高中数学人教A版(2019)必修一 第二章 第二节 基本不等式

高中数学人教A版（2019）必修一第二章第二节基本不等式一、单选题(共9题；共18分)
1．（2分）若a，b为正实数，且ab=1，则a+2b的最小值为（）
A．√2B．3
2
C．3D．2√2
2．（2分）函数y=x+16
x+2
(x>−2)取最小值时x的值为（）
A．6B．2C．√3D．√6
3．（2分）已知x>2，则函数y=x+
1
2(x−2)
−2的最小值是（）
A．2√2B．2√2−2C．2D．√2 4．（2分）若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式恒成立的是（）
A．a+b≥2√ab B．1a+1b≥2
ab C．b
a+
a
b
≤2D．a2+b2≥2ab
5．（2分）已知x>0，则4−2x−2
x
的最大值为（）
A．-2B．-1C．0D．2
6．（2分）设x>0，y>0，若√3是9x与3y的等比中项，则xy的最大值为（）
A．1
4B．1
8
C．1
16
D．1
32
7．（2分）已知a，b均为正实数，且ab=3，那么a2+b2的最小值为（）A．12B．9C．6D．3
8．（2分）已知实数x>3，则4x+9
x−3
的最小值是（）
A．24B．12C．6D．3
9．（2分）函数f(x)=x 2+x+1
x−1
（x>1）的最小值为（）
A．2√3B．2C．3+2√3D．5
二、多选题(共4题；共12分)
10．（3分）下列命题正确的有（）
A．若a>b，则a2>b2B．若a>b，c>d，则a+c>b+d
C．若a>b>c>0，则c a>c
b D．若a>1，则a+1
a−1
≥3
11．（3分）已知函数y=x 2+x+1
x
(
1
3
≤x<2)，则该函数（）
A．最小值为3B．最大值为7
2 C．没有最小值D．在区间(1，2)上是增函数12．（3分）下列不等式不一定成立的是（）
A．x＋1
x ≥2B．
x2+2
√x+2
≥ √2
C．x2+1
x2≥2D．2－3x－4
x
≥2
13．（3分）在下列函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+1
x
B．y=2x+2−x
C．y=sinx+1
sinx ，x∈(0，π
2
)D．y=x2−2x+3
三、填空题(共7题；共9分)
14．（2分）函数y=x+4
x+1
+3(x>0)的最小值为，此时的x的取值为. 15．（1分）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是.
16．（2分）已知x>−1，则当x=时，x+1
x+1
取得最小值，且最小值为.
17．（1分）已知x<0，则x2+2
x
的最大值为；
18．（1分）当x>0时，不等式x2+mx+9>0恒成立，则实数m的取值范围是．19．（1分）已知正数x、y满足3x+4y=1，则xy的最大值为．
20．（1分）已知t>0，则函数y=2t+2
t
−1的最小值为．
四、解答题(共2题；共20分)
21．（10分）已知函数f(x)=x 2−4x+5
x−1
．
（1）（5分）求不等式f(x)≥1的解集；
（2）（5分）当x∈(1，+∞)时，求f(x)的最小值及相应x的值．22．（10分）已知x>0,y>0，且x+4y=40.
（1）（5分）求xy的最大值；
（2）（5分）求1
x+
1
y的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为a，b为正实数，ab=1，所以a+2b≥2√2ab=2√2，
当且仅当a=2b，即a=√2，b=√2
2
时取等号.
所以a+2b的最小值为2√2.
故答案为：D
【分析】利用已知条件以及基本不等式即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】因为x>−2，所以x+2>0，
所以y=x+16
x+2=x+2+
16
x+2
−2≥2√(x+2)⋅
16
x+2
−2=6，
当且仅当x+2=16
x+2
且x>−2，即x=2时等号成立.故答案为：B
【分析】y=x+16
x+2=x+2+
16
x+2
−2，利用基本不等式求解函数的最小值，即可求得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】由题设，x−2>0，
∴y=(x−2)+1
2(x−2)≥2√(x−2)⋅
1
2(x−2)
=√2，当且仅当x=2+√2
2
时等号成立，
∴函数最小值为√2.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
4．【答案】D
【解析】【解答】由于ab>0，可知a与b同号，显然当a<0，b<0时，A，B中的不等式不成立，所以A，B不符合题意；
由ab>0，得b
a>0，
a
b
>0，所以b
a+
a
b
≥2√b a⋅a b=2，C不符合题意；
显然，∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，D符合题意.故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各项即可判断. 5．【答案】C
【解析】【解答】x>0时，x+1
x ≥2√x⋅
1
x
=2（当且仅当x=1时等号成立）
则4−2x−2
x =4−2(x+
1
x
)≤0，即4−2x−
2
x
的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】由于√3是9x与3y的等比中项，故(√3)2=9x⋅3y=32x+y，2x+y=1，故
xy=1
2
⋅2x⋅y≤
1
2
(
2x+y
2
)2=
1
8
.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件等比中项，从而得到2x+y=1，再结合不等式求最值。

