二次根式提高培优 打印

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知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1）
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子1
3
x -有意义，则x 的取值范围是 ．
举一反三：
1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2、使代数式2
21x x
-
+-有意义的x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
解题思路：式子a （a ≥0），50
,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014
举一反三：
1、若11x x ---2
()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求1
2
a b +
+的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求
y x 1
2+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-<⎧
⎨
⎩
||()()注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧
⎨
⎩
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】若()2
2340a b c -+-+-=，则=
+-c b a ．
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举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ． 1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若
1
a b -+与24a b ++互为相反数，则
()2005
_____________
a b -=。

（公式)0()(2
≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：2
1(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4
举一反三：在实数范围内分解因式: 2
3x -= ；4244m m -+=
429__________,222__________x x x -=-+=
1、 化简：()
3313--已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为
（公式⎩⎨⎧<-≥==)
0a (a )
0a (a a a 2的应用）
【例6】已知2x <,则化简2
44x x -+的结果是
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三：1、根式2(3)-的值是( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9 2、已知a<0，那么│2
a －2a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3、若23a ，则
()
()
2
2
23a a --
-等于（ ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 5、化简(
)
2
2
44123x x x -+-
-得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6、当a ＜l 且a ≠0时，化简
a a a a -+-221
2＝ ． 7、已知0a <，化简求值：
22
114()4()a a a a -+-+- 【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．
【例8】化简2
1816x x x ---+的结果是2x -5，则
x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1
举一反三：若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．4a ≥
Ｂ．2a ≤
Ｃ．24a ≤≤
Ｄ．2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ A. a=0 B. a=1 C.a=0或a=1 D. a ≤1
举一反三：1、如果2693a a a +-+=成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x
【例10】化简二次根式2
2
a a a +-
的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--
a
1、把二次根式a a
-
1
化简，正确的结果是（ ） A. -a
B. --a
C. -a
D. a
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
x x b ＝ ；a
a --11)1(＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】1、最简二次根式：
1-0
1 2
a
o
b
a
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（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】 【例11】在根式1)
222;2)
;3);4)275
x
a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：
1、)b a (17,54,b 40,2
1
2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。

2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7
B ．3
C ．12
D ．2
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
A.21a +
B.21x +
C.24
b
D.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为什么
(1)b a 23 (2)23ab
(3)22y x + (4)
)(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式：
(1)12 (2)b a 2
45 (3)
x y x
2
【例12】下列根式中能与3是合并的是( )
A.8
B. 27 5 D. 2
1
举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A 、318和
B 、1
33
和
C 、22a b ab 和
D 、11a a +-和 2、在二次根式：①12；② 32；③
3
2
；④27中，能与3合并的二次根式是 。

3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a b +与a b -，a b a b +-与，
a x
b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化
（1）
48 （2）43
37
- （3）11212 （4）13550-
【例14】把下列各式分母有理化
（1）328x
x y
（2）a b - （3）38
x x （4）25
2
5
a b b a - 【例15】把下列各式分母有理化：
（1）
221- （2）5353+- （3）333223
- 举一反三：1、已知2323x -=
+，2323
y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）22
3x xy y -+
2、把下列各式分母有理化：
（1）()a b a b ≠+ （2）
22
22a a a a +--++- （3）2222
b a b b a b
-+++ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
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①与
； ②
与； ③
与
； ④
与
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a b =a
b
（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a
b
=a b （a ≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例16】化简
(1)916⨯ (2)1681⨯ (3) 1525⋅ (4)22
9x y (0,0≥≥y x ) (5)
1
2
×632⨯ 【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
【例1 (1)364
(2)22
649b a )0,0(≥>b a (3)2964x y )0,0(>≥y x (4)25169x
y )0,0(>≥y x 【例19】计算：(1)
12
3
(2)3128÷ (3)11416÷
（4）648 【例20】能使等式
22x
x
x x =--成立的的x 的取值范围是（ ）
A 、2x >
B 、0x ≥
C 、02x ≤≤
D 、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
【例20】计算（1）11
327520.53227
--
+-； （2）12
543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝； （3）11113275348532
-
+-+； （4）113326327284814723247⎛⎫⎛⎫-+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【例21】 （1）224344x y x y x y x y --+--+ （2）a b
a b
-+
+ （3）
32
132********a a a a a a a -+- （4）1142a a b b a b ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭
（5）3
53
8154a a a a a -+
（6）2x y y x
xy y x x y
+-+++ 知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、
a
b b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 2
2 (212 +4
1
8
－348 ) 3、
1
3
2x y ·
（-42
y
x
）÷
162x y 4、673)3
2272(-⋅++
5、62332)(62332(+--+）
6、)54)(54()523(2
-+-+
7、11
10)562()562(+-
8、)0()122510(9312>--m m
m m m
m m 【例21】 1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。

