(甘志国)学生为什么会这样频繁出错？

学生为什么会这样频繁出错？
甘志国(已发表于 河北理科教学研究,2014(4)：37-40)
北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学(理科)第19题(满分13分)即倒数第二题是：
统考题 已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于
A 、
B 两点.
(1)若抛物线的准线为1-=x ,直线l 的斜率为1，求线段AB 的长；
(2)过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点D ，求证：A 、O 、D 三点共线.
答案：(1)先得抛物线x y C 4:2=，……可得8=AB .(2)略.
这道题源于普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第70页例5.但我们在统一阅卷(丰台区的所有高二理科数学老师在一起对全区近两千份试卷网阅)时，发现近一半学生在对第(2)问的解答中是把抛物线C 的方程按x y 42=来解答的，而不是按大前提“抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ”来求解的.产生此种错误，实在可惜！
在这道题中，最前面的话“已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点”叫大前提，在解答第(1),(2)问时均适用.然后，在解答各问时，分别只能再使用各问的已知条件(叫小前提).一般来说，解答第(1)问时不能使用第(2)问的小前提，除非第(2)问的小前提可由大前提得到；同理，一般来说，解答第(2)问时也不能使用第(1)问的小前提，除非第(1)问的小前提可由大前提得到，或者第(2)问中注明了“在第(1)问的条件下”.
笔者也在思考：为什么时常有学生会犯这种错误呢？除了审题不清之外，我们老师在教学时也一定有失误(可能没有讲清上面的内容)，甚至教科书、权威教辅资料、高考题中也没有做好这方面的表率.比如，笔者发现了普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版) (下简称《必修2》)中有3道题(即下面的题1,2,3)，与一本教材配套使用的《教师教学用书》中有1道题(即下面的题4)，还有一道高考题(即下面的题5)均有这方面的瑕疵.
题1 (《必修2》第79页第1题)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，
(1)点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将DCF AED ∆∆,分别沿DF DE ,折起，使C A ,两点重合于点A '.求证：EF D A ⊥'.
(2)当BC BF BE 4
1==时，求三棱锥EFD A -'的体积.
(第1题)
与《必修2》配套使用的《教师教学用书》第41页给出的第(2)问的答案是：12
17. 对题1的分析 第(2)问中诸字母的含义只能由大前提“如图，在边长为2的正方形ABCD 中”决定，而这是不可能的！无可奈何之后，只有再结合第(1)问的小前提来寻找其含义：而这样又会产生矛盾——“BC BF BE 41=
=”与“点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点”，所以建议把此题改述为:
如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点F E ,分别在边BC AB ,上,且BC BF BE 4
1=
=,将DCF AED ∆∆,分别沿DF DE ,折起,使C A ,两点重合于点A '.
(第1题)
(1)求证：EF D A ⊥'；
(2)求三棱柱EFD A -'的体积. 题2 (《必修2》第133页第5题)已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x .
(1)画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点B A ,.直线PB PA ,是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB 的方程.
对题2的分析 第(2)问中“以Q '为圆心的圆”的含义只能在大前提中寻找，但大前提
中没有哇！无可奈何之后，只有再结合第(1)问的小前提来寻找其含义，但这也不妥：由第
(1)问只能知道点Q '为线段PQ 的中点，而“以Q '为圆心的圆”有无数个，所以第(2)问也无从回答，认为第(2)问中的“以Q '为圆心的圆”就是第(1)问中的“以以PQ 为直径，Q '为圆心的圆”是牵强附会的.第(3)问中“直线AB ”的含义只能在大前提中寻找，但大前提中没有哇！无可奈何之后，只有再结合第(1)问和第(2)问的小前提来寻找其含义，这显然不妥！何况第(2)问中的“以Q '为圆心的圆”不是确定的条件.建议把此题改述为:
已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(:22=-+-y x C .
(1)画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆C '，再求出它的方程；
(2)作出圆C 和第(1)问中的圆C '的两个交点B A ,后，直线PB PA ,均是圆C 的切线吗？为什么？
(3)对于第(2)问的点B A ,，求直线AB 的方程.
