高中数学探究导学课型第二章基本初等函数(I)2.1.1指数与指数幂的运算 第1课时 根式课件

主题2:根式的性质 观察下面的等式
(1)
(2)
( 3 2)3 2,( 3 2)3 2,( 4 2)4 2,( 5 3)5 3.
3
3 3 4 4 3 4 4 ( 2) 2, 2 2, ( 2) 2, 2 2. 你能发现什么结论？
用文字语言描述：(1)一个数的n次方根的n次方等于其 _____. 本身 (2)一个数的n次方后，再开n次方，当n为_____时，等 奇数 于其本身；当n为_____时，等于其绝对值. ⇓ 偶数
3
a；
x 4 a.
2.如果xn=a,则x叫做a的什么？如何表示？
用文字语言描述：x叫做a的________. n次方根 ⇓ 用符号语言描述:__________________________ ___________. n为奇数时 x n a; n为偶数时
x n a (a 0)
2.(1)若x6=2016，则x是
.
(2)-2016的五次方根是
.
【解析】(1)因为x6=2 016,所以x是
答案：
6 2 的五次方根是 016 (2)-2 016
6 2 016.
答案：
5 2 016.
5 2 016
类型二:根式性质的应用
【典例2】若
求实数a的取值范围. (2a 1) 2 3 (1 2a)3， 【解题指南】先对根式化简，然后确定a的取值范围. 【解析】 =|2a-1|, =1-2a.
所以a+b=-11或7.
答案：-11或7
(2)①16的4次方根应是±2；②
4
16
=2；
由根式的概念及运算性质知③④正确.
答案：③④
(3)要使
4
有意义，则需x-2≥0，即x≥2，因此实
x 2 [2，+∞). 数x的取值范围是
【规律总结】根式概念问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数.
成立的条件是什么？
提示：等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.
【探究总结】
知识归纳：
方法总结: (1)n>1且n∈N*时， n n ( a ) a. (2)n为奇数时， n n a a; n为偶数时， a,a 0, n n a 根式中根指数要求 a *. 注意事项：(1) n>1 且n∈N a,a 0. (2)对于 当n为偶数时，a≥0.
⇓ n次方根的定义:______________________________ 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根， ____________________________________________ 其中n>1且n∈N*,式子 n a 叫根式，n叫根指数，a叫 _________. 被开方数
(x 2)7 ( 7 x 2)7 x 2 x 2 2x 4.
【互动探究】 1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实 数a都存在n次方根？n为偶数呢？
提示：当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，
可表示为 但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没
n 有n次方根；当 a. a≥0时，a才有n次方根，可表示为
根式的性质：(1)
( n a )n
=
=__. a __，n是奇数， a ____，n是偶数. |a|
(2) n
a
n
【深度思考】 结合教材P50例1，你认为根式的化简中应注意什么？
1._____________________________________. 当根指数为偶数时，所得值一定为非负数 2.____________________________________________
=|a+1|,
=a+1,
( 3 a 1)3 (a 1) 4 所以|a+1|=-(a+1),所以a+1≤0,即a≤-1.
答案：(-∞,-1］
2 3 3 (2a 1) (1 2a) 因为|2a-1|=1-2a,故2a-1≤0,所以
1 a . 2
【延伸探究】 1.(变换条件)若将条件“ “
(2a 1) 3 (1 2a) ”,则a的取值范围是什么？
2 3
”换为
(2a 1) 2 3 (2a 1)3 【解析】由 =|2a-1|,
n a.
2.求值与化简中常用到 是什么？ 提示：(1)
n
n
a
n
与
那么它们的含义 ( a) ，
n n
表示实数an的n次方根，是一个恒有意义
an 的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.
(2) 表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值
范围由 (n an )n是奇数还是偶数来定.
3.
( n a)n n a n
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.
【巩固训练】1.下列各式正确的是(
)
A. (3)2 3 C.( 3 2)3 2 【解析】选C.
B. 4 a 4 a D. 3 (2)3 2
2 3 4 4 3 ( 3) 3 3, a a ， ( 2) 2, 故只有C正确.
代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方
数是正数还是负数.
(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依
据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨
论，得出结论.
【巩固训练】已知
4
(a 1) 4 ( 3 a 1)3 ,
则实数a的取值
范围是_________.
【解析】因为
4
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时
根
式
【自主预习】
主题1:n次方根及表示
1.如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作
若x3=a,
x a; 4 则x叫做a的三次方根（立方根）,记作 若x =a呢？ x 提示：若x4=a,则x叫做a的4次方根,记作
2 (2a 1) 所以|2a-1|=2a-1, 3
=2a-1，
(1 2a)
3
故2a-1≥0,所以
1 a . 2
2.(改变问法)若条件不变，试化简
【解析】
1 a a . 4
2
1 12 1 a a (a ) | a |, 2 2 因为a≤ 所以 4 1 1 , a 0, 所以 2 2 1 1 2 a a a. 4 2
当根指数为奇数时，正数的n次方根为正数，负数 ________________. 的n次方根为负数
【预习小测】 1.若x5=2015，则x等于 ( )
A. 5 2 015
B. 5 2 015
5=2015，得x= 5 5 【解析】选 A. 由根式的定义知由 x C. 2 015 D. 2 015
3 4 4 3 3 3
的值为(
) D.6
(6)3 4 ( 5 4)4 3 ( 5 4)3
(6) | 5 4 | 5 4 6 4 5 5 4 6.
4.15的平方根为
.
【解析】由平方根的定义知15的平方根为 答案：
15.
15
5.-243的5次方根为
.
【解析】因为(3
6.求下列各式的值(依照教材P50例1的解析过程) (1)
6
(2)6 ( 6 2)6 .
(2)
(x 2)7 ( 7 x 2)7 . 【解析】(1)
7
(2)
7
6
(2)6 ( 6 2)6 2 2 4.
.
有意义，求实数x的取值范围.
x2
【解题指南】(1)分别求出a，b的值，再求和.
(2)由根式的概念及运算性质对每一说法判断.
(3)只需要让x-2为非负数即可.
【解析】(1)因为(±9)2=81，所以81的平方根为±9，
即a=±9，又(-2)3=-8，所以-8的立方根为-2，即b=
-2，所以a+b=-9-2=-11或a+b=9-2=7.
n
a，
【题型探究】
类型一：n次方根的概念问题
【典例1】(1)若81的平方根为a，-8的立方根为b，则
a+b=
.
(2)下列说法：①16的4次方根是2；
②
4
的运算结果是±2；
对任意a∈R都有意义；
16 ③当n为大于1的奇数时，
n
④当n为大于1的偶数时，
其中说法正确的序号为 (3)若
4
n
a a
只有当a≥0时才有意义.
5
2 015.
2.若m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(
)
A. m B. 3 m C. 6 m D. 5 m 【解析】选C.A，B，D中m∈R均成立，而对于C只有
4 2
m≥0才成立.
3. 3
(6) ( 5 4) ( 5 4) A.-6 B. C. 2 5 2 52 【解析】选A.
2
【规律总结】
1.根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.
(2)被开方数是带分数的要化成假分数.
(3)被开方数中不能含有分母；使用 (a≥0,
b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成 ab a b
乘积的形式.
2.有条件根式化简的两个关注点
(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的