辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期期末考试 数学 Word版含答案

2020－2021学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高－试题
数学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知sin(π－α)＝35，α∈(2
π
，π)，则cosα的值为 A.45 B.－35 C.±45 D.－45
2.已知复数z ＝
1
2
＋22i(i 为虚数单位)，则|z －1|＝
A.
3 B.3
4 C.11 D.1
4
3.设m ，n 是两条不同的直线，α，是两个不同的平面，下列说法正确的是<) A.若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B.若m ⊥α，m//n ，n//β，则α⊥β C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D.若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n
4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b)2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为 A.
3
3
B.233
C.3
D.23
5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成。

若棱台两底面面积分别是400cm 2，900cm 2，高为9cm ，长方体形凹槽的高为12cm ，那么这个斗的体积是
A.6700cm 3
B.6900cm 3
C.13800cm 3
D.14800cm 3 6.函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<
2
π
)的部分图象如图所示。

若对任意x ∈R ，f(x)＋f(2t
－x)＝0恒成立，则t 的最小正值为
A.
512π B.3π C.4π D.6
π 7.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为△ABC 三边a ，b ，c 所对的角。

若cosB 3＝2，且满足关系式
cosB cosC 2sinAsinB b c 3sinC +=
，则a b c
sinA sinB simC
++++＝ A.2 B.4 C.6 D.8
8.在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为
7 B.3 C.
332 D.27
4
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.己知向量a ＝(2，1)，b ＝(－3，1)，则下列说法正确的是 A.(a ＋b )⊥a B.|a ＋2b |＝5
C.向量a 在向量b 方向上的投影的数量是
10
2
D.与向量a 方向相同的单位向量是(255，5
5
) 10.将函数f(x)＝3sin(4x ＋
6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6
π
个单位长度，得到函数y ＝g(x)的图象，则下列说法正确的是 A.g(x)＝－3sin(8x －
6
π
) B.函数y ＝g(x)的图象关于点(12π，0)对称
C.x ＝
3π是函数y ＝g(x)的一条对称轴 D.函数y ＝g(x)在[0，3
π
]上单调递增 11.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1＝6，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，点M 是棱AA 1的中点，则下列说法正确的是
A.异面直线BC 与B 1M 所成的角为90°
B.在B 1C 上存在点D ，使MD//平面ABC
C.二面角B 1－AC －B 的大小为60°
D.B 1M ⊥CM
12.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4asin 2A B
2
+＝0，则下列结论正确的是
A.角C 一定为锐角
B.a 2＋2b 2－c 2＝0
C.3tanA ＋tanC ＝0
D.tanB 的最小值为3 三、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.己知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝2，则(2a －b )·a ＝ 。

14.在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝60°，在塔底C 处测得点A 的俯角β＝45°。

己知铁塔BC 部分高32米；山高CD ＝ 。

15.已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝
12，β∈(0，2
π
)，则tanβ的值为 。

16.如图在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠D ＝2
π
，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将该图形沿对角线
AC 折成图中的三棱锥B －ACD ，且BD ＝3，则此三棱锥外接球的体积为 。

四、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17.(10分)设复数z 1＝1－i ，z 2＝cos θ＋isinθ，其中θ∈(－
2
π
，0)。

(1)若复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点在直线y ＝2x 上，求tan θ的值； (2)求|1z ＋z 2|的取值范围。

18.(12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB 过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点。

求证：
(1)平面EFG//平面ABC ； (2)BC ⊥SA 。

19.(12分)已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且5cosBcosC ＋2＝5sinBsinC ＋cos2A 。

(1)求角A 的大小：
(2)若csinC ＝4(a ＋b)(sinA －sinB)，△ABC 的周长为
713
+，求c 。

20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上的点，且BF ＝
1
4
BC 。

(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ； (2)求点F 到平面PCD 的距离。

21.(12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝
3π，∠ADC ＝2
π
，BC ＝4。

(1)若△ABC 的面积为3，求AC ；
(2)若AD ＝3ACB ＝∠ACD ＋3
π
，求tan ∠ACD 。

22.(12分)已知函数f(x)＝4sin 2x ωcos 2
x
ω＋1，其中常数ω>0。

(1)y ＝f(x)在[4π-，34
π
]上单调递增，求ω的取值范围；
(2)若ω<4，将函数y ＝f(x)图像向左平移3π个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，且过P(6
π
，
1)，若对任意的x ∈[－6π，12
π
]，不等式g 2(x)－mg(x)－1≤0恒成立，求实数m 的取值范
围。

