江苏省南京市八年级上第一学期第二次月考数学试卷

江苏省南京市八年级上第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题
1．如图，直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ，点C 在第二象限，过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ，BE OC ⊥于E ，且8BE BO +=，4=AD ，则ED 的长为（ ）
A ．2
B ．32
C ．52
D ．1 2．若分式
15x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠ B ．5x = C ．5x > D ．5x <
3．如图，在△ABC 中，AB="AC," AB ＋BC=8．将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，连接BF ，则△BCF 的周长是（ ）
A ．8
B ．16
C ．4
D ．10
4．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A ．0.220.22a b a b a b a b
++=++ B ．231843214332
x y x y x y
x y +
+=-- C ．n n a m m a -=- D ．221a b a b a b
+=++ 5．下列说法正确的是（ ） A ．（﹣3）2的平方根是3
B 16±4
C ．1的平方根是1
D ．4的算术平方根是2
6．如图，直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1），则不等式组
,0
mx n kx b mx n +≥+⎧⎨+≤⎩的解集是（ ）
A ．3x ≤
B ．n x m ≥-
C ．3n x m -≤≤
D ．以上都不对
7．一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足
a c
b d =，则以下等式不一定成立的是（ ） A ．
a c ＝
b d B ．a b b +＝
c
d d + C ．9a b -＝9c d - D ．99a b a b -+＝99c d c d -+ 8．下列各式成立的是（ ）
A 93=±
B 235=
C ()
233-=± D ．(233-= 9．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A 32B 24x y C y x D 24+x y 10．2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，42的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则
b d a
c +值为（ ） A ．12 B ．14 C ．212 D ．2+12
二、填空题
11．某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y 与年数x 之间的函数关系为________．
12．如图，点A 的坐标为（-2，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P (﹣1，a )在直线y ＝2x +2与直线y ＝2x +4之间，则a 的取值范围是_____．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A 、B 为圆心，大于12
AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是_____．
15．在实数22
，4π，227-，3.14，16中，无理数有______个. 16．若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 17．如图，直线l 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的面积分别为5和11，则b 的面积为__________．
18．若x ，y 都是实数，且338y x x =-+-+，则3x y +的立方根是______.
19．如图，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0)，直线3l x ⊥轴于点(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n .函数y x =的图像与直线123,,n l l l l 分别变于点
123,,,n A A A A ；函数3y x =的图像与直线123,,,n l l l l 分别交于点123,,,n B B B B ，如果11OA B ∆的面积记的作1S ，四边形1221A A B B 的面积记作2S ，四边形2332A A B B 的面积记作3S ，…四边形n 1n n n 1A A B B --的面积记作n S ，那么2020S =________.
20．在第二象限内的点P 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是4，则点P 的坐标是_________.
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数43y x =
与一次函数7y x =-+的 图像交于点A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）在y 轴上确定点M ，使得△AOM 是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标；
（3）如图，设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交43y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =145
OA ，求△ABC 的面积及点B 、点C 的坐标；
（4）在（3）的条件下，设直线7y x =-+交x 轴于点D ，在直线BC 上确定点E ，使得△ADE 的周长最小，请直接写出点E 的坐标．
22．如图，∠AOB ＝90°，OA ＝12cm ，OB ＝8cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A
出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，并且它们的运动时间也相等．
（1）请用直尺和圆规作出C 处的位置，不必叙述作图过程，保留作图痕迹；
（2）求线段OC 的长．
23．建立模型：如图1，已知△ABC ，AC ＝BC ，∠C ＝90°，顶点C 在直线l 上．
（1）操作：
过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ．求证：△CAD ≌△BCE ．
（2）模型应用：
①如图2，在直角坐标系中，直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线l 绕着点A 顺时针旋转45°得到直线m ．求直线m 的函数表达式．
②如图3，在直角坐标系中，点B （4，3），作BA ⊥y 轴于点A ，作BC ⊥x 轴于点C ，P 是直线BC 上的一个动点，点Q （a ，5a ﹣2）位于第一象限内．问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a 的值，若不能，请说明理由．
24．如图，在边长为12cm 的正方形ABCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从点A 出发，在正方形边上沿A B C D →→→的方向以大于1 cm/s 的速度匀速移动，点Q 从点D 出发，在CD 边上沿D C →方向以1 cm/s 的速度匀速移动，P 、Q 两点同时出发，当点P 、Q 相遇时即停止移动.设点P 移动的时间为t(s)，正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为y (cm 2).已知点P 移动到点B 处，y 的值为96(即此时正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为96cm 2).
