杭州高级中学2024年高三第一次教学教学质量诊断性考试数学试题

杭州高级中学2024年高三第一次教学教学质量诊断性考试数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +
B ．1i -
C ．i
D ．i -
2．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在
C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，
由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）
A ．3
B ．32
C ．4
D ．42
3．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．斜率为1的直线l 与椭圆2
2x y 14
+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )
A ．2
B 45
C 410
D 810
5．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③
D ．②③④
6．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
8113
D ．10
7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A ．4π
B ．16π
C ．36π
D ．
643
π
8．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1
B 5
C 3
D ．5
9．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2
2
20x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程
2268240a b a b ++-+=则
y b
x a
--的取值范围是（ ） A ．[]22-,
B ．474733⎡--+⎢
⎣⎦
C ．13,3
⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
D ．676733⎡+⎢
⎣⎦
10．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且
23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥
平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A 131 B 132 C 151
D 152
11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘
3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整
数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
12．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．{2}
B ．{1,0}-
C ．{}1-
D ．{1,0,1}-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
14．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则
的值是 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐
近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.
16．已知点F 为双曲线2
2
21(0)y E x b b
-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若
MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()sin ax
f x e x =.
（1）若()f x 在06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若1a =，对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，恒有()f x bx 成立，求实数b 的最小值. 18．（12分）已知数列{}n a 满足123123
252525
253
n n n
a a a a ++++
=----.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：1
6n
T <. 19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {
sin x y α
α
==（α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()224
π
ρθ-=，点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l
距离的最大值．
20．（12分）如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点.
（1）求证：//FB 平面ACM ； （2）求二面角M AC F --的大小.
21．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749=S .设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()21log 2n n T S ++=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）令()*n
n n
a c n N
b =
∈，证明：123n c c c +++<.
22．（10分）{}2*112n 11
=1=,.n 2
n n n n
n a a a a n N n ++++∈+已知数列满足， (Ⅰ)证明：22n n a ≥≥当时， ()
*
n N ∈；
(Ⅱ)证明：()1121111
=21223
12
n n n a a a a n n ++++-⋅⋅⋅+(*n N ∈)；
(Ⅲ)证明：1,n a e <
为自然常数. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【题目详解】
由()11z z i -=+得：()()()
2
11111i i
z i i i i ++=
==-+- 本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 2、B 【解题分析】
先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可. 【题目详解】
由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，
所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==，
又因为
sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3
2262
BC =⨯=，
所以221
2cos 2462266322
AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯
=. 故选：B.
【题目点拨】
本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 3、B 【解题分析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【题目详解】 因为，由诱导公式得
，所以
.
故选B 【题目点拨】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 4、C 【解题分析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB |的表达式，利用t 的范围求得|AB |的最大值． 【题目详解】
解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入2
4
x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0，
由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．
弦长|AB |＝2
5410
2t -≤
． 故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问
题的突破口． 5、D 【解题分析】
因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ
+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22
f x f x ππ
+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；
易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2
x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[
,
]22ππ
上
的极大值与最小值即可．当
32
2
x π
π≤≤
时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ
-=，得
34x π=
，可知函数()f x 在34
x π
=
，③正确； 因为
5444x πππ≤-≤
，所以1)4
x π--，所以函数()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ． 6、D 【解题分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【题目详解】
解：画出满足条件2
2390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数2
2x
y +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离
最大，故()
()x
2
2
2
2ma 0311x y ++-==.
故选：D
【题目点拨】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 7、C 【解题分析】
设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解. 【题目详解】 设球的半径为R ，
根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344
33633
V R πππ==⨯⨯= . 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 8、A 【解题分析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可．
【题目详解】 解：55(34)4334255
i i i i
z i +-+=
==-， 2
2
43155z ⎛⎫⎛⎫
∴=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A 【题目点拨】
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 9、B 【解题分析】
由点(),P x y 的坐标满足方程2
2
20x x y -+=，可得P 在圆()2
211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程
2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22
341x y ++-=上，则
PQ y b
k x a
-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【题目详解】
点(),P x y 的坐标满足方程2
2
20x x y -+=，
P ∴在圆()2
2
11x y -+=上，
(),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，
Q ∴在圆()()2
2
341x y ++-=上，
则
PQ y b
k x a
-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，
设两圆内公切线方程为y kx m =+，
则1341k m k m =⇒+=-+-=， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-， 可得2m k =+
，1=
=，
化为23830k k ++=
，k =
即4433
AB CD k k --=
=
，
4433
PQ y b k x a ---∴
≤=≤
-， y b
x a --
的取值范围⎣⎦
，故选B. 【题目点拨】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 10、A 【解题分析】
根据平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，则球心在过BC 的中点E 的面的垂线上，又ΔSAD 是等边三角形，所以球心也在过SAD ∆的外心F 面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【题目详解】 依题意如图所示：
取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心， 取F 是SAD ∆的外心，作OE ⊥平面,ABCD OF ⊥平面SAB ， 则O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，且3,2==OF SF ，
设四棱锥S ABCD -的外接球半径为R ，则22213R SF OF =+=，而1OE =， 所以max 131d R OE =+=， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 11、C 【解题分析】
列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【题目详解】
1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40
202
m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20
102m =
=； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则10
52
m ==；
415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；
516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则16
82
m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则8
42
m ==； 718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则2
24
m =
=；
819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则2
12
m =
=； 9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 12、B 【解题分析】
求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【题目详解】
由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解题分析】
根据程序框图直接计算得到答案. 【题目详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1 故答案为：1． 【题目点拨】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
14、
25
5
【解题分析】
试题分析：由三角函数定义知15cos 55
α=
=，又由诱导公式知5
cos()5cos παα-=-=-，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式． 152 【解题分析】 利用221
||||2
AOB S F O AB c ∆=
⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【题目详解】
设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,
)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bc
c c a
⋅=， 所以a b =，离心率21()2b
e a
=+=
2 【题目点拨】
本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题. 16、2,232] 【解题分析】
设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '
==，由双
曲线定义'
||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得
1
24c πθ=
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，再求24y πθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的值域即可. 【题目详解】 如图，
设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '
==.
