贵州省顶效中学高二数学下学期4月月考试题 文 新人教A版【会员独享】

贵州省顶效中学2011-2012学年高二下学期4月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1． 已知()()3,1,2,a b λ==，若//a b ，则实数λ的值为（ ）
A ．2
3- B ．3
2- C ． 23 D ．3
2
【答案】C
2．已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若)21
(+=-λ(λ∈[0，+∞))，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
【答案】C
3． 下列说法中错误．．的是（ ）
A ．零向量是没有方向的
B ．零向量的长度为0
C ．零向量与任一向量平行
D ．零向量的方向是任意的
【答案】A
4．设向量),25sin ,25(cos ),55sin ,55(cos ︒︒=︒︒=b a 若t -（ ）
22
.A 21
.B 1.C 2.D
【答案】B
5．下列命题正确的是( )
A ．单位向量都相等
B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0
D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1
【答案】C
6．已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =，4BC =，5CA =，则
AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 ( )
A ．25
B ．24
C ．－25
D ．－24
【答案】C
7．设向量a ＝(1,0)，b ＝(1
2，1
2)，则下列结论中正确的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
【答案】C
8． 如图，一个质点从原点出发，在与y 轴.x 轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，
1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，
那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是 (
A ．（13，44）
B ．（14，44）
C ．（44，13）
D ．（44，14）
【答案】A 9．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
10．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为
( )
A ．2－1
B ．1
C ． 2
D ．2
【答案】B
11． 已知非零向量a 、b 满足向量+a b 与向量-a b 的夹角为
2π，那么下列结论中一定成．．．立．
的是（ ） A ．=a b
B ．||||=a b
C ．⊥a b
D ．a b
【答案】B 12．若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足11,32CM CB CA MA MB =
+⋅则=（ ） A ．139 B ．—139 C ．89 D ．—89
【答案】D
II 卷
二、填空题
13． ()()111a m b n ==-，，，（其中m n 、为正数）
，若a //b ，则12m n
+的最小值是
【答案】3+14．已知向量a ＝(3,5)，b ＝(2,4)，c ＝(－3，－2)，a ＋λb 与c 垂直，则实数λ＝________.
【答案】－1914
15． 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________.
【答案】4
16．若非零向量a ，b 满足b a b a -==，则a 与b a +的夹角为 ．
【答案】 30
三、解答题
17．已知ABC △的面积为1，且满足2≥⋅，设AB 和AC 的夹角为θ．
(1）求θ的取值范围；
(2）求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=4cos 22cos 3)(2πθθθf 的最小值． 【答案】（1）设ABC △中角A
B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 2
1=θbc ，2cos ≥θbc ， 可得1cot ≥θ，⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈∴4,0πθ． (2）132sin 24cos 22cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πθπθθθf ⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈4,0πθ ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴65,332πππθ， 所以，当6532ππ
θ=+，即4
πθ=时，.0)(min =θf 18．已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos A 2，tan A ，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－cos A 2，1tan A ，且m ·n ＝12． (1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝4，△ABC 的面积为3，求a 的值．
【答案】(1)由m ·n ＝12得－2cos 2A 2＋1＝12⇒cos A ＝－12
，所以A ＝120°. (2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝12
bc sin120°＝3，得bc ＝4， 故a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝12，
所以a ＝23．
19．已知向量3(sin ,),2
a x = (cos ,1)
b x =-
(1)当向量a 与向量b 共线时，求tan x 的值；
(2)求函数()2()f x a b b =+⋅的最大值,并求函数取得最大值时的x 的值.
【答案】 (1)与 共线,∴3cos sin 02x x +=,∴3tan 2
x =-. (2))21
,cos (sin x x +=+ ,1()2()2(sin cos ,)(cos ,1)2f x a b b x x x =+⋅=+⋅-
22sin cos 2cos 1sin2cos2x x x x x =+-=+)4
x π=+，∴函数()f x 的最大值为
22(Z),42x k k π
π
π+=+∈得.28k x ππ=+函数取得最大值时().28
k x k Z ππ=+∈ 20．已知2(1,),(,),a x b x x x m ==+-为实数，
求使2()(1)10m a b m a b ⋅-+⋅+<成立的x 的范围.
【答案】 22a b x x x x ⋅=+-= 01)1(01)1()(22<++-⇔<+⋅+-⋅∴x m mx m m
10
当m =0时，x ＞1 20
当m ≠0时，0)1)(1(<--x m
x m ①m ＜0时，m
x x 11<>或 ②0＜m ＜1时，m x 11<< ③m =1时， x 不存在
④m ＞1时，11<<x m
21．已知向量).0,1(),cos ,cos (),sin ,(cos -=-==c x x b x x a
(1）若c a x ,,6求向量π
=的夹角；
(2）当]8
9,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值。

【答案】（1）当6π
=x 时， 22220)1(sin cos cos |
|||,cos +-⨯+-=⋅⋅>=<x x x c a c a c a .65cos
6cos cos ππ=-=-=x ,,0π>≤≤<c a
.6
5,π>=∴<c a (2）1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x b a x f
)1cos 2(cos sin 22--=x x x
)42sin(22cos 2sin π
-=-=x x x
],8
9,2[ππ∈x ]2,4
3[42πππ∈-∴x 故],22.1[)42sin(-∈-
πx ∴当.1)(,2,4342max ===-x f x x 时即πππ
22．已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －
sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，设函数f (x )＝m ·n ，且函数f (x )的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列．当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．
【答案】(1)∵m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，
n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )(ω>0)
∴f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23cos ωx sin ωx
＝cos2ωx ＋3sin2ωx .
∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π6
)． ∵函数f (x )的周期为π，∴T ＝2π2ω
＝π.∴ω＝1. (2)在△ABC 中，f (B )＝1，∴2sin(2B ＋π6
)＝1. ∴sin(2B ＋π6)＝12
． 又∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136
π. ∴2B ＋π6＝5π6．∴B ＝π3
． ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .
∴cos B ＝cos π3＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12
， ∴ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c )24
． 化简得a ＝c .又∵B ＝π3
，∴△ABC 为正三角形．。