2020-2021学年度下学期沈阳市郊联体考试高一试题
数学答案
1-----4.DABC 5-----8.CBAC 9.ABD 10.BCD 11.ABC 12.BC
13. 10 14. 16316+ 15. 1
3 16.323
π 17【详解】
（1）i i i z z z )cos (sin sin cos )sin )(cos 1(21θθθθθθ-++=+-==--------1分 因为复数21z z z =在复平面内对应的点在直线2y x =上， 所以)sin (cos 2cos sin θθθθ+=-，-------------3分 即θθcos 3sin -=，3tan -=θ.---------5分 （2）因为11z i =-，所以11z i ，
则1
21cos θsin θ1cos θ
1sin θz z i i i ，
)4
sin(223)cos (sin 23)sin 1()cos 1(222
21π
θθθθθ++=++=+++=+z z ，7分
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∈0,2πθ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+4,44πππθ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈+22,22)4sin(πθ， 故()5,12
21∈+z z ，------------------9分
12z z +的取值范围为()
5,1.--------------10分
18.证明：因为
，，垂足为F ，所以F 是SB 的中点， 又因为E 是SA 的中点，所以．
因为平面ABC ，平面ABC ，
所以平面ABC ． 同理
平面ABC ，
又，
所以平面平面ABC ；---------6分 因为平面平面SBC ，且交线为SB ，
又平面SAB ，，所以
平面SBC ，
因为平面SBC ，所以
， 又因为，，AF ，
平面SAB ， 所以平面SAB ， 因为平面SAB ，
所以．-----------------------12分
19【详解】
（1）因为5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+， 所以()5cos cos sin sin 2cos2B C B C A -+=，
()25cos 22cos 1B C A ++=-
22cos 5cos 30A A +-=-------------------------2分
解得：1
cos 2
A =
或cos 3A =-(舍去).------------------4分 因为0A π<<，所以3
A π
=
.------------------6分
（2）由正弦定理有：()()2
4c a b a b =+-，可得(
)2
2
2
4c a b
=-，
又由3
A π
=
及余弦定理有：222a b c bc =+-，有222a b c bc -=-，----------8分
有()
2
2
4c c bc =-，可得：34
b c =
， 有2
222233134416a c c c c ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭
，可得134a =，----------10分
可得ABC
的周长为34a b c c c ++=
++=，
有7742
++=
，可得2c =.--------------------------12分
20【详解】
（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BC ⊥.又底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥.
∵PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB PA A ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB . ∵AE ⊂平面PAB ， ∴BC AE ⊥.
∵PA AB =，E 为PB 中点， ∴AE PB ⊥.
∵PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PB BC B ⋂=， ∴AE ⊥平面PBC .
又AE ⊂平面AEF ，平面AEF ⊥平面PBC .---------------------6分 （2）解：∵//AD BC ，AD BC =， ∴B PCD A PCD V V --=.又A PCD P ACD V V --=， ∴1132
444323
B PCD P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯=，
∵1
42
PCD
S
=⨯= ∴四棱锥B PCD -
的高3B PCD PCD V h S -=
==
∴点B 到平面PCD
的距离为由14BF BC =知，点F 到平面PCD
的距离为342
=.--------------12分
21【详解】
（1）在△ABC 中，4BC =，3
ABC π
∠=，
∴1
sin 2
ABC
S
AB BC ABC =
⋅⋅∠=，可得3AB =，-------------2分 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 13AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，
AC ∴=分
（2）设ACD α∠=，则3
3
ACB ACD π
π
α∠=∠+
=+
，
在Rt ACD △
中，AD =
sin AD AC α=
=
，------7分 在△ABC 中，3
BAC ACB ABC π
πα∠=-∠-∠=
-，
由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠
，即4sin 3πα=
⎛⎫- ⎪⎝⎭，-----9分
32sin 3sin()sin 32
παααα∴=-=-
，可得tan α=
tan ACD ∠=
.---------------------------------------------------12分 22【详解】
（1）由题意得()4sin
cos
12
2
x
x
f x ωω=+()2sin 1x ω=+，---------1分
又0>ω，得()y f x =的最小正周期为2T π
ω
=，
由正弦函数的性质，当2πx ω=-，函数取得最小值，2x πω
=函数取得最大值， ∴,22ππωω⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
是函数2sin y x ω=的一个单调递增区间， 又因为函数2sin 1y x ω=+(0>ω)在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则24
324π
πωππω
⎧-≤-⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩，解得
2
03
ω<≤
.----------------------------------------5分 （2）由（1）得()2sin 1f x x ω=+，将函数()y f x =图像向左平移
3
π
个单位，得到函数2sin 13y x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，即()2sin 13g x x πωω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，-----------6分
∵()g x 的图像过,16P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴11)36sin(2)6(=++=ωπωππg ，
得：sin
02
π
ω=，即：2
k π
ωπ=，k Z ∈，∴2k ω=，k Z ∈，
∵04ω<<，∴2ω=，--------------------------7分 得()22sin 213
g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2523
36x π
ππ≤+≤，
()[]2,3g x ∴∈，-----------------------------------9分
令()[]2,3t g x =∈，参变分离得1
m t t ≥-在[]2,3恒成立，令()1h t t t
=-， 则函数()h t 在[]2,3上递增，当3t =时，()max 18333h t =-=.8
3
m ∴≥-----------12分。