(1)求点P 的速度:
(2)求y 与t 的函数关系式，并直接写出的取值范围.
25．如图，某斜拉桥的主梁AD 垂直于桥面MN 于点D ，主梁上两根拉索AB 、AC 长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB ⊥AC ，求固定点B 、C 之间的距离；
（2）若固定点B 、C 之间的距离为21米，求主梁AD 的高度．
四、压轴题
26．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线122
y x =+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．
27．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．
28．如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（﹣3，0），D 为x 轴上的一个动点且不与B ，O 重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得线段AE ，使得AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交y 轴于点M ．
（1）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，
①若D 点的坐标为（﹣5，0），求点E 的坐标．
②求证：M 为BE 的中点．
③探究：若在点D 运动的过程中，
OM BD
的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）请直接写出三条线段AO ，DO ，AM 之间的数量关系（不需要说明理由）．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴正半轴于点C ，且OC ＝3．
图1 图2
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标；
（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；30．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
图中直线y=x+b与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，可以根据两点的坐标得出OA=OB，由此可证明△AOD≌△OBE，证出OC=AD，BE=OD，在Rt△OBE中，运用勾股定理可求出BE的长，再根据线段的差可求出DE的长.
【详解】
直线y=x+b(b＞0)与x轴的交点坐标A为（-b，0）与y轴的交点坐标B为（0，-b），
所以，OA=OB，
又∵AD⊥OC，BE⊥OC，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠DOA+∠DAO=90°，∠DOA+∠DOB=90°，
∴∠DAO=∠DOB，
在△DAO 和△BOE 中，
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ，
∴OD=BE.AD=OE ，
∵AD=4，
∴OE=4，
∵BE+BO=8，
∴B0=8-BE ，
在Rt △OBE 中，222BO BE OE =+，
∴222
(8)BE BE OE -=+
解得，BE=3，
∴OD=3，
∴ED=OE-OD=4-3=1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键. 2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的定义即可求解.
【详解】
依题意得50x -≠，解得5x ≠，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的性质.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
由将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，可得BF=AF ，又由在△ABC 中，AB=AC ，AB+BC=8，易得△BCF 的周长等于AB+BC ，则可求得答案．
【详解】
解：由将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，可得BF=AF ，
又由在△ABC 中，AB=AC ，AB+BC=8，
所以△BCF 的周长等于BC+CF+BF=BC+CF+AF=AB+BC=8．
故答案选A ．
【点睛】
此题考查了折叠的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意等量代换，注意数形结合思想的应用．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】
A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得210102a b a b
++，即A 不正确， B . 26(3)184321436()32x y x y x y x y ⨯+
+=-⨯-，故选项B 正确， C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22
a b a b ++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ．
【点睛】 此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义解答即可.
【详解】
A 、（﹣3）2的平方根是±3，故该项错误；B
4，故该项错误；C 、1的平方根是±1，故该项错误；D 、4的算术平方根是2，故该项正确.故选D.
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.
6．C
解析：C
【解析】
首先根据交点得出
3b n m k -=-，判定0,0m k ＜＞，然后即可解不等式组. 【详解】
∵直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1）
∴31,31m n k b +=-+=-
∴33m n k b +=+，即3b n m k
-=- 由图象，得0,0m k ＜＞
∴mx n kx b +≥+，解得3x ≤
0mx n +≤，解得n x m
≥- ∴不等式组的解集为：3n x m -
≤≤ 故选：C.
