平面曲线的切线与法线-PPT课件
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或 x x F ( P )( F P ) ( y y ) .
0 y 0 x 0 0
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F ( P ) ,( F P ) ) ( 0 , 0 ) 时 , 就 有 总之, 当 ( x 0 y 0
切 线 方 程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 ; 1 ) ( x 0 0 y 0 0 法 线 方 程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 . y 0 0 x 0 0 法 向 量 :n (F ( P ) ,F ( P ) ) ; x 0 y 0
令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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x ys in (x y ) 0
处的雅可比矩阵:
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FFF xy z 6 81 0 x y z 2 . G xy z 6 8 1 0 P P xG yG z 0 0
由此得到所需的雅可比行列式:
Jxy(P 0)
J P ) y z( 0
F (, x y ,) z 0 , L : G (, x y ,) z 0 . ( 4 )
( x ,,) y z L ; F , G 在 点 P 设P 近旁具有连续的 0 0 0 0 0
一阶偏导数, 且
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( J , J , J ) ( 0 , 0 , 0 ) , x y y z z x P
整理后便得到
A x x B ( y x x y ) C y y 0 0 0 0
D ( x x )( E y y ) F 0 . 0 0
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x ( ty ) , y ( t ) , t ,
在点 P 0(3,4,5) 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
2 2 2 Fxyz ( , , )x y z 5 0 , 2 2 2 Gxyz ( , , )x y z .
根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算
F, G 在点 P
0
法 平 面 : 4 ( x 3 )3 ( y 4 )0 ( z 5 )0 , 即 4 x 3 y 0 ( 平 行 于 z 轴 ) .
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三、曲面的切平面与法线
以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y )
(0 ,y ,z )处的切平面为 在点 Px 0 0 0
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由此得到 L 在点 P
3 3 2
0
处的切线与法线分别为：
3 3 3 2
( 2 ) ( x ) ( 1 ) ( y ) 0 , ( 1 ) ( x ) ( 2 ) ( y ) 0 .
3 3 3 3 2 3 2
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指
Px (0 ,y ) 为 L 条件： 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 0 0
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y ( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
L 在 P0 处的切线：
y y F ( P ) F ( P ) ( x x ) 0 x 0 y 0 0
0
( F ,) G ( F ,) G ( F ,) G 其 中 J , J , J . x y y z z x ( x ,) y ( y , z ) ( z ,) x
, 于是存在隐函数组 不妨设 Jxy(P 0)0
x x ( z ) , y y ( z ) , z z .
( x ( ty ) , ( tz ) , ( t ) )
0 0 0
在点 P 处的切线和法平面. ( 对 应 于 t 2 ) 0 0
2
( 1 c o s t , s i n t , 2 c o s ( t 2 ) ) 0 0 0
(1 ,1 , 2 ).
由此得到切线方程和法平面方程分别为
§3 几 何 应 用
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
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一、平面曲线的切线与法线
F (, x y ) 0 ; 曲线 L ：
D ( x x )( E y y ) F 0 . 0 0
2 2
G ( x , y ) A x 2 B x y C yD 22 x E y F , 证令
G ( P ) 2 A x 2 B y 2, D x 0 0 0 则 有 G ( P ) 2 B x 2 C y 2. E y 0 0 0
这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为
x x y z 0 y 0 z : 0. x ( z ) yz (0 ) 1 0
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应用隐函数组求导公式, 有
x ( z ) J ( P )J P ) , 0 z y 0 x y( 0 y ( z ) J ( P )J P ). 0 x z 0 x y( 0
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x ( t ) , y y ( t ) , z z ( t ) , t .
( 2 )
若 P ( x , y , z ) ( x ( t ) , y ( t ) , z ( tL ) ) , 且 有 0 0 0 0 0 0 0
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由此得到所求切线为
( A x B y D ) ( x x ) 0 0 0
( B x C y E ) ( y y ) 0 , 0 0 0
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
2 2 F ( A x 2 B x y C yD 22 x E y ) , 0 0 00 0 0
例1 求笛卡儿叶形线
3 3 2 ( x y ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线.
3 3 (,) x y 2 ( x y )9. x y 解 设F 由§1 例 2 的讨
这 里 a 3 ) , FP 在 点 论( 近旁满足隐函数定理 2 0
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2
L
P
0
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例3 设一般二次曲线为
2 2 L : A x 2 B x y C yD 22 x E y F 0 ,
P ( xy ,0 ) L .试证 L 在点 P 0 处的切线方程为 0 0
A x x B ( y x x y ) C y y 0 0 0 0
( x , y ) ( x ( t ) , y ( t ) ) 若 P 是其上一点, 则曲线 0 0 0 0 0
在点 P 0 处的切线为 y ( t ) x x y 0 0 y 0 y y ( x x ) , 或 . 0 0 x ( t ) x ( t ) y ( t ) 0 0 0
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页).
