江苏省泰兴市第一高级中学高三上学期阶段练习一数学试

泰兴市第一高级中学2014年秋学期阶段练习一
高 三 数 学
2014.9.12
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．
1． = ▲ ．
2．若实数满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩
，则的最大值为 ▲ ．
3．已知集合{}
20A x x x x =-∈,R ≤,设 ()的值域为,若,则的取值范围是 ▲ ．
4. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则的解析式为 ▲ ．
5．若一次函数满足，则的值域为 ▲ ．
6．函数y=sinx 与y=cosx 在内的交点为P ，在点P 处两函数的切线与x 轴所围成的三角形的面积为 ▲ ．
7. 已知则的值为 ▲ ．
8．已知函数f(x)= 22,03,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 ▲ ． 9．设奇函数f (x ) 的定义域为R ，最小正周期T =3，若f (1)≥1，f (2)= ，则a 的取值范围是 ▲ ．
10．设函数在处取极值，则= ▲ ．
11．设，则函数的最小值为___▲_____．
12．已知函数, , ,则的最小值等于 ▲ ．
13．函数,则函数的所有零点所构成的集合为 ▲ ．
14．已知函数2()(,),f x x bx c b
c R =++∈对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本题满分14分） 已知函数)22cos(cos 2)(2π
+-=x x x f ．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．
16．（本题满分14分）
设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .图像的一条对称轴是直线．
（1）求函数的解析式；
（2）若，试求的值.
已知函数,且的解集为.
（1）求的取值范围；
（2）在取得最小值时,若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围．
18．（本题满分16分）
已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记
（Ⅰ）求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）若不等式成立，求实数k 的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p ,q ]上的一个函数m （x ），用分法01:i n T p x x x x q =<<<<<=L L 将区间[p ,q ]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M >0，使得和式11()()n i
i i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函
数为在[p ,q ]上的有界变差函数，试判断函数是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．
（参考公式：
121()()()()n i n i f x f x f x f x ==++∑L ）
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
(Ⅱ)若，求此时管道的长度；
(Ⅲ)问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
20．（本小题满分16分）
已知函数，
(1)求证： ;
(2)设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；
(3)求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立.
2014年秋学期阶段练习一
数学参考答案
1． 2．6 3． 4. 1
)43cos(2)(-+=πx
x g 5． 6． 7. 8． 9． 10．2 11．
12． 13． 14．
15. （本题满分14分）
解：（1）因为2π()2cos cos(2)2f x x x =-+
………6分
所以
πππ())11844
f =++= ………………………………………7分 （2
）因为π())14f x x =++ 所以 ………………9分(如解析式化错,这2分依然可得) 由ππ3π2π22π242k x k +<+<+解得π5πππ 88
k x k +<<+ 所以函数的单调减区间为………………14分
(区间开闭均可,无扣1分)
16．（本题满分14分）
解：（1）∵是函数的图象的对称轴， ∴，∴Z k k ∈+=+,24π
πϕπ
，………………2分
∵－，∴， ………………4分
故 ………………6分
（2）因为，
所以， ………………8分 故333333sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444ππππππαααα=-+=-⋅+-⋅ ＝ ………………11分 而553()sin[2()]sin(2)cos 28842
f ππππαααα+
=+-=+=
＝222412sin 12(1025α-=-=. 所以，. ………………14分
17．（本题满分14分）
解：(1)由题意可得010440>⇒=⇒⎩
⎨⎧=-=∆>c ac ac a ………………………………3分 所以844244)2(=+≥++=ac c a f 当且仅当即⎪⎩⎪⎨⎧==2
21c a 时”=”成立……………………………………5分
故的取值范围为……………………………………7分
(2)由(1)可得22)2(2
12221)(+=++=x x x x f , 因为对于任意的,恒成立
m x x ≥+++∴22)2(21在恒成立,故m x x ≥+++min )2
2)2(21( 又函数在上递增,所以2
5)22)2(21(min =+++x x …………12分 所以………………………………………………………………………………14分
18．（本题满分16分）
解：（Ⅰ）2()21(0)g x ax ax b a =-++>，因为，
所以在区间[2，3]上是增函数，故()()
2134g g =⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得；…………………………5分 （Ⅱ）由已知可得2()(||)21f x g x x x ==-+为偶函数，
所以不等式可化为，……………8分
解得或；…………………………10分
（Ⅲ）函数为[1，3]上的有界变差函数．
因为函数为[1，3]上的单调递增函数，
且对任意划分011:13i i n T x x x x x -=<<<<<
<=
有()()()()()()01113n n f f x f x f x f x f -=<<<<=
所以()()()()()()10211[][][]n n f x f x f x f x f x f x --+-+-L
()()()()0314n f x f x f f =-=-=
所以存在常数M ，使得11||()()|n i i i m x m x M -=-≤∑恒成立．……………16分
19．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ），，………………………4分
由于10tan BE θ=⋅≤，，
，． 所以101010cos sin sin cos L θθθθ
=++⋅ ，……………………6分 （Ⅱ）时，，；……………10分 （Ⅲ）101010cos sin sin cos L θθθθ
=++⋅=，设, 则，由于，
所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈ ，在内单调递减，于是当时.的最小值米……………15分 答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米……16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）令，
得,
当时单调递增；当时单调递减．
()()min 00F x F ∴==，
由最小值定义得即…………………………………（4分）
（2）在处切线方程为 ①
设直线与图像相切于点，则 ②……(6分)
③
由①②得
④
⑤
下证在上存在且唯一.
令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()
221'01x G x x x +=>- 在上单调递增.
又()()222230,0,11
e G e G e e e --=<=>--图像连续，存在唯一使⑤式成立，从而由③④可确立.故得证……………………………………………………（10分）
（3）由（1）知即证当时不等式即在上有解.
令()1x
H x e ax x =---，即证………………………………………（12分） 由()'10x
H x e a =--=得. 当时，单调递减，
当时，单调递增.
()()()min ln 1H x H a ∴=+()()()1ln 1ln 11(1)(1)ln 11a a a a a a a =+-+-+-=+-++-.
令，其中
则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，单调递减，.
综上得证…………………………………………………………………………………(16分)。