7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为a>0，b>0，且ab=3，所以a2+b2≥2ab=6，当且仅当a=b=√3时取等号，
故答案为：C
【分析】利用基本不等式，即可求出答案。

8．【答案】A
【解析】【解答】因为x>3，则x−3>0，
则4x+9
x−3=4(x−3)+
9
x−3
+12≥2√4(x−3)⋅
9
x−3
+12=24，
当且仅当x=9
2时，等号成立，因此，4x+9
x−3
的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】4x+9
x−3=4(x−3)+
9
x−3
+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
9．【答案】C
【解析】【解答】∵x>1,∴x−1>0
∴f(x)=(x−1)2+3(x−1)+3
x−1=x−1+
3
x−1+3≥2√(x−1)⋅
3
x−1+3=2√3+3
当且仅当x−1=3
x−1
即x=√3+1时，上式取等号
f(x)=x2+x+1
x−1
（x>1）的最小值为3+2√3
故答案为：C.
【分析】函数可变形成f(x)=x−1+3
x−1
+3，再整体利用基本不等式即可得出答案。

10．【答案】B,D
【解析】【解答】对于A选项，当a=1，b=−2时，满足a>b，但是a2<b2，A不正确；对于B选项，根据不等式的性质可知准确，B符合题意；
对于C选项，当a=3，b=2，c=1时，满足a>b>c>0，但是1
3<1
2
，C不正确；
对于D选项，因为a>1，所以a−1>0，(a−1)+1
a−1+1≥2√(a−1)×
1
a−1
+1=3，当且仅
当a−1=1
a−1
，即a=2时，等号成立，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件结合特殊值、基本不等式公式以及不等式的性质，即可得答案. 11．【答案】A,D
【解析】【解答】y=x 2+x+1
x
=1+x+
1
x
≥1+2√x⋅
1
x
=3当且仅当x=1是等号成立，
若x1<x2，有f(x1)−f(x2)=(x1−x2)+x2−x1
x1x2
=(x1−x2)(1−
1
x1x2
)，x1−x2<0，
当1
3≤x1<x2<1时，有1−
1
x1x2
<0，故f(x1)>f(x2)，即y在[1
3
，1)上递减且值域为
[13
3
，3)；
当1<x1<x2<2时，有1−
1
x1x2
>0，故f(x1)<f(x2)，即y在(1，2)上递增且值域为
(3，72).∴最大值为133.
【分析】根据基本不等式，即可判断A，B，C的正误；根据单调性的定义进行判断，可判断D选项的正误。

12．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A：当x<0时，x+1
x
<0<2，A不一定成立，符合题意；
对于B：x2+2
√x+2
＝√x2+2≥ √2，B一定成立，不符合题意；
对于C：x2+1
x2
≥2x⋅1x=2，C一定成立，不符合题意；
对于D：变形为3x+4
x
≤0，当x取正数时不成立，D不一定成立，符合题意．故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式及不等式的基本性质逐项进行检验，可得答案。

13．【答案】B,D
【解析】【解答】解：对于A，若x<0，则最小值不为2，A不符合题意；
对于B，∵2x>0，2−x>0，
∴y=2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2，当且仅当x=0时等号成立，B符合题意；
对于C，当x∈(0，π
2
)时，sinx>0，1
sinx
>0，
y=sinx+
1
sinx
≥2√sinx⋅
1
sinx
=2，
但等号成立需sinx=1
sinx
，在定义域内方程无解，C不符合题意；
对于D，y=x2−2x+3=(x−1)2+2≥2，当x=1时取等号，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项ABC，结合二次函数的性质可求D.
14．【答案】6；1
【解析】【解答】因为x>0，所以由基本不等式a+b≥2√ab得：
y=x+
4
x+1
+3=x+1+
4
x+1
+2≥2√(x+1)⋅
4
x+1
+2=6，当且仅当x+1=
4
x+1
，即x=
1时取到等号
【分析】根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
15．【答案】8
【解析】【解答】由基本不等式得2x+4y=2x+22y≥2√2x⋅22y=2√2x+2y=8，当且仅当x=2y=2时，等号成立，因此，2x+4y的最小值为8，故答案为8.
【分析】由基本不等式即可求出2x+4y的最小值。

