2019-2020学年四川省名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年四川省名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；
②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质2
2
||=a a 类比得到复数z 的性质2
2
||z z =；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①② B ．③④
C ．②③
D ．①④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断． 【详解】
①设a r 与b r 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r
成立；
②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r
，
所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c r 共线的向量，()
a b c na ⋅⋅=r r r r 表示与a r 共线的向量，
但a r 与b r
不一定共线，()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 不一定成立；
③设复数(),z x yi x y R =+∈，则2
22z x y =+，()(
)2
2
2
2
2z x yi x y
xyi =+=-+是一个复数，所以
2
2z z =不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D ． 【点睛】
本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．
2．设曲线1
1
x y x +=
-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12
B ．1
2-
C ．2-
D ．2 【答案】D 【解析】
试题分析：由1
1x y x +=
-的导数为()()
22
1(1)211x x y x x --+-'==--，则在点()2,3处的切线斜率为()
2
2
221-=--，由切线与直线10ax y ++=平行，所以22a a -=-⇒=，故选D ．
考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程． 3．若2
20
a x dx =
⎰
，230
b x dx =⎰，2
sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
【答案】A 【解析】
分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小．
详解：由题意，可得223200
18|33a x dx x ===⎰，2
3
42001|44b x dx x ===⎰，
2
2
00
sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，
则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．
点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥
【答案】D 【解析】
A 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；
B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相
交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D 正确.
5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，
三角形面积为60A =︒，则a =( ) A ．7 B ．8
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】
分析：由已知及三角形的面积公式可求bc ，然后由a+b+c =20以及余弦定理，即可求a ．
详解：由题意可得，S △ABC =12bcsinA=1
2
bcsin60° ∴
1
2
bcsin60°
bc=40 ∵a+b+c=20 ∴20﹣a=b+c ．
由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2﹣2bccos60°=（b+c ）2﹣3bc=（20﹣a ）2﹣120 解得a=1． 故选A ．
点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．
6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3
PFQ π
∠,则双曲线
的离心率e 等于（ ） A
1 B
C
1
D
2+
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对称性知12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126
PF F π
∠=
，可得122PF PF =，
利用双曲线的定义得出22PF a =，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率e 的值. 【详解】
由双曲线的对称性可知，12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126
PF F π
∠=，则122PF PF =，
由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F ∆
中，21212
2tan 23PF a PF F F F c ∠==
=
，c
e a
∴==，故选B. 【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题． 7．已知集合{
}2
|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）
A ．1或2
B ．0或1
C ．0或2
D ．0或1或2
【答案】D 【解析】 【分析】
就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】
因为当0a =时，{
}2
|0{0}A x x
===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.
综上，a 的值为0或1或2.故选D. 【点睛】
本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.
8．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是 ( ) A ．120 B ．120- C ．100 D ．100-
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：3x 的系数,由()5
12x -的3次项乘以2,和()5
12x -的2次项乘以x 的到,故含3x 的是
()()3
2
32355222120C x C x x x -⋅+-⋅=-,选B .
考点：二项式展开式的系数. 【方法点睛】
二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样3x 就可以分解成3x 乘以常数和2x 乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来
的系数求和.如()
3
21x x ++要求5x 次方的系数,计算方法就是2
33C =,也就是说,有两个是取2x 的,剩下一
个就是1x 的.
9．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC V 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值
2
a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）
A B C a D 【答案】B 【解析】 【分析】
将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.
【详解】
棱长都等于a 的正四面体ABCD ：
每个面面积为：221sin 23S a π=
=
体积为：2313V =
= 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和
32123412341()12343
V a a h h h h h h h h =
=⨯+++⇒+++= 故答案选B 【点睛】
本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键. 10．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
3,N σ，且()60.9P X ≤=，则()03P X <<=（ ）
A ．0.4
B ．0.5
C ．0.6
D ．0.7
【答案】A 【解析】 ∵P （x≤6）=0.9， ∴P （x ＞6）=1﹣0.9=0.1． ∴P （x ＜0）=P （x ＞6）=0.1， ∴P （0＜x ＜3）=0.5﹣P （x ＜0）=0.2． 故答案为A ．
11．已知集合2
{|1213},{|0},x A x x B x x
-=-≤+≤=≤，则A B I 等于( ) A ．{|10}x x -≤< B ．{|01}x x ≤≤ C ．{|02}x x ≤≤
D ．{|01}x x <≤
【答案】D 【解析】
分析：求出集合A ，B ，即可得到A B ⋂.
