高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结及解析

高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结及解析
一、导数及其应用多选题
1．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 24f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()x f x e x a =+-[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）
【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x
m x e x x =+-，
()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
3．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有
一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''
是
()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
故选：ABC. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e e x
x x
x e e
x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
4．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =
-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数2
10y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()7
42ln 24
h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
，故C 正确；
当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
，
则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在1
4
x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
6．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列
结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
．
∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x
f x x
=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12
y x =-
C ．3e
x y =
D ．1122
y x =
- 【答案】AB 【分析】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =
，可得()2
1ln x
f x
x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1
x g x e
-=，可得()1
e
0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0
2
1ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -=
=-，可得00
21
00
ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以2
1ln 1
2()e k e e -=
=，可得切线方程为2x y e =，
又由直线3x
y e
=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =
-过点()1,0，斜率为1
2，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D. 故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.
8．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．f
f
f <<
D ．若()2
1
f x k x <-
在()0,∞+上恒成立，则2
e k >
【答案】ACD 【分析】
求得函数的导数3
12ln ()-'=
x
f x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判
定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >
()0f x >，可判定B 不正确；
由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x
+>+
=在()0,∞+上恒成立，令()2
ln 1
x g x x +=
，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】
由题意，函数2
ln ()x f x x =，可得
312ln ()(0)x
f x x x -'=>，
令()0f x '=，即3
12ln 0x
x -=，解得x =
当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；
当x >
()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，
所以当x =
()f x 取得极大值，极大值为1
2f e
=
，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，
因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，
当x >
()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，
综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；
由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，
由于
ln2ln
,
42
f f
π
π
====，
则
2
ln ln2ln ln2
2444
f f
π
ππ
πππ
-=-=-，
因为22π
π>
，所以0
f f
->
，即f f
>，
所以
f f f
<<，所以C正确；
由()2
1
f x k
x
<-在()
0,∞
+上恒成立，即()22
1ln1
x
k f x
x x
+
>+=在()
0,∞
+上恒成立，设()2
ln1
x
g x
x
+
=，则()3
2ln1
x
g x
x
--
'=，
令()0
g x
'=，即
3
2ln1
x
x
--
=
，解得x=
所以当0x
<<()0
g x
'>，函数()
g x
在上单调递增；
当x>()0
g x
'<，函数()
g x
在)
+∞上单调递减，
所以当x=()
g x
取得最大值，最大值为
22
e e
g e
=-=，
所以
2
e
k>，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
9．已知函数()
2
1,0
log,0
kx x
f x
x x
+≤
⎧
=⎨
>
⎩
，下列是关于函数()1
y f f x
=+
⎡⎤
⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（）
A．当0
k>时，有3个零点B．当0
k<时，有2个零点
C．当0
k>时，有4个零点D．当0
k<时，有1个零点
【答案】CD
【分析】
令y＝0得()1
f f x=-
⎡⎤
⎣⎦，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，
①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，
∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，
由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．
②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，
由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．
10．（多选题）已知函数31
()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x
-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；
()y f x =图像
所以，当13x <<时， 3
()27
e f x e << ，综上可得，选项B 正确；
对于选项C ，min 1
()(1)f x f e
=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根
⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根
⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x x
x e x g x e x x
⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
当1x <时，/
2
()(2)=+x
g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：
x
2x <-
2-
20x -<<
0 01x << /()g x +
-
+
()g x
极大值 极小值
极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3
(2)
'()e x g x x
-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 1
12x <<
2 2x >
/()g x
-
+
()g x
e
极小值
极小值(2)4
e g =，
()y g x =图像
综上可得，2
2424
<<e a e 或2a e >，
a 的取值范围是222e e
,(,)e 82
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.
故选：BC 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。