【点睛】
此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集，利用交点是解题关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
【详解】 解：一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足a c b d
=， ∴
a b c d =，11a c b d +=+，即a b c d b d ++=，故A 、B 一定成立； 设a c k b d
==， ∴a bk =，c dk =， ∴
999999a b kb b k a b kb b k ---==+++，999999c d kd d k c d kd d k ---==+++， ∴
9999a b c d a b c d --=++，故D 一定成立； 若99a c b d --=则99a c b b d d -=-，则需99b d
=， ∵b 、d 不一定相等，故不能得出
99a c b d
--=，故D 不一定成立． 故选：C ．
本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【详解】
=，所以A选项错误；
解：A3
B B选项错误；
=，所以C选项错误；
C3
D、(23=，所以D选项正确．
故选D.
【点睛】
此题考查了算术平方根和二次根式的性质以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
最简二次根式即被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，由此判断即可.
【详解】
解：A
B2
C
D
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
和4的值，确定其整数部分，再用原数减去其整数部分可得小数部分，将求得的值代入求解即可.
【详解】
解：∵1＜2＜4，
∴1＜2．
∴a＝1，b﹣1，
∵2＜4＜3
∴c＝2，d＝4﹣2＝2．
∴b+d＝1，ac＝2．
∴b d
ac
＝
1
2
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的估算，灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键.
二、填空题
11．y=15+2x
【解析】
【分析】
根据年产值y（万元）=现在的年产值+以后每年增加的年产值求解．
【详解】
解：∵某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，
∴年产值y与年数x之间的函数
解析：y=15+2x
【解析】
【分析】
根据年产值y（万元）=现在的年产值+以后每年增加的年产值求解．
【详解】
解：∵某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，
∴年产值y与年数x之间的函数关系为：y=15+2x，
故答案为：y=15+2x．
【点睛】
此题主要考查一次函数在实际问题的应用，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．12．【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，
即可求出B的坐标．
--
解析：(1,1)
【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，即可求出B的坐标．
【详解】
解：过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，
∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=45°=∠AOC，
∴AC=OC，
由勾股定理得：2AC2=OA2=4，
∴2，
由三角形的面积公式得：AC×OC=OA×CD，
22=2CD，
∴CD=1，
∴OD=CD=1，
∴B（-1，-1）．
故答案为：（-1，-1）．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，涉及到垂线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的应用，关键是得出当B和C重合时，线段AB最短，题目比较典型，主要培养了学生的理解能力和计算能力．
13．【解析】
【分析】
计算出当P在直线上时a的值，再计算出当P在直线上时a的值，即可得答案．
【详解】
解：当P在直线上时，，
当P在直线上时，，
则．
故答案为
【点睛】
此题主要考查了一次函数与
解析：0a 2<<
【解析】
【分析】
计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值，再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线y 2x 2=+上时，()a 212220=⨯-+=-+=，
当P 在直线y 2x 4=+上时，()a 214242=⨯-+=-+=，
则0a 2<<．
故答案为0a 2<<
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
14．【解析】
分析：连接AD 由PQ 垂直平分线段AB ，推出DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt△ACD 中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD ．
∵PQ 垂直平
解析：85
【解析】
分析：连接AD 由PQ 垂直平分线段AB ，推出DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，根据AD 2=AC 2+CD 2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD ．
∵PQ 垂直平分线段AB ，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=17
5
，
∴CD=BC﹣DB=5﹣17
5
=
8
5
，
故答案为8
5．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．2
【解析】
【分析】
初中阶段无理数包括三方面的数：①类似于π，2π这样的数，②开方开不尽的数，③无限不循环小数，据此作出判断即可．
【详解】
解：根据无理数的定义，属于无理数，所以无理数有2个.
解析：2
【解析】
【分析】
初中阶段无理数包括三方面的数：①类似于π，2π这样的数，②开方开不尽的数，③无限不循环小数，据此作出判断即可．
【详解】
解：根据无理数的定义
2，
4
属于无理数，所以无理数有2个.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查无理数的定义.熟记无理数的定义并理解初中阶段无理数的几种表现形式是解决此题的关键.