详解：2
{|1213}{|11},{|
0}{|02},x A x x x x B x x x x
Q -=-≤+≤=-≤≤=≤=<≤ {|01}.A B x x ∴⋂=<≤
故选D.
点睛：本题考查两个集合的交集运算，属基础题.
12．阅读下图所示程序框图，若输入，则输出的值是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A 【解析】
试题分析：由程序框图可知该算法是计算数列()()()*
12121k N k k ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭
的前2016项和，根据
()()1
111212122121k k k k ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
，所以11111111123355740314033S ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪⎝⎭L 112006
1240134013
⎛⎫-=
⎪⎝⎭。

考点：1.程序框图；2.数列求和。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设()
2
2
521545
a z a a i a a -=
++-+-为实数时，实数a 的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】 设()
22
5
21545
a z a a i a a -=
++-+-Q 为实数，22150a a ∴+-=，可得3a = 或5a =- 又因为2450,3a a a +-≠∴=，故答案为3.
14．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111
a b c
++的最小值是______________． 【答案】9
【分析】 有错
111111()()(3)b a c b c a
a b c a b c a b c a b b c a c
++=++++=++++++，可以接着利用基本不等式解得最小值. 【详解】
∵1a b c ++=，∴111111()()(3)b a c b c a
a b c a b c a b c a b b c a c
++=++++=++++++， 222，，+≥+≥+≥Q b a c b c a
a b b c a c
，当且仅当=b=c a 时不等式取等号， ∴111
32229a b c
++≥+++=，故111a b c ++的最小值是9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“1a b c ++=”，是解决本题的关键.
15．现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号1、2、3，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种． 【答案】6 【解析】 【分析】
设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.
【详解】
设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：()123,,A B C 、()132,,A B C 、()213,,A B C 、
()231,,A B C 、()312,,A B C 、()321,,A B C ，
因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为6. 【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
16．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，其外接圆的直径为d ，且满足
cos cos 4cos 0b A a B c C +-=，则
c
d
=______________.
【答案】4
【解析】
先利用余弦定理化简已知得1cos 4C =，所以sin 4
C =，再利用正弦定理求解. 【详解】
由cos cos 4cos 0b A a B c C +-=及余弦定理，
得22222
4cos 22b c a a c b b a c C bx a +-+-⋅+⋅-0=，
得22224cos 022b c a a c b
c C c c
+-+-+-=，
得4cos 0c c C -=，即()14cos 0c C -=，
所以1cos 4C =
，所以sin 4
C =
由正弦定理，得
sin c
d C
=，
则
sin 4
c C
d ==
.
故答案为4
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．对某种书籍每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
其中1i i x ω=，6
1
16i i ωω==∑.
为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y a bx =+，d
y c x
=+. （1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）
（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归方程ˆˆˆv
u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12
2
1
ˆn
i i i n
i
i u v nuv
u
nu β
==-=-∑∑，ˆˆv u α
β=-. 【答案】 (1) 模型d
y c x
=+更可靠. (2) y 关于x 的回归方程为8
ˆ 1.2y
x
=+.当20x =时，该书每册的成本费ˆ 1.6y =（元）. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：(1)根据散点呈曲线趋势，选模型d y c x
=+更可靠. (2)根据公式求得ˆd
，根据ˆˆv u αβ=-求得ˆc ，最后求自变量为20 对应的函数值. 详解：（1）由散点图可以判断，模型d
y c x
=+更可靠. （2）令1
x
ω=
，则y d c ω=+， 则6
16
22
1
6 4.8
80.ˆ60
6i i i i i y y
d ωωωω==-==
=-∑∑. ∴ 4.2ˆˆ20.37758 1.2c
y d ω=-=-⨯=，
∴y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆy
ω=+. 因此，y 关于x 的回归方程为8
ˆ 1.2y x
=+. 20, 1.6.x y ==
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量
的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b
$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(),x y . 18．如图：圆锥底面半径为1，高为2.
(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值； (2)圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大值？说明理由； 【答案】（1）π；（2）无最大值。

【解析】 【分析】
（1）设内接圆柱的底面半径为r ，由相似形求出圆柱的高，表示出侧面积，然后求最大值； （2）利用（1）中的结论，把圆柱的全面积表示出来，研究函数是否有最大值． 【详解】
（1）设圆锥内接圆柱的底面半径为r (01)r <<，高为h ，由轴截面图形可得
221
h r
-=，22h r =-， 2211
22(22)4()4[()]24
S rh r r r r r ππππ==-=-+=--+圆柱侧，
∴1
2r =时，S 圆柱侧取得最大值144
ππ⨯=．
（2）由（1）222
224()S r S r r r πππ=+=+-全圆柱侧2
2(2)r r π=-+22[(1)1]r π=--+，
∵01r <<，∴S 全无最大值． 【点睛】
本题考查圆锥与其内接圆柱问题，求面积最大值问题，可引入一个参数，如本题中底面半径r ，把面积用这个参数表示出来，然后研究相应函数的最大值．
19．已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且b c =.
