次 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示吗？
[分析] 本题主要考查直线平行与垂直的判断、两条 直线的位置关系等知识．
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[解] (1)由题意得直线l1⊥l2， ∴k1·k2＝－1，即(a＋2)·a＝－1，解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1⊥l2. (2)将直线l1的方程化成斜截式为y＝－4ax＋12. 当a≠0时，将l2的方程化成斜截式为y＝－1ax＋ba. ∵l1∥l2，∴12－≠4a＝ ba，－1a，
[解] 如图，以AB边所在直线为x轴，以AD边所在直 线为y轴，建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程是3x0＋2y0＝1(0≤x≤30)．
第二十五页，编辑于星期五：十六点 五十九分。
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，作 PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝ (100－m)(80－n)．
解析：(1)当a＝0时，l2：x＝0，显然与l1不平行．
当a≠0时，由1－×2－ ×a－－a－－2－×12＝×0－a≠0，
解得a＝4.
(2)直线x－2y＋5＝0的斜率为
1 2
，根据题意知，当m＝0
时，两直线不会垂直，故m≠0，则直线2x＋my－6＝0的斜
率为－m2 . 由两直线垂直得12×(－m2 )＝－1，故m＝1. 答案：(1)4 (2)1
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[变式训练2] (1)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－ 2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为 ________．
(2)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则 实数m＝________.
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第二十七页，编辑于星期五：十六点 五十九分。
1二次函数的最值问题在应用问题中常常出现，要特别注 意.
2建立直角坐标系，将实际问题转化为与直线方程有关的 问题.
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[变式训练3] 一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射 后，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方 程．
C B
；当B＝0，A，C均不为0时，直
线平行于y轴，此时在x轴上的截距为－AC.
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直线的一般式方程
[例1] 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一 般式．
(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是32、－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
第十五页，编辑于星期五：十六点 五十九分。
本题旨在让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式 向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.对于直线方程 的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常 数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项，常数项顺序排列. 求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般 式.
又∵3m0＋2n0＝1(0≤m≤30)，∴n＝201－3m0. ∴S＝(100－m)80－20＋23m ＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 于是当m＝5时，S有最大值，这时||EPFP||＝30－5 5＝51.
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答：当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段 EF上，并且这个顶点分EF成5 1且距F较近时，草坪的面积最 大．
提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 表示．
第八页，编辑于星期五：十六点 五十九分。
直线方程的互化
[填一填]
1．直线的一般式Ax＋By＋C＝0(B≠0)，化为斜截式为
y＝－ABx－CB
；化为截距式为 －xAC＋－yCB＝1 .
0，直线l在x轴上的截距为32，在y轴上的截距为－3.
第十七页，编辑于星期五：十六点 五十九分。
平行与垂直问题
[例2] (1)当a为何值时，直线l1：y＝ax－2与直线l2：y ＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)已知直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay－b＝0，当 a，b分别为何值时，两直线平行？