高中数学双曲线讲义

双曲线
学习目标：
1.定义及标准方程
2.几何性质．
3.直线与双曲线 Ⅰ、温故知新： 1.双曲线定义．
平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数（小于｜F,F2|)的点的轨迹（或集合）叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作焦距。

2.双曲线的标准方程
22
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1x y a b -=(a>0,b>0)焦点坐标为（c, 0),（－c,0). 焦点在y 轴上的双曲线标准方程为
22
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1y x a b -=(a>0,b>0)焦点坐标为（0,-c)（0,c) .其中e 2=a 2+b 2.
Ⅱ、设问导读
题型一：根据条件求双曲线的基本元素a 、b 、c 、e 及渐近线
【例1】求双曲线25x 2-16y 2
=400的两条渐近线方程是 【分析】已知双曲线的方程求渐近线方程一般有两种方法：
【解答】方法一：化方程为标准方程22
11625
x y -=,
焦点在x 轴上，于是双曲线的渐近线方程为；
b y a
=±
=±54
x
题型二：运用双曲线定义解题 【例2】设P
是双曲线22
1169
x y -=上一点，已知
P
到双曲线的一个端点的距离等于10,则P 到另一个端点的距离是( ) x,即为所求渐近线方程。

A. 2 B. 18 C. 20 D.2或18 【分析】
设双曲线的两个焦点为F 1、F,则根据双曲线的定义有｜｜PF 1|-|PF 2||=2a=8,设｜PF 1|=10则｜PF 2|=2或18,故应选D. 【例3】
已知方程
22
121x y k k
-=++表示双曲线，求k 的取
值范围。

【分析】本题考查双曲线方程的形式，左端为平方相减，右端为1,平方的分母均为正数，焦点在x 轴上的x 作被减数，焦点在y 轴上的y 作被减数，本题并未说焦点在那个轴上，分两种情况
讨论，即x 2和y 2
的分母同为正数或同为负数，即分母同号。

【解答】
方程
22
121x y k k
-=++表示双曲线，∴
（2+k)(1+k)>0解之得k>-1或k<-2 【例4】
22
121x y k k
+=++表示双曲线，求k 的取值范
围。

【分析】本题考查双曲线方程的形式，左端为平方相减，右端为1,平方的分母均为正数，焦点
在x 轴上的x 2作被减数，焦点在y 轴上的y 2
作被减数，本题并未说焦点在那个轴上，分两种情
况讨论，即x 2和y 2
的分母同为一正数一负数或一负数一正数，即分母异号。

【解答】 方程
22
121x y k k
+=++表示双曲线∴（2+k)(1+k)<0解之得－2<k<-1
题型三：根据已知条件，求双曲线的方程 【例5】
双曲线的实轴长为6.离心率为2,焦点在x 轴上，则此双曲线的标准方程为 【分析】
2a=6,∴a=3,又e=2=
c a
∴c=6,∴
b 2
=c 2
-a 2
=62
-32
=27
又∴双曲线的焦点在x 轴上，，双曲线的方程为
22
1927
x y -= 【点评】求圆锥曲线的方程一般分两步求。

一是根据已知条件确定圆锥曲线的方程形式；二是求出a 、b 、c 及e. Ⅲ、自学检测： 1.若椭圆
2214x y m +=与双曲线22
12
x y m -=有相同的
焦点，则m 的值是
2.与双曲线22
16436
x y -=有相同的渐近线，且过此双
曲线的焦点，符合条件的双曲线的方程为 3.方程
22
2114
x y k -=-表示双曲线，则k 的取值范围
是 4.与双曲线22
1169
x y -=有相同的渐近线，且过点
)的双曲线方程
5.方程
22
122
x y k k -=-+表示双曲线，则k 的取值范
围是
Ⅳ、巩固训练： 1、已知双曲线与椭圆
22
12736
x y +=有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程
2. 一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，
焦距为一双曲线和这个椭圆有公共的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73
,求此椭圆
和双曲线的方程。

3. 求适合下列条件的双曲线方程： (1)准线方程为x=6,一条渐近线的倾角为6
π;
(2)与椭圆x 2+4y 2
=64共焦点，它的一条渐近线方
程为
24. 求以过原点与圆x 2+y 2
-4x+3=0相切的两直线为渐近线，且过椭圆4x+y=4的两焦点的双曲线方程。

Ⅴ、拓展延伸：
1.(2016)等轴双曲线的离心率为（ )
2.(2019)已知双曲线方程为22
1259
x y -=,则其渐近线方程为( )
A.54
y x =± B.53
y x =± C.45
y x =± D. 35
y x =±
1.(2014)已知双曲线2
2
21y x m
+=与抛物线
y 2
=8x 有
共同的焦点F 2,过双曲线的左焦点F 1,作倾斜角是30°的直线与双曲线交于A,B 两点， ①求直线和双曲线的方程； ②求ΔF2AB 的面积。