3．已知：
，求
的值．
4．求
的值．5．已知、是实数，且
，求
的值．
知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a
a b
b >⇔>； ②1a
a b
b
<⇔<
【典型例题】
【例22】 比较35与53的大小。

（用两种方法解答）【例23】比较
31-与21
-的大小。

【例24】比较1514-与1413-的大小。

【例25】比较76-与65-的大小。

【例26】比较73+与873-的大小
二次根式典型习题集
一、概念 （一）二次根式
下列式子，哪些是二次根式，
、1
x
x>0）
1x y
+（x ≥0，y•≥0）．
（二）最简二次根式
1
（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A
（y>0）
B y>0） C
（y>0） D ．以上都不对
2
．（x ≥0） 3．
_________． 4. 已知〉xy 0
，化简二次根式_________． （三）同类二次根式
1
是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2
、
是同类二次根式的有______ 3
．若最简根式3a
a 、
b 的值． 4.
n 是同类二次根式，求m 、n 的值． （四） “分母有理化”与“有理化因式”
的有理化因式是________；
_________．
_______． 2.把下列各式的分母有理化 （1
（2
； （
3
； （4
．
二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当
x在实数范围内有意义
（2）当x是多少时，
1
1
x+
在实数范围内有意义
（3）当x
2在实数范围内有意义
（4）当_________
_
2.
x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．
已知
，求
x
y
的值．
4
．
5. 若
1
1
m+
有意义，则m的取值范围是。

6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1
(4)
三、二次根式的非负数性
1
，求a2004+b2004的值．
2，求x y的
3.若2440
y y
-+=，求xy的值。

四、
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
=
a
a
a
a2的应用
1． a≥0）．
A
C．
2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式（1-a）=1；
乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
3．若│1995-a│=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）
4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
5．化简）．
A．．
6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．
A．．
五、求值问题:
1.当y求x2-xy+y2的值
2．已知a2b-ab2=_________．
3.已知-1,求a3+2a2-a的值
4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（
2
3
+y-（x
5）-（结果精确到）
6．先化简，再求值．
a≥0
a＜0
（
-（
，其中x=32，y=27．
7．当
（结果用最简二次根式表示）
8. 已知2310x x -+=
六、其他
1
1
1x -= ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或
x ≤-1
2.
=
，且x 为偶数，求（1+x
的值． 3
）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1 4.如果
, 则x 的取值范围是 。

5.如果
则x 的取值范围是 。

6.
则a 的取值范围是 。

7.设a=23-
，b=32-，c=25-，则a 、b 、c 的大小关系是 。

8.若n 243是一个整数，则整数n 的最小值是 。

9.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求
()()111++b a 的值
七、计算
·（m>0，n>0）（a>0）
3. 22
-
6. a b a b ⎛⎫+---
7、已知x =，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）22
3x xy y -+ (3)
2
x =-1=-2
=
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1．铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：3，求路
基下底宽AB的长度
2．如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后
从滑梯滑下到D，共经过多少路程
3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，ABC
∆是格点三角形，求：（1）ABC
∆的面积（2）ABC
∆的周长；（3）
点C到AB的距离。