题3 (《必修2》第144页B 组第4题)已知直线052:=--y x l 与圆50:22=+y x C .求：
(1)交点B A ,的坐标； (2)AOB ∆的面积.
对题3的分析 第(2)问中点B A ,的含义只能在大前提中寻找，但大前提中没有哇！无可奈何之后，只有再结合第(1)问的小前提来寻找其含义，而这显然不妥！建议把此题改述为：
4.已知直线052:=--y x l 与圆50:22=+y x C 相交，且两个交点分别是B A ,.求：
(1)交点B A ,的坐标； (2)AOB ∆的面积.
笔者发表于《中学数学杂志》2013年第11期第19-21页的文章《对人教版教科书<数学2·必修·A 版>的几点建议》也给出了以上题1的修改建议.
普通高中课程标准实验教科书《教师教学用书·A 版·数学·选修2-2》(人民教育出版社，2007年第2版，2012年印刷)第59页第三题第1题及其答案(见该页)是：
题4 假设2)(,)(kx x f x x g ==，其中k 为常数.
(1)计算)(x g 的图象在点(4,2)处的切线斜率；
(2)求此切线方程；
(3)如果函数)(x f 的图象经过点(4,2)，计算k 的值；
(4)求函数)(x f 的图象与(2)中的切线的交点.
答案：(1)41；(2)141+=x y ；(3)81；(4)⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21,2),2,4(. 对题4的分析 第(2)问中“此切线”的含义只能在大前提中找，但找不到，在不得已的情况下只有在第(2)问中寻找，从给出的答案来看，出题者就是这个意思；第(4)问中函数)(x f 的意义由大前提决定(与第(3)问无关)，所得答案应当对k 进行分类讨论(且还应注意交点和切点的区别，见甘志国发表在《中学数学教学》2009年第3期的文章《应区分“交点”与“公共点”》)，但从给出的答案来看，出题者的意思是“第(4)问中的函数)(x f 中的k 就是第(4)问求出的k ”.
建议把此题及其答案改述为： 设函数2)(,)(kx x g x x f ==，其中k 为常数.
(1)求函数)(x f 的图象在点(4,2)处的切线l 的斜率及方程；
(2)若函数)(x f 的图象经过点(4,2)，求k 的值及此时函数)(x f 的图象与(1)中的切线l 的交点坐标.
答案：(1)41，141+=x y ；(2)81=k ，交点坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21,2),2,4(. 在2011年高考广东卷理科数学第17题(即下面的题5)中也出现了这种情形：
题5 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生成的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素y x ,的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
(2)当产品中的微量元素y x ,满足175≥x ，且75≥y 时，该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望).
答案：(1)乙厂生产的产品数量为3514
598=⋅(件). (2)样本中满足175≥x ，且75≥y 的产品有2件，所以样本中优等品的频率为
52，由此可估计乙厂生产的优等品的数量为145
235=⋅
(件). (3)ξ的可能取值为0,1,2，且
10
1C C )2(,53C C C )1(,103C C )0(25222512132523=========ξξξP P P 所以ξ的分布列为
ξ的均值为510251100)(=⋅+⋅+⋅=ξE . 对题5的分析 解答第(2)问时，必须要知道乙厂生产的产品数量，而在大前提及第(2)问的题设中均找不到，考生(也包括所有的答题者)在万般无赖的情形下，只有在第(1)问中找出这个数据；解答第(3)问时，必须要知道“上述5件产品中优等品的件数”(即“何为优等品”)，而在大前提及第(3)问的题设中均找不到，答题者就只有在第(1)问或第(2)问中找：果真在第(2)问中找到了！而后也作出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.
这好像就是出题者的意思.但这是不对的，也是完全错误的！可把此题改述为：
甲、乙两厂生产同一种产品，甲厂共生产了98件.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生成的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
当产品中的微量元素y x ,满足175≥x ，且75≥y 时，该产品为优等品.
(1)求乙厂生产的产品数量；
(2)用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望).
高考试题(不同于自主招生试题、竞赛题)往往一题多问，在编拟时要注意各问一般来说都是独立的.。