静电场中的几个力学问题

静电场中的几个力学问题
文生选，张广平
（陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745000）
摘 要：通过对静电场中的几个力学问题应用类比的思想，转换类型解决问题，使
类比法在解决实际问题时，具有举一反三、触类旁通的效果。

关键词：静电场；类比法；转换类型
Several mechanical proble ms of electrostatic field
Wen SHeng-xuan,ZHang Guang-ping
(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China )
Abstract : The idea of the analogy of a few mechanical problems in the electrostatic field, the
conversion type to solve the problem, so that the analog method to solve practical problems,
giving top priority to, by analogy of effect
Key Word : Electrostatic field ；Analogy ；Conversion type .
0引言
一个物理问题，有时学生不知如何入手去解答，但是联想到一个已经做过的类似的
问题时，便从中受到启发，从而顺利的解决问题，这就是类比的思想。

类比法是根据两
个对象有一部分相似的性质，推出这两个性质的其他类似的一种推理方法。

掌握好这种
方法，能在研究问题时，具有一反三、触类旁通的效果。

著名物理学家开普勒曾经说过：
“我最珍视类比，它可是我们最可靠的老师。

”现通过几例说明类比法在“静电场”解
题中的应用。

1 静电场中的平抛运动
1.1试从示波器内收到电子束收到横向电场的偏折计算荧光屏上光点的位移。

解析 要解决这类问题，首先可以类比成平抛运动，这样我们就很熟悉了，从而解决起
来也会得心应手，然后这首解题。

一束电子射线以速度0v 进入与0v 垂直的横向匀强电场中，由于电子收到一个与场强E
方向相反的作用力，所以电子通过电场后将偏离原来0v 方向。

利用上面讨论的结果，可
得电子通过长为l 的偏转板所需时间为
l t v = (1) 在1t 时间内，电子在y 轴方向的位移分量为
2
21120
122eEl y at mv == (2) 相应的速度分量由零增加到
110
eEl v at mv == (3) 电子通过偏转板后，不再受电场力的作用，它将以离开偏转时的速度匀速前进，并打到
荧光屏上，设偏转板中心到荧光屏的距离为d ，电子通过纵向距离
2
l d -
（4） 所需时间为 202l d t v -
= （5）
在此时间内，电子在y 轴方向上的位移为
212002l d eE l y v t m v v ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
（6） 于是电子在荧光屏上产生的光点p 离入射方向上的横向位移为
122
0eld y y y E mv =+= (7) 上述结果指出：荧光屏上光点的位移y 与偏转板中场强E 的大小成正比，并随E 的方
向和大小的变化而上下移动。

2 静电场中的单摆运动
如图1所示，在水平方向的匀强电场内，用绝缘细绳悬挂一个小球，小球平衡时与
竖直方向成30
角，现将夹角增大至θ，使小球由静止释放，当小球到达最低点时，细
绳的拉力正好等于小球的重力，则θ为多少？
解决此类问题关键是要作出受力分析以及建立受力方程，本题可以和单摆模型进行类比：当小球达到最低点时，细绳的拉力正好等于小球的重力，隐含此处小球的速度为零，将夹角增大至θ，由静止释放小球，类似单摆过程中的最右端，而最左端和最右端关于最低点（平衡位置）对称，故有θ应为60 。

3 静电场中圆周运动
如图2所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向一定且与圆周在同一平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的出动能抛出，抛
出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，达到c点时小球的动
能最大。

已知∠cab=30 ，若不计重力和空气阻力，试求：
（1）电场方向与ac间的夹角为多大？
（2）若小球在a点初速度与电场方向垂直，并恰好能落在c点时，初动能为多大？
如图3所示，在地面附近的某竖直平面内，从圆周的a点以相同的初动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点a 时小球的动能最大。

最低点在O的正下方竖直直径的点。

根据这一模型，我们将电场等
效为重力场，那么小球应该是“最低点”时速度最大，所以过圆心O 作一条过c 点的直
径，这就是电场的方向，如图4所示，因此电场方向与ac 的夹角θ= 30。

（3） 小球做类平抛运动，由平抛运动知识可得
0x v t = （8）
22122qE y at t m
== （9） 而
sin 60x R = （10）
cos60y R R =+ （11）
解得 20128
k qER E mv == （12） 即小球在a 点初速度与电场方向垂直，并恰好能落在c 点时，初动能为8k qER E =。

