2018版高三数学理一轮复习能力大提升 第一章 集合与常

第一章 集合与常用逻辑用语
考点1 集合
1.(2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( )
A.⎝⎛⎭⎫－3，－32
B.⎝⎛⎭⎫－3，32
C.⎝⎛⎭⎫1，32
D.⎝⎛⎭
⎫32，3 1.D[由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3},B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32,得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭
⎫32，3,故选D.]
2.(2016·全国Ⅱ,2)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0,x ∈Z },则A ∪B ＝( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{－1,0,1,2,3}
2.C[由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1<x <2},又因为x ∈Z ,所以B ＝{0,1},因为A ＝{1,2,3},所以A ∪B ＝{0,1,2,3},故选C.]
3.(2016·全国Ⅲ,1)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0},T ＝{x |x ＞0},则S ∩T ＝( )
A.[2,3]
B.(－∞,2]∪[3,＋∞)
C.[3,＋∞)
D.(0,2]∪[3,＋∞)
3.D[S ＝{x |x ≥3或x ≤2},T ＝{x |x ＞0},则S ∩T ＝(0,2]∪[3,＋∞).]
4.(2016·北京,1)已知集合A ＝{x ||x |＜2},B ＝{－1,0,1,2,3},则A ∩B ＝( )
A.{0,1}
B.{0,1,2}
C.{－1,0,1}
D.{－1,0,1,2}
4.C [A ＝{x ||x |＜2}＝{x |-2＜x ＜2},所以A ∩B ＝{x |-2＜x ＜2}∩{-1,0,1,2,3}＝{-1,0,1}.]
5.(2016·山东,2)设集合A ＝{y |y ＝2x ,x ∈R },B ＝{x |x 2－1<0},则A ∪B ＝( )
A.(－1,1)
B.(0,1)
C.(－1,＋∞)
D.(0,＋∞)
5.C [∵A ＝{y |y >0},B ＝{x |－1<x <1},∴A ∪B ＝(－1,＋∞),故选C.]
6.(2016·四川,1)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.C [由题可知,A ∩Z ＝{－2,－1,0,1,2},则A ∩Z 中的元素的个数为5.选C.]
7.(2015·重庆,1)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3},则( )
A ．A ＝
B B ．A ∩B ＝∅
C ．A ≠⊂B
D ．B ≠
⊂A 7.D [由于2∈A ,2∈B ,3∈A ,3∈B ,1∈A ,1∉B ,故A ,B ,C 均错,D 是正确的,选D.]
8.(2015·天津,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A＝{2,3,5,6},集合B＝{1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B＝()
A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
8.A[由题意知,∁U B＝{2,5,8},则A∩∁U B＝{2,5},选A.]
9.(2015·福建,1)若集合A＝{i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B＝{1,－1},则A∩B等于()
A．{－1} B．{1} C．{1,－1} D．∅
9.C[集合A＝{i－1,1,－i},B＝{1,－1},A∩B＝{1,－1},故选C.]
10.(2015·广东,1)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0},N＝{x|(x－4)(x－1)＝0},则M∩N＝() A．{1,4}B．{－1,－4}C．{0} D．∅
10.A [因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4,－1},N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1,4},所以M∩N ＝∅,故选A.]
11.(2015·四川,1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝() A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
11.A [∵A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|1＜x＜3},∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]
12.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{－2,－1,0,1,2},B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0},则A∩B＝()
A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
12.A [由A＝{－2,－1,0,1,2},B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1},得A∩B＝{-1,0},故选A.]
13.(2015·山东,1)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0},B＝{x|2<x<4},则A∩B＝()
A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)
13.C[∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3},B＝{x|2＜x＜4},∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3).]
14.(2015·浙江,1)已知集合P＝{x|x2－2x≥0},Q＝{x|1＜x≤2},则(∁R P)∩Q＝()
A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]
14.C[∵P＝{x|x≥2或x≤0},∁R P＝{x|0＜x＜2},∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2},故选C.]
15.(2015·陕西,1)设集合M＝{x|x2＝x},N＝{x|lg x≤0},则M∪N＝()
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(－∞,1]
15.A [由题意得M ＝{0,1},N ＝(0,1],故M ∪N ＝[0,1],故选A.]
16.(2015·湖北,9)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B ＝{(1x ＋2x ,1y ＋2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x ,2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )
A ．77
B ．49
C ．45
D ．30
16.C [如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊕B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊕B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊕B 中元素的个数为45.故选C.]
17.(2014·北京,1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( )
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{0,2}
D ．{0,1,2}
17.C [∵A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2},∴A ∩B ＝{0,2},故选C.]
18.(2014·新课标全国Ⅱ,1)设集合M ＝{0,1,2},N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0},则M ∩N ＝( )
A ．{1}
B ．{2}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
18.D [N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2},又M ＝{0,1,2},所以M ∩N ＝{1,2}.]
