福建省龙岩高中2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析

福建省龙岩高中2019-2020学年高二上学期期中考试
数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.焦点在y轴上，焦距等于4，离心率等于的椭圆的标准方程是
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C. 2 D. 4
3.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆过椭圆：的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5.P是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则
A. 1
B. 17
C. 1或17
D. 以上答案均不对
6.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线
方程为
A. B. C. D.
7.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
8.命题，的否定为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9. 下列命题：
①“若，则”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若，则的解集为”的逆否命题；
④“若（）为有理数，则为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是（）
A. ③④
B. ①③
C. ①②
D. ②④
10.在等比数列中，，，则等于
A. B. C. 或 D. 或
11.等比数列各项为正，，，成等差数列为的前n项和，则（）
A. 2
B.
C.
D.
12.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围
是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若，则函数的最小值为______．
14.已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的方程为
______．
15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积是______．
16.已知等差数列中，，，当______时，取最大值．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设命题p：；命题q：关于x的不等式的解集是空集，若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．
18.若，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且，试求的面积．
19.设椭圆C：过点，离心率为．
求椭圆C的方程；
求过点且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
20.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
21.已知为公差不为0的等差数列的前n项和，且，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
22.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2．
求椭圆C的方程；
已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
福建省龙岩高中2019-2020学年高二上学期期中考试
数学（文）试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.焦点在y轴上，焦距等于4，离心率等于的椭圆的标准方程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
则椭圆的标准方程为：.
本题选择D选项.
2.椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，，且，解得，故A正确。

考点：椭圆的方程及基本性质
3.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用曲线C的方程为，结合充要条件的定义，即可得出结论．
【详解】若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要条件；
若，曲线不一定是椭圆，故充分性不成立，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆方程，考查充要条件的判断，熟练掌握椭圆方程的性质是关键，比较基础．
4.已知椭圆过椭圆：的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得椭圆的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆的，，求得c，由离心率公式可得．
【详解】解：椭圆：的焦点为，
短轴的两个端点为，
由题意可得椭圆的，，
可得，
即有离心率．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a，b，c是解题的关键，属于基础题．
5.P是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则
A. 1
B. 17
C. 1或17
D. 以上答案均不对
【答案】B
【解析】
根据双曲线的定义得到根据双曲线的焦半径的范围得到故结果为17.
故答案为：B。

6.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线
方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，设双曲线方程为，利用焦点到渐近线的距离等于，求出待定系数．
【详解】由题意，设双曲线方程为，
则，渐近线，，．
双曲线方程为．
故选：B．
【点睛】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用，熟记双曲线的几何性质是关键，是基础题.
7.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】
求解各个选项的离心率以及渐近线方程，排除不符合条件的选项，然后推出结果．
【详解】对于A，的离心率，渐近线方程为：；
的离心率，渐近线方程为：；不满足题意，A不正确．
对于B，的离心率，渐近线方程为：；
的离心率，渐近线方程为：；不满足题意，B不正确．
对于C，的离心率，渐近线方程为：；
的离心率，渐近线方程为：；不满足题意，C不正确．
对于D，的离心率，渐近线方程为：；
的离心率，渐近线方程为：；满足题意，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线方程的应用，渐近线以及离心率的求法，考查计算能力，是基础题.
8.命题，的否定为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
全称命题的否定为特称命题，故答案为，，故选D.
9. 下列命题：
①“若，则”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若，则的解集为”的逆否命题；
④“若（）为有理数，则为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是（）
A. ③④
B. ①③
C. ①②
D. ②④
【答案】A
【解析】
试题分析：①“若，则”的否命题为“若，则”为假命题；②“全等三角形面积相等”
的逆命题为“面积相等的三角形为全等三角形”为假命题；③“若，则的解集为”为真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若（）为有理数，则为无理数”为真命题，故其逆否命题也是真命题．故选A
考点：四种命题的真假性判断
10.在等比数列中，，，则等于
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
试题分析：根据等比数列的性质，可得，又，联立方程组，可得或，
所以公比为或，则，所以或，故选C．
考点：等比数列的通项公式．
11.等比数列各项为正，，，成等差数列为的前n项和，则（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设的公比为，利用，，成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．
【详解】设的公比为
，，成等差数列，
，
，，
，
解得或舍去
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．
12.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围
是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为
，，当过点时取得最小值0，过点时取得最大值2，所以其范围是
考点：线性规划问题
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若，则函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，直接利用基本不等式即可求解．
【详解】，，
则，
当且仅当即时取等号
即的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值中的应用，属于基础试题,运用基本不等式，注意“正，定，等”的应用.
14.已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的方程为
______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线以及焦点坐标，求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，即可得到结果．
【详解】由题意得：，，，解得，则双曲线的方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．
15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由于，利用正弦定理可得：利用余弦定理可解得c，b，根据三角形面积公式即可得出．
【详解】，，，可得：，
由，可得：，解得，．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.已知等差数列中，，，当______时，取最大值．
【答案】7
【解析】
【分析】
由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差，由此求出通项公式，利用配方法能求出结果
【详解】等差数列中，，且，
，解得，
．
时，取得最大值．
故答案为：7．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用,是基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设命题p：；命题q：关于x的不等式的解集是空集，若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】.
【解析】
试题分析：
求解不等式可得：.或.满足题意时，有且只有一个为真，据此分类讨论可得实数的取值范围是.
试题解析：
由得即，.
.
由关于的不等式的解集是空集，得，
或.或.
为真，为假，
有且只有一个为真，
若为真，为假，则且，；
若为假，为真，则或，同时或，
或.
的取值范围是.
18.若，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且，试求的面积．【答案】16
【解析】
【分析】
首先可通过双曲线定义得知的值，再通过的值计算出的值，然后利用余弦定理得知的大小，最后求出的面积。

【详解】由双曲线定义知,
两边同时平方,得.
在中,由余弦定理得，
所以，
所以。

【点睛】本题考察双曲线定义与余弦定理的综合运用，双曲线定义：与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹，这个固定的距离差是的两倍。

19.设椭圆C：过点，离心率为．
求椭圆C的方程；
求过点且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，
由e==，得1﹣=，∴a=5，
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
20.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得；
(2)利用题意结合正弦定理可得：.
试题解析：
（I）在中，由余弦定理得
(II)设
在中，由正弦定理，
故
点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
21.已知为公差不为0的等差数列的前n项和，且，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）求数列的通项公式,首项已知,只需求出公差就行,由,等比数列的定
义可求出；（2）由（1）中,,代入中,用裂项相消法可求出
的前项和.
试题解析: 解：（1）由已知，得，即得，又
可得故
（2）
,
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的定义；3.用裂项相消法求数列的前项和.
22.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2．
求椭圆C的方程；
已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在满足条件.
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论．
【详解】椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，
，
椭圆C的方程为；
将代入椭圆方程，可得
，显然恒成立；
设，，则，是上述方程的两个根，
，
由题意知：，则
又，，
则，
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将问题进行等价转化.。