2025届甘肃兰化一中高考冲刺数学模拟试题含解析

2025届甘肃兰化一中高考冲刺数学模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()2
10y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，
垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A ．
16
B ．
15
C ．
14
D ．
12
2．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B 3C ．2
D ．3
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的
2
，则E 的离心率为( ) A 3B ．
12
C ．
22
D ．
23
4．已知函数||
())x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(
21)e B ．(2e C ．(11,1)e
+
D ．21()e
5．设α为锐角，若3
cos 45
πα⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．
1725
B ． 725
- C ． 1725
-
D ．
725
6．若，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．1,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
6e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．210,
6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经
过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2
D ．5 9．抛物线的焦点是双曲线
的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准
线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线
的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）
A ．
764
B ．
1132
C ．
5764
D ．
1116
12．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，
，，
则z =32x y ++的取值范围为（ ）
A ．[2453
，]
B ．[
2
5
，3] C ．[
4
3
，2] D ．[
2
5
，2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()()2log 1f x x x =
-的定义域为__________．
14．已知函数22,0,()2,0,
x x x f x x -⎧-≥=⎨<⎩，则11
(lg )(lg )(lg 2)(lg 5)52f f f f +++的值为 ____
15．已知()7
27012711112x a a x a x a x x x
⎛
⎫+
-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
16．已知复数()()12z i a i =++,其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等,则实数a 的值为__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()e ln x
b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.
（1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 18．（12分）已知函数()ln b
f x x ax x
=-+（a ，b R ∈），且对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；
（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由.
19．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.
（1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=⎩（ϕ
为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线02πθαα⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
与曲线C 交于点A （不同于极点O ）
，与直线l 交于点B ，求||
||
OA OB 的最大值. 21．（12分）已知在多面体ABCDEF 中，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且四边形ECDF 为正方形，且DC //AB ，
36AB DC ==，5AD BC ==，点P ，Q 分别是BE ，AD 的中点.
（1）求证：//PQ 平面FECD ；
（2）求平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.
22．（10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 的纵坐
标是
10
10
．
（1）求3cos 4απ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为5求αβ+的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
设所求切线的方程为y kx =，联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨
=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得
切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
设所求切线的方程为y kx =，则0k >，
联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为(
)
1
23210
111233S x x dx x x x ⎛⎫
=
+-=-+= ⎪⎝⎭
⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为1
6
S P S =='. 故选：A. 【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 2、B 【解析】
设直线l 的方程为1x my =+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,由3AF BF =可知
3AF FB =所以可得123y y =-代入化简求得参数,即可求得结果.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y （10y >，20y <）.易知直线l 的斜率存在且不为0，设为
1
m
，则直线l 的方程为1x my =+.
与抛物线方程联立得()2
41y my =+，所以124y y =-，124y y m +=.因为3AF BF =，所以3AF FB =，得
123y y =-，所以2
243y =
，即2y =
，1y =
1214m y y ==+故选:B. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 3、A 【解析】
由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21b
a
=，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】
由F 到直线20bx ay -=
，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以
21b a
=， 即()
222
4a c a -=
，解得2
e =
故选：A. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 4、D 【解析】
讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】
当0x >
时，()f x =
，
故'()f x =
，函数在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，
且12f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =； 当0x <
时，()f x =
，'()0f x =<，函数单调递减；
如图所示画出函数图像，则1012m f ⎛⎫
<-<= ⎪
⎝⎭
2()1,1e m +∈. 故选：D .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5、D 【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】
2237
sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525
ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．
故选：D ． 【点睛】
本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 6、B 【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得
，所以
.
故选B 【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 7、C 【解析】
令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =有两个交点，结
合已知，即可求得答案.
【详解】
令2()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3x
k x
=
， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =
有两个交点，
3
12ln ()3x
g x x -'=
， 令12ln 0x -=，
可得x =
∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.