2 令F (, x y ) x y s i n x y ,容易求出:
3 2 3 FP ( ) ( 2 x y c o s x y ) 2 , P x 0 0 3 ( ) ( 1 x c o s x y ) 1 . FP y 0 P 0
2 L : x ys i n x y 0 例2 用数学软件画出曲线
3 2 3 的图象；并求该曲线在点 P , )处的 0(
切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
2 2 2 x ( t ) y ( t ) zt ( )0 , 0 0 0
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P 0 处的切线为
x x 0 yy 0 zz : 0 . x () t y () t z () t 0 0 0
过点 P 0 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 P 0 处的法平面 .
的条件. 容易算出
(( F P ) , F ( P ) ) ( 1 5 ,1 2 ) , x 0 y 0
于是所求的切线与法线分别为
1 5 ( x 2 )1 2 ( y 1 )0 , 即 5 x 4 y 60 ; 1 2 ( x 2 )1 5 ( y 1 )0 , 即 4 x 5 y 1 30 .
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因为切线 的方向向量即为
法平面 的法向量, 所以法
平面的方程为
x ( t ) ( x x ) y ( t ) ( y y ) z ( t ) ( z z ) 0 . ( 3 ) 0 0 0 0 0 0
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
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z 22 :x 1y 1 ;
2 2
1 ) ( y 1 ) 2 (z 22 ) 0 , : (x 2 即 x y 2 z 4 .
2
绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
6 8 6 8
0,
1 6 0 ,
8 1 0 8 1 0
1 0 6 J ) 1 2 0 . zx(P 0 1 06
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故切向向量为 据此求得
( 1 6 0 , 1 2 0 , 0 ) ( 4 , 3 , 0 ) , ∥
x 3 y 4 , 3 x 4 y 2 5 0 , 4 3 即 切 线 : z 5 ; z 5 yy z z 0 0 : 0. J ( P ) J ( P ) J ( P ) y z 0 z x 0 x y 0 相应于 (3) 式的法平面方程则为
y z 0
( 5 )
: J ( P ) ( x x ) J ( P ) ( y y )
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
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x t s i n t , y 1 c o s t , z 4 s i n ( t 2 ) .
t 2
t0
t 2
t 2
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例5 求曲线
2 22 2 22 L : x y z 5 0 , x y z
0z x 0 0
J () P ( z z )0 . ( 6 ) x y 0 0
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例 4 求空间曲线
L : x t s i n t , y 1 c o s t , z 4 s i n ( t 2 )
解 容易求得 P 1 ,1 , 2 2), 故切向向量为 0(
0 y 0 x 0 0
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F ( P ) ,( F P ) ) ( 0 , 0 ) 时 , 就 有 总之, 当 ( x 0 y 0
切 线 方 程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 ; 1 ) ( x 0 0 y 0 0 法 线 方 程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 . y 0 0 x 0 0 法 向 量 :n (F ( P ) ,F ( P ) ) ; x 0 y 0
令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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x ys in (x y ) 0
处的雅可比矩阵:
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FFF xy z 6 81 0 x y z 2 . G xy z 6 8 1 0 P P xG yG z 0 0
由此得到所需的雅可比行列式:
Jxy(P 0)
J P ) y z( 0
F (, x y ,) z 0 , L : G (, x y ,) z 0 . ( 4 )
( x ,,) y z L ; F , G 在 点 P 设P 近旁具有连续的 0 0 0 0 0
一阶偏导数, 且
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( J , J , J ) ( 0 , 0 , 0 ) , x y y z z x P
整理后便得到
A x x B ( y x x y ) C y y 0 0 0 0
D ( x x )( E y y ) F 0 . 0 0
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x ( ty ) , y ( t ) , t ,
在点 P 0(3,4,5) 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
2 2 2 Fxyz ( , , )x y z 5 0 , 2 2 2 Gxyz ( , , )x y z .
根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算
F, G 在点 P
0
法 平 面 : 4 ( x 3 )3 ( y 4 )0 ( z 5 )0 , 即 4 x 3 y 0 ( 平 行 于 z 轴 ) .
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三、曲面的切平面与法线
以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y )
(0 ,y ,z )处的切平面为 在点 Px 0 0 0
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由此得到 L 在点 P
3 3 2
0
处的切线与法线分别为：
3 3 3 2
( 2 ) ( x ) ( 1 ) ( y ) 0 , ( 1 ) ( x ) ( 2 ) ( y ) 0 .
3 3 3 3 2 3 2
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指
Px (0 ,y ) 为 L 条件： 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 0 0
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y ( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
L 在 P0 处的切线：
y y F ( P ) F ( P ) ( x x ) 0 x 0 y 0 0
0
( F ,) G ( F ,) G ( F ,) G 其 中 J , J , J . x y y z z x ( x ,) y ( y , z ) ( z ,) x
, 于是存在隐函数组 不妨设 Jxy(P 0)0
x x ( z ) , y y ( z ) , z z .
