【创新设计】高中数学浙江专用人教版必修一练习：1.3.2奇偶性(含答案解析)

基础过关
9
1.函数 y ＝
1－ |x|＋1＋ x 2是 (
)
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 非奇非偶函数
分析 由函数可知，定义域为 [ － 1，1]，函数分析式知足 f(－ x)＝ f(x) ，因此该函数是偶函
数 .
答案
B
2.设函数 f(x) 和 g(x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数，则以下结论恒建立的是
( )
A.f(x) ＋ |g(x)|是偶函数
B.f(x) － |g(x)|是奇函数
C.|f(x)| ＋ g(x) 是偶函数
D.|f(x)| －g(x) 是奇函数
分析
由 f(x) 是偶函数，可得
f( － x)＝ f(x) ，由 g(x) 是奇函数可得 g(－ x)＝－ g(x) ，故 |g(x)|
为偶函数，因此 f(x) ＋ |g(x)|为偶函数 .
答案
A
3.若函数 f(x) ＝ x
为奇函数，则 a 等于 ()
（ 2x ＋1）（ x －a ）
1 2 3
A. 2
B.3
C.4
D.1
分析
函数 f(x) 的定义域为 x
x ≠－
1
，且 x ≠a
2
.
又 f(x) 为奇函数，定义域应对于原点对称，∴
a ＝ 1
.
2
答案 A
4.偶函数 f(x) 在区间 [0，＋ ∞)上的图象如图，则函数 f(x) 的增区间为
________.
分析
偶函数的图象对于 y 轴对称，可知函数
f(x) 的增区间为 [－ 1，
0]，[1，＋ ∞ ). 答案
[－1，0]，[1，＋ ∞)
5.已知函数 y ＝ f(x) 是 R 上的奇函数，且当 x>0 时， f(x) ＝ x － x 2，则 f( －2) ＝________.
分析
由于当 x>0 时， f(x) ＝ x － x 2，因此 f(2) ＝ 2－ 22＝－ 2，又 f(x) 是奇函数，因此 f( － 2)
＝－ f(2)＝ 2.
答案
2
6.已知 f(x) 是 R 上的偶函数，当 x ∈ (0，＋ ∞)时， f(x) ＝ x 2＋ x － 1，求 x ∈ (－ ∞， 0)时， f(x)
的分析式 .
解 设 x<0 ，则－ x>0.
因此 f( － x)＝ (－ x)2＋ (－ x)－ 1.
2
因此 f( － x)＝ x －x－ 1.由于函数f(x) 是偶函数，
因此 f(x) ＝ x2－ x－1.
因此当 x∈ (－∞， 0)时， f(x) ＝ x2－ x－1.
x3－ 3x2＋ 1， x>0，
7.判断函数 f(x) ＝
3＋ 3x 的奇偶性 .
x2－ 1， x<0
解函数的定义域是(－∞， 0)∪ (0，＋∞)，对于原点对称.
(1) 当 x>0 时，－ x<0，
则 f(－ x)＝ (－ x)3＋ 3(－ x)2－ 1
＝－ x3＋ 3x2－ 1＝－ (x3－ 3x2＋ 1)＝－ f(x) ；
(2) 当 x<0 时，－ x>0，
则 f(－ x)＝ (－ x)3－ 3(－ x)2＋ 1
＝－ x3－ 3x2＋ 1＝－ (x3＋ 3x2－ 1)＝－ f(x) ，
由 (1)(2) 知，对随意 x∈ (－∞， 0)∪ (0，＋∞)，
都有 f( － x)＝－ f(x) ，
因此 f(x) 是奇函数 .
8.已知函数f(x) ＝ x2＋a
x(x ≠0，a∈R) ，议论函数f(x) 的奇偶性，并说明原因.
222
解当 a＝ 0 时， f(x) ＝ x ，对随意 x∈( －∞，0)∪ (0，＋∞)， f( －x)＝ ( －x) ＝x ＝ f(x) ，
当 a≠0时，f(x) ＝ x2＋a
x(a ≠0，x≠ 0)，取 x＝±1，得 f( － 1)＋ f(1) ＝ 2≠0，f( － 1)－ f(1) ＝－ 2a≠0，
即 f(－ 1)≠－ f(1) ， f( － 1) ≠f(1)，
∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数 .
