人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第1课时)》教学设计

1.3 二项式定理第一课时
一、教学目标 1．核心素养
通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标
(1)初步掌握求二项展开式.
(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点
熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点
熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计
1.预习任务（阅读教材完成）
1.二项式定理：=+n
b a ）（ ； 2.(1)n b a ）
（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；
(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测
1.二项式91
()x x
-的展开式的第3项是( )
A ．－84x 3
B ．84x 3
C ．－36x 5
D ．36x 5 解：D
2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D
3．在62
()x x
-的二项展开式中，常数项等于________．
解：－160 （二）课堂设计 1．知识回顾
(1)22202122
222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；
(2)33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++
(3)4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++ 2．问题探究
问题探究一 探究归纳，形成二项式定理 ●活动一 回顾旧知，回忆展开式
(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？ 思考：ab 3是怎样来的？有多少个？
引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C 04a 4+C 14a 3b+C 24a 2b 2+C 34ab 3+C 44b 4 ●活动二 大胆猜想(a+b)n 展开式中的各项是什么？ 归纳：一般对于任意的正整数n,有：
(a+b)n =C 0n a n +C 1n a n-1b+…+C r n a n-r b r …+C n n b n (n ∈N *)
并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n 的二项展开式.各项系数C r n （r=0、1、2、…、n ）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r 叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r .
上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了. 问题探究二 利用二项式定理能解决问题？ 1.求二项式的指定项或其系数
例1.（1）(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×
15＝21. （2）在(2x 2－1
x
)5的二项展开式中，x 的系数为( )
A ．10
B ．－10
C ．40
D ．－40
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：D.(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C (2x 2)5－r (－1
x
)r ＝5r C 25－r (－1)r x 10－3 r ，令10-3r ＝1
得，
r ＝3，∴T 4＝35C 22(－1)3x ＝－40x.∴x 的系数是－40.
例2.（1）在62
()x x
-的二项展开式中，常数项等于________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2
()r x
-＝(－2)r 6r C x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第
4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.
(2)已知8()a
x x
-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A ．28
B ．38
C ．1或38
D ．1或28
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.
例3.(1) 在(x －2)5＋y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，
令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；＋y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C )4
－r
y r ，令r ＝2得y 2的系数24C )2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.
(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】
二项式定理及其通项公式
1.二项式定理：01()()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
++
+∈
2.(1)n
b a ）（+的二项展开式中共有1n +项； (2)二项式系数：(0,1,
)r n C r n =；
(3)二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=.
【重难点突破】
常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论
对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测
1.261
()x x
+的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：20.由261()x x +的展开式的通项为T r ＋1＝6r C (x 2)6－r ·1()r x
＝6r C x 12－
3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，
所以展开式中x 3的系数为36C ＝20.
2.(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：2.(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝4r C a 4－r x r ，令r ＝3，得含x 3的系数为34C a ，故3
4C a ＝
8，解得a ＝2.
3.若二项式2
)n x
的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )
A ．6
B ．10
C ．12
D ．15
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选C 3212()(2)n r
r n r
r r r
r n
n T C C x x --+=-=-，当r ＝4时，32
n r -＝0，又n ∈N *，所以n ＝12. 4．(1＋x ＋x 2)61
()x x
-的展开式中的常数项为________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：－5.解析：61
()x x
-的展开式的通项为T r ＋1＝6r C (－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－36C ＝－20，
当r ＝4时，T 5＝46C x －2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5. （三）课后作业 基础型 自主突破
1.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：10 解析T r +1=5r C x 5-r y r (r =0,1,2,3,4,5),由题意知52
3r r -=⎧⎨=⎩,∴含x 2y 3的系数为3510C =.
2.(
)6
的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-160 (-
)6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r r
r r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为333
46C 2(1)160T =-=-.
3.在6)1
(x
x -的二项展开式中,常数项等于_________.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-20 展开式通项r r r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为203
6-=-C .
4.设常数a ∈R .若5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：2- 2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x
-+=--=⇒=,故1
5102C a a =-⇒=-.
5.5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1 5()a x +展开式中第k 项为555k k k k T C a x ,令2k
,2x 的系数为23
510C a ,解得1a .
6.8
1()2x x
+
的展开式中2x 的系数为____. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：7 根据已知条件可得81()2x x +
展开式的通项公式为88218811
()()22
r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381
()72
C =.
能力型 师生共研
7．在二项式(x 2－
1x
)5
的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B 8．(2x 3－
2
12x )10
的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.
1052 C.1
4
D ．－105 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B
9．(x y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )
A ．840
B ．－840
C ．210
D ．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A
10．二项式)24展开式中的整数项是( )
A ．第15项
B ．第14项
C ．第13项
D ．第12项 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A
探究型 多维突破
11．(1－x )4(13的展开式中x 2的系数是( )
A ．－6
B ．－3
C ．0
D ．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 12．(x ＋
a x )(2x －1
x
)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D 自助餐
1．二项式611
()22
+的展开式的第3项的值是( )
A.
332 B.364 C.15
64
D.516
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选C 二项式611()22+的展开式的第3项是242
61115()().2264
C =
2.在二项式251
()x x -的展开式中,含4x 的项的系数是（ ）
A.5
B.10
C.-5
D.-10
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：选B
3.若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80,则实数a 的值是（ ） A ．2- B ．22 C ．34 D ．2
解：D
4.6
的展开式中常数项是（ ） A ．-160 B ．-20 C ．20 D ．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A
5.在23451(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++++++++++的展开式中,含2x 的系数是（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：C
6.若二项式21
(3)n x x
-的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )
A ．－2739C
B ．2739
C C ．－949C
D ．949C 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选B 各项系数之和为(3－1)n ＝2n ＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝9r C (3x 2)9－r 1
()r x
-＝
(－1)r ×39－r ×9r C x 18－
3r .令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×69C ＝2739C .
7.(ax -
x
1)8的展开式中2x 的系数为70,则a 的值为_______.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1或-1
8．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1＋2＋3＋…＋n ＝
(1)
2
n n +＝21n C +. 9．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为
34C (－1)3－04C ＝－4－1＝－5.
10.求8
的展开式中常数项.
解：二项展开式的通项84
1881
()2r r r r r r r T C C x --+==，当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中
的常数项为448135
().28
C =
11．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，求实数a 的值． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：由二项展开式的通项公式可得，T 3＝25C a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1. 解：1
12．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中21
x
的系数.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：56.由26n n C C =可知n ＝8，所以81()x x +的展开式的通项公式为8821881()()r r r r r r T C x C x x
--+==, 所
以8－2r ＝－2，解得r ＝5.所以
2
1x
的系数为5
8C ＝56.。