集贤县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

集贤县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0
）上的一点，且
=0，
tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 函数y=
（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（
）
A ．（，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．（﹣∞，）
D ．（﹣∞，2）
3． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）
[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
………A.
B.
C.
D.
34
38
14
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
4． 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有
⎩
⎨⎧≤>=)0(||)
0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈；③当时，
则函数在区间上零
1
()(2)2
g x g x =
+]1,1[-∈x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
5． 已知=（2，﹣3
，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
6． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（
）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞1
7． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 2
9y 2
3
为π，则E 的方程为（ ）
A.－＝1
B.－＝1
x 23y 2
3
x 24y 22C.－y 2＝1
D.－＝1
x 2
5
x
22y 2
4
8． ，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，
1F 2F 22
221x y a b
-=a 0b >P 120PF PF ⋅=
若 ）
12PF F ∆
C. D. 11
+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
9． 如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=
,M N BC
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
（，N AMC -y 的变化关系，其中正确的是（
）
A ．
B ． C. D ．1111]
10．数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n =，若在数列{c n }中
c 8＞c n （n ∈N *，n ≠8），则实数p 的取值范围是（ ）
A ．（11，25）
B ．（12，16]
C ．（12，17）
D ．[16，17）
11．数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
12．将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
二、填空题
13．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1
=，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=
，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
14．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的
x y ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ay x z +=2)4,3(a 取值范围是
．
15．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线） 16．求函数
在区间[
]上的最大值 ．
17．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB|等于 ．　
18．已知，是空间二向量，若
=3，
||=2，|﹣
|=，则与的夹角为 ．
三、解答题
19．已知椭圆x 2+4y 2=4，直线l ：y=x+m （1）若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；
（2）若l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．　
20．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （）=f （x 1）﹣f （x 2）．
（1）求f （1）的值；
（2）若当x ＞1时，有f （x ）＜0．求证：f （x ）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f （5）=﹣1，求f （x ）在[3，25]上的最小值．　
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD （1）证明：平面；//PB AEC
（2）设，的体积，求到平面的距离.1AP =AD =
P ABD -V =
A PBC
111]
22．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos )cos 0C A A B +-=．A B C c b a ,,（1）求角B 的大小；
（2）若，求b 的取值范围．
2=+c a 【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
23．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线2
2:14
x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点，
:2l y =-,M N （1）设直线的斜率分别为，求证：为定值；,AP BP 12,k k 12k k ⋅（2）求线段的长的最小值；
MN （3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
P MN
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
24．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．（1）求a的值；
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；
（3）求函数f（x）=a（x≥0）的值域．
集贤县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得x＜2，或x＞3，
故函数y=（x2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），
故选B．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
5．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
6．【答案】D
【解析】解：∵f （1）=lg1=0，∴当x ≤0时，函数f （x ）没有零点，故﹣2x +a ＞0或﹣2x +a ＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a ＞2x ，或a ＜2x 在（﹣∞，0]上恒成立，故a ＞1或a ≤0；故选D ．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．　
7． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，x 2a 2y 2b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，
5∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 25
8． 【答案】D
【解析】∵，∴，即为直角三角形，∴，120PF PF ⋅=
12PF PF ⊥12PF F ∆222212124PF PF F F c +==，则，
12||2PF PF a -=222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-.所以内切圆半径
2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-12PF F ∆
，外接圆半径.，整理，得12122
PF PF F F r c +-=
=R c =c =
，∴双曲线的离心率，故选D.2(4c
a
=+1e =+9． 【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公
式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
10．【答案】C
【解析】解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，
∵a n=﹣n+p，∴{a n}是递减数列，
∵b n=2n﹣5，∴{b n}是递增数列，
∵c8＞c n（n≠8），∴c8是c n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，
∴n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，
当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8，
∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
∴c8=b8=23，
那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故选：C．
11．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．　
12．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
二、填空题
13．【答案】　①②　．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a1=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
故在a1=时，数列{a n}是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
14．【答案】(,2)
-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,
(1,0),(0,1),(3,4)A B C ∴，，．
2A z =B z a =64C z a =+∴，解得．
64264a a a
+<⎧⎨+<⎩2a <-15．【答案】　3.3　
【解析】
解：如图BC 为竿的高度，ED 为墙上的影子，BE 为地面上的影子．
设BC=x ，则根据题意
=，AB=x ，
在AE=AB ﹣BE=x ﹣1.4，则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．　
16．【答案】 ．
【解析】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx
=+sin2x
=sin（2x﹣）+．
又x∈[，]，
∴2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
∴sin（2x﹣）+∈[1，]．
即f（x）∈[1，]．
故f（x）在区间[，]上的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．　
17．【答案】　6　．
【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
18．【答案】　60°　．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴=3，
∴cos＜＞==
∵
∴与的夹角为60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，
△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0
解得：m=．
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，
由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1•x2=，
∴|AB|===
=2；
∴m=±．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f （x ）在[3，25]上的最小值为f （25）．
由f （）=f （x 1）﹣f （x 2）得，
f （5）=f （
）=f （25）﹣f （5），而f （5）=﹣1，所以f （25）=﹣2．
即f （x ）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
21．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试
题解析：（1）设和交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的BD AC O EO ABCD O BD E PD 中点，所以，且平面，平面，所以平面.
//EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC
（2），由，可得，作交于.由题设知16V PA AB AD AB =
=A A V =32
AB =AH PB ⊥PB H BC ⊥
平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离PAB BC AH ⊥AH ⊥PBC PA AB AH PB ==A A PBC
考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.
22．【答案】（1）；（2）.3B π=
[1,2)【解析】
23．【答案】
【解析】（1）易知，设，则由题设可知 ，()()0,1,0,1A B -()00,P x y 00x ≠ 直线AP 的斜率，BP 的斜率，又点P 在椭圆上，所以∴0101y k x -=020
1y k x +=，，从而有.（4分）20014x y +=()00x ≠200012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），∴a2=，
∴a=
（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，
又2＜b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴≤（）﹣1=3
∴0＜f（x）≤（0，3]。