能力提高
9.以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单一递加的函数是()
A.y ＝ x3
B.y ＝ |x|＋1
C.y＝－ x2＋ 1
D.y ＝－
2
x
分析对于函数 y＝ |x|＋ 1， f( － x)＝ |－ x|＋ 1＝|x|＋ 1＝ f(x) ，因此 y＝ |x|＋1是偶函数，当x>0时， y＝ x＋ 1，因此在 (0，＋∞)上单一递加 .此外函数y＝ x3不是偶函数， y＝－ x2＋1
在 (0，＋∞)上单一递减， y＝－2
不是偶函数，应选 B. x
答案B
10.已知函数 y＝ f(x) 是 R 上的偶函数，且 f(x) 在 [0，＋∞)上是减函数，若 f(a)≥f( － 2)，则 a 的取值范围是 ()
A.( － ∞，－ 2]
B.[2 ，＋ ∞)
C.( － ∞，－ 2] ∪[2，＋ ∞ )
D.[ － 2， 2]
分析 (－ ∞，－ 2]∪[2，＋ ∞)由已知，函数 y ＝ f(x) 在( －∞，0)上是增函数，若 a<0，由 f(a) ≥－f(
2)得 a ≥－2；若 a ≥0，由已知可得 f(a)≥ f( － 2)＝ f(2) ， a ≤2.综上知－ 2≤ a ≤ 2. 答案
D
11.已知 f(x) 为奇函数， g(x) ＝f(x) ＋ 9，g( －2)＝ 3，则 f(2) ＝ ________. 分析
由于 g(－ 2)＝ 3，g(x) ＝ f(x) ＋ 9，因此 f( － 2)＝ g(－ 2)－ 9＝－ 6，又 f(x) 为奇函数， 所
以 f(2)＝－ f(－ 2)＝ 6. 答案
6
12.若函数 f(x) ＝ x 2
－ |x ＋a|为偶函数，则实数 a ＝ ________.
分析
∵函数 f(x) ＝ x 2－ |x ＋a|为偶函数，
∴ f( － x)＝ f(x) ，即 (－ x)2－ |－ x ＋ a|＝x 2－|x ＋ a|，
∴ |－ x ＋ a|＝ |x ＋ a|，即 |x － a|＝ |x ＋ a|，∴ a ＝ 0.
答案
13.已知函数 f(x) ＝ x 2－ 2|x|.
(1) 判断并证明函数的奇偶性；
(2) 判断函数 f(x) 在区间 (－1， 0)上的单一性并加以证明 . 解
(1)函数 f(x) 是偶函数，证明以下：函数
f(x) ＝ x 2－ 2|x|的定义域为 R.
∵ f(－ x)＝ (－ x)2 －2|－ x|＝ x 2－ 2|x|＝ f(x) ，
∴函数 f(x) 是偶函数 .
(2)f(x) 在区间 (－ 1， 0)上是增函数 .证明以下：
当 x ∈ (－ 1，0)时， f(x) ＝ x 2＋ 2x.
设－ 1<x 1<x 2 <0，则 x 1－ x 2<0 ，且 x 1＋ x 2>－ 2，即 x 1＋ x 2＋ 2>0.
∵ f(x 1)－ f(x 2)＝ (x 21－ x 22) ＋2(x 1－ x 2)＝ (x 1－ x 2)(x 1＋ x 2＋
2)<0 ， ∴ f(x 1)<f(x 2). 故 f(x) 在区间 (－ 1， 0)上是增函数 .
研究创新
2
14.设函数 f(x) ＝ 1－x .
(1) 若 g(x) ＝f(x) － a 为奇函数，求 a 的值；
(2) 试判断 f(x) 在 (0，＋ ∞)内的单一性，并用定义证明 .
解 (1)由已知 g(x) ＝ f(x) － a 得： g(x) ＝ 1－ a －2
，由于 g(x)是奇函数，因此 x
2
2
，解得 a ＝ 1.
g(－ x)＝－ g(x) ，即 1－ a － （－ x ） ＝－ 1－ a － x
(2) 函数 f(x) 在 (0，＋ ∞)内是单一增函数，下边证明：
设 0<x 1<x 2，且 x1， x2∈ (0，＋∞)，
则 f(x 1 )－ f(x 2)＝ 1－2
－ 1－
2
＝
2（x1－x2）
. x1x2x1x2
由于 0<x1<x2，因此 x1－ x2<0，x1x2 >0，2（x1－ x2）
进而<0，即 f(x 1)<f(x 2).
因此函数f(x) 在 (0，＋∞)内是单一增函数.。