16．4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-
1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值．
【详解】
方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-
解析：4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】 方程变形得：
+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2， ∵方程
122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 17．16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB=AD，∠BC
解析：16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC =∠DAE ，然后证明
△ΔBCA ≌ΔAED ，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB =AD ，∠BCA =∠AED =90°，
∴∠ABC =∠DAE ，
∴ΔBCA ≌ΔAED (ASA )，
∴BC =AE ，AC =ED ，
故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，
即正方形b的面积为16.
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明
ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.
18．3
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【详解】
解：根据题意得，x-3≥0且3-x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以
解析：3
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【详解】
解：根据题意得，x-3≥0且3-x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以x=3，
y=8，
x+3y=3+3×8=27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查二次根式的被开方数是非负数，立方根的定义，根据x的取值范围求出x的值是解题的关键．
19．4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出An−1Bn−1，AnBn的值，再根据直线ln−1与直线ln互相平行并判断出四边形An−1AnBn Bn−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的
表
解析：4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值，再根据直线l n−1与直线l n互相平行并判断出四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S n的表达式，然后把n＝2020代入表达式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意，A n−1B n−1＝3（n−1）−（n−1）＝3n−3−n＋1＝2n−2，
A n
B n＝3n−n＝2n，
∵直线l n−1⊥x轴于点（n−1，0），直线l n⊥x轴于点（n，0），
∴A n−1B n−1∥A n B n，且l n−1与l n间的距离为1，
∴四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，
S n＝1
2
（2n−2＋2n）×1＝
1
2
（4n−2）=2n-1，
当n＝2020时，S2020＝2×2020-1=4039
故答案为：4039．
【点睛】
本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．
20．（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
解析：（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是-4，纵坐标是1，
∴点P的坐标为（-4，1）．
故答案为：（-4，1）．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y
轴的距离
等于横坐标的长度．三、解答题
21．（1）（3，4）；（2）点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，25
8
）；
（3）点B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）点E坐标为（9，1）．
【解析】
试题分析：（1）联立方程组，求解.(2)分类讨论在y轴上确定点OM= OA,OM=AM,总共有4
种可能性.(3)设点B（a，4
3
a），C（a，﹣a+7），利用BC=
14
5
OA，求a值.过点A作
AQ⊥BC，求得△ABC的面积及点B、点C的坐标.(4)利用对称求最小值.试题解析：
解：（1）联立得：
4
3
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得：
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则点A的坐标为（3，4）.
（2）根据勾股定理得：OA=22
34
+=5，如图1所示，
分四种情况考虑：
当OM1=OA=5时，M1（0，5）；
当OM2=OA=5时，M2（0，﹣5）；
当AM3=OA=5时，M3（0，8）；
当OM4=AM4时，M4（0，25
8
），
综上，点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，25
8
）；
（3）设点B（a，4
3
a），C（a，﹣a+7），
∵BC=14
5
OA=
14
5
×5=14，
∴4
3
a﹣（﹣a+7）=14，
解得：a=9，
过点A作AQ⊥BC，如图2所示，
∴S△ABC=1
2
BC•AQ=
1
2
×14×（9﹣3）=42，
当a=9时，4
3
a=
4
3
×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，
∴点B（9，12）、C（9，﹣2）.
（4）如图3所示，
作出D关于直线BC的对称点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，连接DE，此时△ADE 周长最小，
对于直线y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），
由（3）得到直线BC为直线x=9，
∴D′（11，0），
设直线AD′解析式为y=kx+b，
把A与D′坐标代入得：
34 110
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
2
11
2
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线AD′解析式为y=﹣1
2
x+
11
2
，
令x=9，得到y=1，
则此时点E坐标为（9，1）．
点睛：1.平面上最短路径问题
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”.凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.
（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题.
2.平面直角坐标系下，两个一次函数图像的交点坐标问题，可以看作二元一次方程组的解的问题.
3.待定系数法求函数的解析式.