16．【答案】0；1
【解析】【解答】解：因为x>−1，所以x+1>0，所以x+
1
x+1
=(x+1)+
1
x+1
−1≥
2√(x+1)⋅
1
x+1
−1=1，当且仅当(x+1)=
1
x+1
，即x=0时取等号，
故答案为：0；1
【分析】变形可得x+1
x+1=(x+1)+
1
x+1
−1，再由基本不等式，得解.
17．【答案】−2√2
【解析】【解答】当x<0时，−x>0，x 2+2
x
=x+2x=−[(−x)+2−x]≤−2√(−x)⋅2−x=
−2√2，当且仅当−x=2
−x
即x=−√2时等号成立.
故答案为：−2√2.
【分析】利用基本不等式即可求出x2+2
x
的最大值。

18．【答案】m＞-6
【解析】【解答】∵x>0，不等式x2+mx+9>0可化为−m<x+9
x
，
而当x>0时，x+9
x ≥2√x⋅
9
x
=6，
当且仅当x=9
x
，即x=3时等号成立，∴实数m的取值范围是m＞-6．
故答案为：m＞-6．
【分析】x>0，不等式x2+mx+9>0可化为−m<x+9
x ，利用基本不等式可求得x+9
x
≥
6，进而求出实数m的取值范围。

19．【答案】1
48
【解析】【解答】因为3x+4y=1且3x+4y≥2√3x⋅4y，所以1≥4√3xy，即xy≤
1
48
，
当且仅当3x=4y=1
2，即x=1
6
，y=1
8
时，等号成立，所以xy的最大值为1
48
.
故答案为：1
48
.
【分析】利用基本不等式的性质进行求解，即可求出xy的最大值。

20．【答案】3
【解析】【解答】因为t>0，所以y=2t+2
t −1≥2√2t×
2
t
−1=3，
当且仅当2t=2
t
，即t=1时取最小值3.
故答案为：3.
【分析】利用基本不等式的性质即可求出函数y=2t+2
t
−1的最小值。

21．【答案】（1）解：x2−4x+5
x−1≥1，即x2−4x+5
x−1−1≥0
∴x2−5x+6
x−1
≥0⇒
(x−2)(x−3)
x−1
≥0⇒{
(x−2)(x−3)(x−1)≥0
x−1≠0
∴不等式的解集为(1，2]∪[3，+∞)
（2）解：当x∈(1，+∞)时，令t=x−1（t>0），
则y=(t+1)2−4(t+1)+5
t
=
t2−2t+2
t
=t+
2
t
−2，
∵t>0，∴t+2
t
≥2√2，∴y≥2√2−2
当且仅当t=2
t
⇒t=√2，即x=√2+1时，等号成立，
∴f(x)min=2√2−2，此时x=√2+1.
【解析】【分析】（1）先移项通分，然后将分式不等式转化为整式不等式进行求解即可；（2）换元，分离常数，利用基本不等式可求得f(x)的最小值。

22．【答案】（1）解：因为x>0,y>0，∴40=x+4y≥2√4xy=4√xy
(当且仅当x=4y，即x=20,y=5时等号成立)
所以xy≤100，
因此xy的最大值为100
（2）解：因为x+4y=40，即1
40(x+4y)=1
所以1
x+
1
y=
1
40(x+4y)(
1
x+
1
y)
=
1
40(5+
4y
x+
x
y)≥(5+2√
4y
x⋅
x
y)=
9
40
(当且仅当x=2y，即x=40
3,y=
20
3
时等号成立)
所以1
x+
1
y的最小值为
9
40
【解析】【分析】（1）由基本不等式变形后求得最大值；（2）利用“1”代换得定值后，由基本不等式得最小值。