（1）求直线AB 的方向方量；
（2）若Q 是椭圆上的任意一点，求12FQF ∠的最大值；
（3）过1F 作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若||3CD =，求椭圆的方程.
【答案】（1）(2,1)-或(2,1)-；（2）2π；（3）22
142
x y +=.
【解析】 【分析】
（1）根据题意可得222a c b b =+=，2
2
02AB k b
==-
-，即直线AB 的方向方量可以为(2,1)-或(2,1)-．
（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==,
222222
12(2)()424cos 10222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠=
==-≥，即可求解． （3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，直线CD 的方程为2x y b =--，利用韦达定理、弦长公式计算．
【详解】
（1）Q b c =，222a c b b ∴=+=，
∴右顶点(2,0)A b ，上顶点(0,)B b ，则2
2
02AB k b
=
=-
-
∴ 直线AB
的方向方量为(
或1)-．
（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==，
则2
2
2
2
2
2
12
(2)()424cos 1222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠===- 22
2242110
2()2
b b m n a ≥-=-=+⋅ 当且仅当m n =时，即Q 为上（或下）顶点时，12FQF ∠的最大值，最大值为
2
π
. （3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，
C AB
D Q P ，∴直线CD
的方程为x b =-，
由22
221
2x y b b x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
可得2240y b +-=
12y y ⇒+=，2124b y y =-，
123CD y ∴=-==，解得
22b =，24a =，
∴椭圆方程为22
142
x y +=
【点睛】
本题考查的知识点比较多，椭圆方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦长公式等，综合性比较强，需熟记公式；同时本题也需有一定的计算能力.
20．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos B
C B
=-．
（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；
（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为2
4
a ，求2
b a
c 的值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）2+ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为
sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1
sin 2
B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果. 【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B
C B
=
-得：sin sin cos 1cos C B
C B =- 则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+
A B C π++=Q ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=
由正弦定理可知：c a =
ABC ∆∴为等腰三角形
（Ⅱ）由题意得：2
211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2
B =
ABC ∆Q 为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 3
cos 2
B ∴=-
由余弦定理得：()
2
2
2
2
2
2
2cos 2323b a c ac B a a a =+-=+=+
22
223b b ac a
∴==+ 【点睛】
本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.
21．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12
. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】 (1)3
8
；(2)答案见解析.
【解析】
分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；
（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为
；
（2）因为每人可被录用的概率为
，
所以
，
， ，
；
故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P
所以，X 的数学期望为
．
点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法
(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单． 22．在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示: 组别 [)30,40
[)40,50
[)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[]90,100
频数
2
15
20
25
24
10
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布8(),19N μ，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求()3779P Z <≤ （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为: 赠送话费的金额(单位:元)
20 40 概率
3
4
14
现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与均值.
附:14.≈
若2~(,)X N μσ，则 0.6826, ())22(P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=0.9544，
33 0.99)7( 4.P X μσμσ-<<+=
【答案】（1）0.8185；（2）分布列见解析；37.5E ξ= 【解析】 【分析】
（1）由题意求出65Ez =，从而65μ=，进而(5179)0.6826P Z <=…，(3793)0.9544P Z <=…．由此能求出(3779)P Z <…．
（2）由题意知1
()()2
P Z P Z μμ<==…
，获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E ξ． 【详解】
解：（1）由题意得
350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.0465Ez =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
65μ∴=
，14σ≈Q ，
(65146514)(5179)0.6826P Z P Z ∴-<+=<=剟， (6521465214)(3793)0.9544P Z P Z -⨯<+⨯=<=剟， 1(3751)[(3793)(5179)]0.13592
P Z P Z P Z ∴<=<-<=剟?
综上(3779)(3751)(5179)0.13590.68260.8185P Z P Z P Z <=<+<≈+=剟
?． （2）由题意知1
()()2
P Z P Z μμ<==…
， 获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1． 133
(20)248
P ξ==⨯=；
1113313
(40)2424432P ξ==⨯+⨯⨯=；
1311133
(60)24424416P ξ==⨯⨯+⨯⨯=；
1111
(80)24432
P ξ==⨯⨯=；
ξ 的分布列为：
31331
2040608037.58321632
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．。