22．（1）详见解析；（2）10
3
cm．
【解析】
【分析】
（1）作AB的垂直平分线，交OA于点C，则点C即为所求；
（2）设BC＝xcm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】
解：（1）如图所示，作AB的垂直平分线，交OA于点C，则点C即为所求；
（2）由作图可得：BC＝AC，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝（12﹣x）cm，
由勾股定理得，BC 2＝OB 2+OC 2，
即x 2＝82+（12﹣x ）2，
解得x ＝263
． ∴OC ＝12﹣
263＝103 答：线段OC 的长是
103
cm ． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用和基本作图：线段的垂直平分线，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）132y x ＝＋；（3）32a ＝或14a ＝
． 【解析】
【分析】
（1）根据AAS 即可证明△DAC ≌△ECB ；
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．根据33y x =+得到AO ＝3，OB ＝1，根据△DCB ≌△OBA 可得点C 的坐标为（－4，1），再根据待定系数法即可求解；
（3）根据题意分两种情况分别作图即可求解.
【详解】
（1）∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°
∵AD ⊥l ，BE ⊥l ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠DAC ＝90° ，
∴∠DAC ＝∠ECB
∵在△DAC 和△ECB 中，∠ADC ＝∠CEB ，∠DAC ＝∠ECB ，AC ＝CB
∴△DAC ≌△ECB （AAS ）
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．
由直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，
可求点A 坐标为（0，3），点B 坐标为（－1，0），
∴AO ＝3，OB ＝1．
由△DCB ≌△OBA 可得，DC ＝OB ＝1，DB ＝OA ＝3，
∴点C 的坐标为（－4，1）
设直线m 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把（0，3），（－4，1）代入， 求得132
y x ＝＋ ．
（3）如图3，由△AEQ ≌△QFP 可得AE ＝QF ，3－（5a －2）＝4－a ，
求得
1
4
a＝．
如备用图，由△AEQ≌△QFP可得AE＝QF，（5a－2）－3＝4－a，
求得
3
2
a＝．
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
24．（1）3 cm/s；（2）
()
()
()
1441204
1802148
1081289
t t
y t t
t t
⎧-≤≤
⎪
=-<≤
⎨
⎪-<≤
⎩
.
【解析】
【分析】
（1）由于P的速度比Q的速度大，因此P到达B点时，Q在DC边上，此时重叠部分面积为正方形的面积减去△DQM和△ABM的面积，求解即可；
（2）分三种情况讨论：当点P在边AB上时，当点P在边BC上时，当点P在边CD上时，根据题意列函数关系式即可．
【详解】
解：（1）由已知得，AB=AD=CD=BC=12，
∵M是AD边的中点，
∴AM=MD=6，
由题意可知当P到达B点时Q在DC边上，DQ=t，
∴ABM DMQ
ABCD
y S S S
=--
△△
正方形，
∴
11
9612126126
22
t
=⨯-⨯⨯-⨯⨯，
解得，t=4，
∴ P点的速度为12÷4=3 cm/s；
（2）当点P在边AB上时，04
t
≤≤，
APM DMQ
ABCD
y S S S
=--
△△
正方形
，
111212636=144-1222
y t t t =⨯-⨯⨯-⨯⨯ 当点P 在边BC 上时，48t <≤，
DMQ ABCD AMPB y S S S =--△正方形梯形
()1112123126126=180-2122
y t t t =⨯-⨯-+⨯-⨯⨯ 当点P 在边CD 上时，8t <≤9，
MQ y S =△P ，
()112336=108-122
y t t t =⨯⨯--⨯； 综上所述，y 与t 的函数关系式为
()()()144120418021481081289t t y t t t t ⎧-≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩
． 【点睛】
本题考查了四边形的动点问题，注意分类讨论是解题的关键．
25．（1）BC
2）12米.
【解析】
【分析】
（1）用勾股定理可求出BC 的长；
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，分别在Rt ABD ∆中和Rt ACD ∆中表示出2AD ,于是可列方程22221320(21)x x -=--，解方程求出x,然后可求AD 的长.