19．(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0},B ＝{x |－2≤x <2},则A ∩B ＝( )
A ．[-2,-1]
B ．[-1,2)
C ．[-1,1]
D ．[1,2)
19.A [A ＝{x |x ≤-1,或x ≥3},故A ∩B ＝[-2,-1],选A.]
20.(2014·四川,1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},集合B 为整数集,则A ∩B ＝( )
A ．{-1,0,1,2}
B ．{-2,-1,0,1}
C ．{0,1}
D ．{-1,0}
20.A [因为A ＝{x |-1≤x ≤2},B ＝Z ,故A ∩B ＝{-1,0,1,2}．]
21.(2014·辽宁,1)已知全集U ＝R ,A ＝{x |x ≤0},B ＝{x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )＝( )
A ．{x |x ≥0}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．{x |0<x <1}
21.D[A∪B＝{x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．]
22.(2014·大纲全国,2)设集合M＝{x|x2－3x－4<0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N＝()
A．(0,4] B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0]
22.B[由题意可得M＝{x|－1<x<4},所以M∩N＝{x|0≤x<4},故选B.]
23.(2015·江苏,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________．23.5[∵A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},∴A∪B＝{1,2,3,4,5}．故A∪B中元素的个数为5.]
24.(2014·重庆,11)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B＝________.
24.{7,9}[依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∁U A＝{4,6,7,9,10},(∁U A)∩B＝{7,9}.]
考点2 命题及其关系、充要条件
1.(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1.A [若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.]
2.(2016·北京，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.]
3.(2015·湖南，2)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.C[由A∩B＝A可知，A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]
4.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒sin α＝cos α，故选A.]
5.(2015·安徽，3)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.A [当1<x<2时，2<2x<4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x>0，∴q ⇒/p ，故选A.]
6.(2015·重庆，4)“x ＞1”是“12
log (2)x +＜0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.B [由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (2)x +＜0，12
log (2)x +＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12
log (2)x +＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.]
7.(2015·北京，4)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.]
8.(2015·福建，7)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.B [m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立.故选B.]
9.(2015·天津，4)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.A [由|x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或
x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇒/ 1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.]
10.(2015·四川，8)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
10.B [若3a ＞3b ＞3，则a ＞b ＞1，从而有log a 3＜log b 3成立；若log a 3＜log b 3，不一定有
a ＞
b ＞1，比如a ＝13
，b ＝3，选B.]
11.(2014·浙江，2)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或 a ＝b ＝1，因此选A.]
12.(2014·北京，5)设{a n }是公比为q 的等比数列.则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.D [当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.]
13.(2014·福建，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB
的面积为12
”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
13.A [若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0，1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积
OAB s ∆＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12
，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12
”的充分而不必要条件，故选A.]
14.(2014·辽宁，5)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：
若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )
A.p ∨q
B.p ∧q
C.(⌝p )∧(⌝q )
D.p ∨(⌝q )
14.A [若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所
以p ∨q 为真命题.故选A.]
15.(2014·重庆，6)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A.p ∧q
B.⌝p ∧⌝q
C.⌝p ∧q
D.p ∧⌝q
15.D [依题意，命题p 是真命题.由x>2⇒x>1，而x>1⇒x>2，因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则⌝q 是真命题，p ∧⌝q 是真命题，选D.]
16.(2014·陕西，8)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
16.B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.]
17.(2014·全国Ⅱ卷)函数f (x )在x ＝0x 处导数存在.若p ：f ′(0x )＝0，q ：x ＝0x 是f (x )的极值点，则( )
A.p 是q 的充分必要条件
B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
17.C[函数在x ＝x 0处有导数且导数为0,①x ＝x 0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点；反之,若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0,所以②p 是q 的必要不充分条件.]
考点三 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.(2016·浙江，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N*，使得n≥2x ”的否定形式是( )
A.∀x ∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2x
B.∀x ∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2x
C.∃x ∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2x
D.∃x ∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2x
1.D [原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合.]
2.(2015·浙江，4)命题“∀n ∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n ∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B.∀n ∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*且f(0n )＞0n
D.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*或f(0n )＞0n
2.D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]
3.(2015·新课标全国Ⅰ，3)设命题p ：∃n ∈N ，2n >n 2，则⌝p 为( )
A.∀n ∈N ，2n >n 2
B.∃n ∈N ，2n ≤n 2
C.∀n ∈N ，2n ≤n 2
D.∃n ∈N ，2n ＝n
2
3.C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“2n >2n ”改为“2n ≤2n ”.]
4.(2014·湖南，5)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
4.C [由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题， ②p ∨q 为真命题，③⌝q 为真命题，则p ∧(⌝q )为真命题，④⌝p 为假命题，则(⌝p )∨q 为假命题，所以选C.]
5.(2015·山东12)若“∀x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m 的最小值为________. 5.1 [∵函数y ＝tan x 在⎣
⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴max y ＝tan π4＝1.依题意，m ≥max y ，即m≥1.∴m 的最小值为1.]。