在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得
'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛
⎫==-=-=-=+ ⎪⎝
⎭
1
24c πθ∴=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭ 12
6
π
π
θ≤≤
，53
4
12
π
π
π
θ∴
≤+
≤
3122242πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭ 231 222232c c ≤≤≤≤+，.
故答案为：2,232]+ 【题目点拨】
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）[3,)+∞（2）22
e π
π
【解题分析】 （1）求得()'
f
x ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
恒成立，利用
分离常数法求得a 的取值范围.
（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值. 【题目详解】
（1）()sin cos (sin cos )ax
ax
ax
f x ae x e x e a x x '=+=+
因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
当0x =时，上式成立，a R ∈
当0,6x π⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，有cos 1sin tan x a x x ≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭， 而06
x π
<≤
，0tan 3
x <≤
，
1tan x ≥
1tan x -≤
，故a ≥综上，实数a
的取值范围是[)+∞
（2）设()()sin x
g x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()(sin cos )x g x e x x b '=+-， 令()(sin cos )x
h x e x x b =+-，
()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，
所以2()1,g x b e b π
⎡⎤
'∈--⎢⎥⎣⎦
.
当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π
-≤即2b e π
≥时，()(0)0g x g ≤=，符合
当210b e b π
-<<-即21b e π
<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛
⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，()0g x '<，
()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝
⎦单调递增，(0)0g =成立，故只需0
2g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有2
02
e b
π
π
-≤，得
2
22
e b e ππ
π
≤<，符合
综上得，22
b e π
π
≥
，实数b 的最小值为
22
e π
π
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 18、（1）35
2
n n a +=；（2）见解析. 【解题分析】 （1）令3n n S =，25n n n
b a =-，利用11,1,2n n
n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式，由此可得出数列{}n a 的通
项公式；
（2）求得()153********n n n a a n +⎡⎤=-⎢⎥++⎢+⎥⎣⎦
，利用裂项相消法求得n T ，进而可得出结论.
【题目详解】
（1）令3
n n S =，25n n n
b a =-，
当2n ≥时，111
333
n n n n n b S S --=-=-=； 当1n =时，113b =
，则1253n n n b a =
=-，故352
n n a +=； （2）
()()()114411
33531535315n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥+++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， ()111111
31532532533535315n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=-+-+
+-
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()
411
41138315386
n ⎡⎤=-<⨯=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. 【题目点拨】
本题考查利用n S 求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
19、（1）2214x y +=，4x y +=（2）max d = 【解题分析】
试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4
π
ρθ-
=ρcosθ＋ρsinθ
＝1，即为x ＋y ＝1．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离
d =
≤
试题解析：解：cos()4
π
ρθ-
=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝1．
设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离d =
≤，
d max ＝ 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 20、（1）证明见解析（2）45︒ 【解题分析】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，由//MO FB ，得出结论；
（2）以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可. 【题目详解】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ， 在DFB ∆中，//MO FB ，
又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以//FB 平面ACM ；
（2）由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面ABEF ，故
AF AC ⊥，又AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -，
设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，()4,0,0AC =，()2,1,1AM =-，
由4020m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩
，得()0,1,1m =，
平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =，
由12
cos ,22
AB m =
=， 故二面角M AC F --的大小为45︒.
【题目点拨】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）21n a n =-,2n
n b =
（2）证明见解析 【解题分析】
（1）利用首项1a 和公差d 构成方程组，从而求解出{}n a 的通项公式；由{}n a 的通项公式求解出n S 的表达式，根据
()21log 2n n T S ++=()12n n n b T T n -=-≥，求解出{}n b 的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出{}n c 的前n 项和n H ，根据不等关系证明即可. 【题目详解】
（1）设首项为1a ，公差为d .
由题意，得2
2151767492a a a d
a ⎧=⋅⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得11a =，2d = ∴21n a n =-，()()211211(1)2
n n n S n ++++==+
∴()21log 21n n T S n ++=
=+，∴122n n T +=-
当2n ≥时，122n
n T -=-
∴12n
n n n b T T -=-=，2n ≥.当1n =时，112b T ==满足上式.
∴2n
n b =
（2）21
2n n
n c -=
，令数列{}n c 的前n 项和为n H . 123135212222n n n H -=++++
234111352321222222
n n n n n H +--=+++++ 两式相减得
12311111
1
212222
222
n n
n n H +-⎛⎫=++++
- ⎪⎝⎭ 1
1
11112212132312222
12
n n n n n -++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⎭=+
-=-- ∴23
332n n
n H +=-
<恒成立，得证. 【题目点拨】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用()12n n n a S S n -=-≥求解{}n a 的通项公式时，一定要注意验证1n =是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.
22、 (Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解题分析】
()1运用数学归纳法证明即可得到结果
()2化简212112
n n n n n a a n n +++=++，运用累加法得出结果
()3运用放缩法和累加法进行求证
【题目详解】 （Ⅰ）数学归纳法证明
时，
①当时，成立；
②当时，假设成立，则时
所以时，成立
综上①②可知，时，
（Ⅱ）由
得
所以；；
故，又
所以
(Ⅲ)
由累加法得：
所以故
【题目点拨】
本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。