【详解】
解：（1）∵AB ⊥AC
∴
=
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，
在Rt ABD ∆中，2222213AD AB BD x =-=-
在Rt ACD ∆中，2222220(21)AD AC CD x =-=--,
∴2222
1320(21)x x -=--，
∴x=5,
∴12AD =（米）.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键. 四、压轴题
26．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）先求出直线122
y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．
【详解】
解：（1）令0x =，则10222y =
⨯+=， ∴()0,2C ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，
∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =，
∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴152
ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；
（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=
，
∴
2
,0
3 D
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
①如图，CED
∠是直角，过点E作EN x
⊥轴于点N，过点C作CM EN
⊥于点M，由（2）知，90
ACB
∠=︒，
∵CD平分ACB
∠，
∴45
ECD
∠=︒，
∴CDE
△是等腰直角三角形，
∴CE DE
=，
∵90
NED MEC
∠+∠=︒，90
NED NDE
∠+∠=︒，
∴MEC NDE
∠=∠，
在DNE
△和EMC
△中，
NDE MEC
DNE EMC
DE EC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
DNE EMC AAS
≅，
设DN EM x
==，EN CM y
==，
根据图象列式：
DO DN CM
EN EM CO
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，即
2
3
2
x y
x y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，解得
2
3
4
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴
4
3
EN CM
==，
∴
44
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；
②如图，CDE
∠是直角，过点E作EG x
⊥轴于点G，
同理CDE
△是等腰直角三角形，
且可以证得()
CDO DEG AAS
≅，
∴2
DG CO
==，
2
3
EG DO
==，
∴
28
2
33 GO GD DO
=+=+=，
∴
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
综上：
44
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
27．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明PCQ BQC
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠B CQ
∴PQ∥BC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB
∴AM=11
84
22
AB=⨯=（cm）
∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm）
∴
11
8t4162 22
BCQ
S BQ CM t ==⨯-⨯=-
因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．
【点睛】
此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
28．（1）①E（3，﹣2）②见解析；③
1
2
OM
BD
=，理由见解析；（2）OD+OA＝2AM或
OA﹣OD＝2AM
【解析】
【分析】
（1）①过点E作EH⊥y轴于H．证明△DOA≌△AHE（AAS）可得结论．
②证明△BOM≌△EHM（AAS）可得结论．
③是定值，证明△BOM≌△EHM可得结论．
（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．
【详解】
解：（1）①过点E作EH⊥y轴于H．
∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，
∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，
∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，
∴△DOA≌△AHE（AAS），
∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
∴E（3，﹣2）．
②∵EH⊥y轴，
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，
∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴BM＝EM．
③结论：OM
BD
＝
1
2
．
理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，
∵OA＝OB，
∴BD＝OH，
∵△BOM≌△EHM，
∴OM＝MH，
∴OM＝1
2
OH＝
1
2
BD．
（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：当点D在点B左侧时，
∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE
∴OM=MH，OD=AH
∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA
∴BD=OH
∴BD＝2OM，
∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），
∴OD+OA＝2AM．
当点D在点B右侧时，过点E作EH⊥y轴于点H
∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，
∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠DAO＝∠AEH，
∵AD=AE
∴△DOA≌△AHE（AAS），
∴EH=AO=3=OB，OD=AH
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，
∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴OM＝MH
∴OA＋OD= OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）
整理可得OA﹣OD＝2AM．
综上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．
29．（1）
4
4
3
y x
=-+；（2）
612
(,)
55
M；（3）
23
(0,)
7
G或(0,-1)
G
【解析】
【分析】
（1）求出点B，C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合图形，由S△AMB＝S△AOB 分析出直线OM平行于直线AB，再利用两直线相交建立方程组求得交点M的坐标；
（3）分两种情形：①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x 轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．求出Q（n-2，n-1）．②当n＜2时，如图2-2中，同法可得Q（2-n，n+1），代入直线BC的解析式解方程即可解决问题．。