图3 竖直圆周运动
如图5所示 回旋加速器——利用输出粒子产生的辐射。

图5 回旋加速器
它由装在真空容器内的两个D 形盒组成，用于加速粒子的交变电场限制在窄缝处，磁场B 与D 形盒垂直.粒子源S 在窄缝中部. 从粒子源S 出来的粒子立刻被电场加速至1v 进入一个D 区回旋半圈，重返窄缝，再被反向电场加速加速至2v ，进入另一D 区回旋.由于粒子速度v 不断增大，故回旋半径 mv r qB
= (13) 也不断变大. 只要交变电源的频率保证为 12qB f T m
π== (14) 粒子每次进入窄缝都会受到加速，最后达到D 形盒边沿处输出时，其速度就达到最大值 max qRB v m
= (15) 其中，R 为D 形盒的半径.在max v c ≤ 的条件下（即非相对论情形），输出粒子的动能为 2
222max 1122k q E mv B R m
== (16) 可见，要使粒子获得更大的输出能量，就要加大磁场B 和D 形盒的尺寸R （一般，只能做到B 值为104
高斯数量级，D 形盒半径R 在1米左右）。

但是，问题又在于，由于相对论效应，粒子质量
m =
随速度增大而增大，于是回旋周期 2m T qB
π= (18) 也不断增大（变慢），以至回旋频率与电源频率越来越不同步，而无法保证同步加速.改进办法是使电源的周期得到自动调整，使之与粒子的回旋周期同步，这就是后来的“同步回旋加速器”(synchrocyclotron ).
由（16）式可知要获得同样的输出动能，静止质量0m 小的粒子，要求最后输出的速度越大，因此相对论效应越明显，对B 值及“同步加速”的要求也越高，故这种加速器仅适合于加速较重的粒子，如质子、α粒子等，而且能量也不会很高(100MeV 以内). 例如，某回旋加速器磁极表面的直径大约为2.11m ，D 型盒的半径约为0.92m ，磁场最大值B =1.50特斯拉，加速电场的最高振荡频率为15 ×106
Hz .可以计算
（1）被加速的质子和α粒子的能量以及它们的回旋频率。

已知质子的电荷q = 1.6×10-19 C ,质量p m =1.675×10-27 kg ，α粒子的电荷是质子的2倍，质量是质子的4倍。

（2）考虑相对论性的质量效应，估算一下粒子在D 型盒中心与边沿处回旋频率的改变率。

将B =1.50T ，R = 0.92m ，以及质子和α粒子的电荷与质量代入 得两种粒子的最大输出动能的理论值均由（16）式可得k E 111.40*1091J -==MeV 。

根据相对论，运动粒子的总能量为
220k E mc E m c ==+ （19）
右边第一项是动能，第二项是粒子的静止能量.因此，输出粒子的运动质量为
022K E E m m c c
==+ （20） 其中，2
k E c 就是运动而导致的质量增加.由于粒子的回旋频率是与其质量m 成反比的，对于同一种粒子，以0w 和w 分别表示质量为0m （对应于初时刻从粒子源出来时粒子的质量，约等于它的静止质量）和m （最后输出时粒子的质量）时的回旋角频率，就有 00m m
ωω= （21） 于是粒子回旋角频率的变化率为 000m m m
ωωω--=- 220220k K
mc m c E mc m c E -=-=-+ （22） 负号表示回旋角频率变低.在低能量情况下，粒子的静止能量20k m c E >> ， 我们可以略去(22)式分母中的动能项k E ，并记回旋角频率的改变率
0ωωω∆=- （23）
得到 200k E m c
ω
ω∆=- （24） 在回旋加速器中，由于粒子获得的动能k E 比起它的静止能量20m c 来要小得多，故
回旋频率的变化率也是很小的，对于α粒子，0w w ∆≈ - 2.4% ,对于质子0w w ∆≈-
4.2% 。

对于α粒子，回旋频率为 611.510Hz 2qB f m απ==⨯ (25）
此值在设计的最高频率15 ×106 Hz 范围内。

但对于质子，其回旋频率将达到上值的两倍
p f =23⨯6
10Hz （26） 即超过了设计的加速电场的最高频率，这意味着机器不可能将质子加速到91MeV 的理论能量。

实验发现，在加速电场最高的角频率
7129.4210f s ωπ-==⨯ （27） 时，输出质子动能的极限值为k E =39MeV ，即 2
max 12
k p E m v = 2
22221122q m R B R m
ω== 110.631039MeV J -=⨯= （28）
这相当于相应的磁场响应值为B =0.984T ，而设计磁场值是B =1.5T 。

参考文献：
[1] 马忠琪.电教中心[D ].电子应用技术,1984,186~ 206,225~228.
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[4] 中国教育网,静电场,静电场中的力学问题[J ].2001,27(4 ):310~312.。