( x ( ty ) , ( tz ) , ( t ) )
0 0 0
在点 P 处的切线和法平面. ( 对 应 于 t 2 ) 0 0
2
( 1 c o s t , s i n t , 2 c o s ( t 2 ) ) 0 0 0
(1 ,1 , 2 ).
由此得到切线方程和法平面方程分别为
§3 几 何 应 用
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
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一、平面曲线的切线与法线
F (, x y ) 0 ; 曲线 L ：
D ( x x )( E y y ) F 0 . 0 0
2 2
G ( x , y ) A x 2 B x y C yD 22 x E y F , 证令
G ( P ) 2 A x 2 B y 2, D x 0 0 0 则 有 G ( P ) 2 B x 2 C y 2. E y 0 0 0
这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为
x x y z 0 y 0 z : 0. x ( z ) yz (0 ) 1 0
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应用隐函数组求导公式, 有
x ( z ) J ( P )J P ) , 0 z y 0 x y( 0 y ( z ) J ( P )J P ). 0 x z 0 x y( 0
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x ( t ) , y y ( t ) , z z ( t ) , t .
( 2 )
若 P ( x , y , z ) ( x ( t ) , y ( t ) , z ( tL ) ) , 且 有 0 0 0 0 0 0 0
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由此得到所求切线为
( A x B y D ) ( x x ) 0 0 0
( B x C y E ) ( y y ) 0 , 0 0 0
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
2 2 F ( A x 2 B x y C yD 22 x E y ) , 0 0 00 0 0
例1 求笛卡儿叶形线
3 3 2 ( x y ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线.
3 3 (,) x y 2 ( x y )9. x y 解 设F 由§1 例 2 的讨
这 里 a 3 ) , FP 在 点 论( 近旁满足隐函数定理 2 0
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2
L
P
0
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例3 设一般二次曲线为
2 2 L : A x 2 B x y C yD 22 x E y F 0 ,
P ( xy ,0 ) L .试证 L 在点 P 0 处的切线方程为 0 0
A x x B ( y x x y ) C y y 0 0 0 0
( x , y ) ( x ( t ) , y ( t ) ) 若 P 是其上一点, 则曲线 0 0 0 0 0
在点 P 0 处的切线为 y ( t ) x x y 0 0 y 0 y y ( x x ) , 或 . 0 0 x ( t ) x ( t ) y ( t ) 0 0 0
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页).
2 令F (, x y ) x y s i n x y ,容易求出:
3 2 3 FP ( ) ( 2 x y c o s x y ) 2 , P x 0 0 3 ( ) ( 1 x c o s x y ) 1 . FP y 0 P 0
2 L : x ys i n x y 0 例2 用数学软件画出曲线
3 2 3 的图象；并求该曲线在点 P , )处的 0(
切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
2 2 2 x ( t ) y ( t ) zt ( )0 , 0 0 0
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P 0 处的切线为
x x 0 yy 0 zz : 0 . x () t y () t z () t 0 0 0
过点 P 0 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 P 0 处的法平面 .
的条件. 容易算出
(( F P ) , F ( P ) ) ( 1 5 ,1 2 ) , x 0 y 0
于是所求的切线与法线分别为
1 5 ( x 2 )1 2 ( y 1 )0 , 即 5 x 4 y 60 ; 1 2 ( x 2 )1 5 ( y 1 )0 , 即 4 x 5 y 1 30 .
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因为切线 的方向向量即为
法平面 的法向量, 所以法
平面的方程为
x ( t ) ( x x ) y ( t ) ( y y ) z ( t ) ( z z ) 0 . ( 3 ) 0 0 0 0 0 0
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
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z 22 :x 1y 1 ;
2 2
1 ) ( y 1 ) 2 (z 22 ) 0 , : (x 2 即 x y 2 z 4 .
2
绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
6 8 6 8
0,
1 6 0 ,
8 1 0 8 1 0
1 0 6 J ) 1 2 0 . zx(P 0 1 06
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故切向向量为 据此求得
( 1 6 0 , 1 2 0 , 0 ) ( 4 , 3 , 0 ) , ∥
x 3 y 4 , 3 x 4 y 2 5 0 , 4 3 即 切 线 : z 5 ; z 5 yy z z 0 0 : 0. J ( P ) J ( P ) J ( P ) y z 0 z x 0 x y 0 相应于 (3) 式的法平面方程则为
y z 0
( 5 )
: J ( P ) ( x x ) J ( P ) ( y y )
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
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x t s i n t , y 1 c o s t , z 4 s i n ( t 2 ) .
t 2
t0
t 2
t 2
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例5 求曲线
2 22 2 22 L : x y z 5 0 , x y z
0z x 0 0
J () P ( z z )0 . ( 6 ) x y 0 0
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例 4 求空间曲线
L : x t s i n t , y 1 c o s t , z 4 s i n ( t 2 )
解 容易求得 P 1 ,1 , 2 2), 故切向向量为 0(