2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学(理)试题
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3．D
【详解】
试题分析：当 时， ，所以命题 为假命题；若函数 为偶函数，即函数 的图象向右平移1个单位后关于 轴对称，所以 的图象关于直线 对称，所以命题 为假命题．由此可判断选项Ｄ为真命题.
考点：逻辑联结词与命题．
4．C
【详解】
试题分析：由题意得，自习时间不少于 小时的频率为 ，故自习时间不少于 小时的频率为 ，故选C.
7．下列三图中的多边形均为正多边形， ， 是所在边的中点，双曲线均以图中的 ， 为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 ， ， 、则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
8．已知 是边长为4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）
A． B．4C．3D．
10．如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆 ，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则 的最小值为
A．36B．42
C．49D．50
11．已知函数 ，设 ，若 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数 的个数为
A．31B．32C．33D．34
14．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.
15．若直线 （ 都是正实数）与圆 相交于 两点，当 （ 是坐标原点）的面积最大时， 的最大值为__________．
16．如图，在棱长为1的正方体 中，作以A为顶点，分别以AB，AD，AA1为轴，底面圆半径为 的圆锥．当半径r变化时，正方体挖去三个 圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．
四、解答题
17．已知 三个内角 的对边分别为 ， 的面积 满足 ．
（1）求角 的值；
（2）求 的取值范围．
18．如图，四棱锥 中， 为等边三角形，且平面 平面 ， ， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 两焦点分别为 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过P作倾斜角互补的两条直线 分别交椭圆于 两点．
23．已知函数 ．
(1)若 时，解不等式： ；
(2)对任意实数x，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：集合 ，图中阴影部分表示 ， ，所以 .
考点：集合的运算.
2．B
【解析】
试题分析：因为 所以 故选B.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.
A．1B． C． D．2
3．已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
4．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
考点：频率分布直方图及其应用．
5பைடு நூலகம்A
【解析】
试题分析：对① ，显然满足 ，且存在零点.故选A.
考点：程序框图及函数的性质.
6．C
【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A（3， 1）到原点距离最大，所以 ，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 是实数集 ， 与 都是 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）
A． B．
C． D．
2．设 ，其中x，y是实数，则
21．已知函数 ．
(1)当 时， 取得极值，求 的值．
(2)当函数 有两个极值点 时，总有 成立，求m的取值范围．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 ，曲线 .以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求 的直角坐标方程；
（2） 与 交于不同四点，这四点在 上的排列顺次为 ，求 的值.
(1)求 点坐标；
(2)求证：直线 的斜率为定值；
(3)求 面积的最大值．
20．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国 根据环保部门对某河流的每年污水排放量 单位：吨 的历史统计数据，得到如下频率分布表：
污水量
频率
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．
（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量 的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 时，没有影响；当 时，经济损失为10万元；当 时，经济损失为60万元 为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费 万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
A．56B．60C．140D．120
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f（x）＝sinx ②f（x）＝cosx ③ ④f（x）＝x2
则输出的函数是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝cosxC． D．f（x）＝x2
6．若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是
A．4B．9C．10D．12
二、多选题
12．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
三、填空题
13．已知{ }是等差数列， 是其前 项和.若 ， =10，则 的值是.
【详解】
试题分析：当 时， ，所以命题 为假命题；若函数 为偶函数，即函数 的图象向右平移1个单位后关于 轴对称，所以 的图象关于直线 对称，所以命题 为假命题．由此可判断选项Ｄ为真命题.
考点：逻辑联结词与命题．
4．C
【详解】
试题分析：由题意得，自习时间不少于 小时的频率为 ，故自习时间不少于 小时的频率为 ，故选C.
7．下列三图中的多边形均为正多边形， ， 是所在边的中点，双曲线均以图中的 ， 为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 ， ， 、则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
8．已知 是边长为4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）
A． B．4C．3D．
10．如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆 ，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则 的最小值为
A．36B．42
C．49D．50
11．已知函数 ，设 ，若 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数 的个数为
A．31B．32C．33D．34
14．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.
15．若直线 （ 都是正实数）与圆 相交于 两点，当 （ 是坐标原点）的面积最大时， 的最大值为__________．
16．如图，在棱长为1的正方体 中，作以A为顶点，分别以AB，AD，AA1为轴，底面圆半径为 的圆锥．当半径r变化时，正方体挖去三个 圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．
四、解答题
17．已知 三个内角 的对边分别为 ， 的面积 满足 ．
（1）求角 的值；
（2）求 的取值范围．
18．如图，四棱锥 中， 为等边三角形，且平面 平面 ， ， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 两焦点分别为 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过P作倾斜角互补的两条直线 分别交椭圆于 两点．
23．已知函数 ．
(1)若 时，解不等式： ；
(2)对任意实数x，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：集合 ，图中阴影部分表示 ， ，所以 .
考点：集合的运算.
2．B
【解析】
试题分析：因为 所以 故选B.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.
A．1B． C． D．2
3．已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
4．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
考点：频率分布直方图及其应用．
5பைடு நூலகம்A
【解析】
试题分析：对① ，显然满足 ，且存在零点.故选A.
考点：程序框图及函数的性质.
6．C
【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A（3， 1）到原点距离最大，所以 ，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 是实数集 ， 与 都是 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）
A． B．
C． D．
2．设 ，其中x，y是实数，则
21．已知函数 ．
(1)当 时， 取得极值，求 的值．
(2)当函数 有两个极值点 时，总有 成立，求m的取值范围．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 ，曲线 .以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求 的直角坐标方程；
（2） 与 交于不同四点，这四点在 上的排列顺次为 ，求 的值.
(1)求 点坐标；
(2)求证：直线 的斜率为定值；
(3)求 面积的最大值．
20．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国 根据环保部门对某河流的每年污水排放量 单位：吨 的历史统计数据，得到如下频率分布表：
污水量
频率
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．
（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量 的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 时，没有影响；当 时，经济损失为10万元；当 时，经济损失为60万元 为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费 万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
A．56B．60C．140D．120
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f（x）＝sinx ②f（x）＝cosx ③ ④f（x）＝x2
则输出的函数是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝cosxC． D．f（x）＝x2
6．若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是
A．4B．9C．10D．12
二、多选题
12．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
三、填空题
13．已知{ }是等差数列， 是其前 项和.若 ， =10，则 的值是.