∴
当x =max 1()6e
g x =， ∴若直线y k =和2ln ()3x g x x =
有两个交点，则10,6e k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 8、C 【解析】
由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2
b a
c a
=+，再结合,,a b c 关系求解即可
【详解】
因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以
2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==.
故选：C 【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9、A 【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率. 【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点
，双曲线半焦距
，设点
是以点为直角顶点
的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以
抛物线的准线，从而
轴，所以
，
即
故双曲线的离心率为
故选A 【点睛】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 10、D 【解析】
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】
当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈
时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 11、C 【解析】
利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可. 【详解】
设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A .所有“重卦”共有62种；
“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件A 是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有1
66C =种,故
6167()264P A +=
=,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是757
()1()16464
P A P A =-=-=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题. 12、D 【解析】
由题意作出可行域，转化目标函数3
2
x z y +=+为连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数，数形结合即可得解. 【详解】
由题意作出可行域，如图， 目标函数3
2
x z y +=
+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大，
由010x y x -=⎧⎨+=⎩可得()1,1A --，由2
10
x y x +=⎧⎨
+=⎩可得()1,3B -，
所以121132DA k -+==-+，325132DB k +==-+，所以2
25
z ≤≤. 故选：D.
【点睛】
本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、[)0,1 【解析】
根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域. 【详解】
解:要使函数有意义,则0
10x x ≥⎧⎨
->⎩
, 即01x ≤<.则定义域为: [)0,1. 故答案为: [)0,1 【点睛】
本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件. 14、4 【解析】 根据1
1
lg ,lg ,lg 2,lg 552
的正负值，代入对应的函数解析式求解即可. 【详解】
解：11(lg )(lg )(lg 2)(lg 5)5
2
f f f f +++
11lg
lg
lg2lg5lg5lg2lg2lg55
2
2
2
22222222224--+++=++--+=-=-.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题. 15、−196 −3 【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()2
3
23
27722196a C C =-+-=-，令x =1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×（1-2）
7
=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x )7展开式的通项得()172r
r
r T C x +=-， 则()()2
3
23
27722196a C C =-+-=-，
令x =1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-， 所以a 0+a 1+…+a 7=−3， 故答案为：−196，−3. 【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题. 16、3- 【解析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数a 的值. 【详解】
解：()()()()12212z i a i a a i =++=-++的实部与虚部相等, 所以122a a -=+,计算得出3a =-.
故答案为:3- 【点睛】
本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】
（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；
（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121
h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】
（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()
()x x a b xe e f x x x -'=-，
则f '（1）a =，f （1）be =-，
故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，
2a ∴=，1b =；
（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2
2()x x
x xe e f x x -+'=，
令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，
且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，
且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，
故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即0
002,(1,2)1
x x e x x =
∈-， 则0000002()221
x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121
h x lnx x x =-
<<-，则222()0(1)h x x x '=+
>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，
由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即002
22221
lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题． 18、（1）b a =（2）见解析（3）见解析 【解析】
试题分析：利用赋值法求出,a b 关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在(0,)+∞内
有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.
试题解析：
（Ⅰ）根据题意：令1x =，可得()1102f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以()10f a b =-+=，
经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以b a =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln a
f x x ax x
=-+
，且0x >， 所以()21a f x a x x =--' 2
2
ax x a
x
-+-=， 令()2
g x ax x a =-+-，要使()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，所以
()20,10,{2140,00
a a a g a >>=->=-<或()20,
10,
{2140,00
a a a g a <>=->=-> 解得102a <<或无解，所以a 的取值范围102a <<，可得2
1
028
a <<，
由题意知 2222ln 222a a a f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
2
22ln ln22a a a =+--，
令()22ln h x x x =+- 3ln22
x -，则()222232x h x x x =-'- 42
344
2x x x -+-=． 而当10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，4
344x x -+-= ()43410x x ---<，即()0h x '<， 所以()h x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
所以
()12h x h ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
12ln24ln216-+-- 633lne 015>->
即1
02a <<时，202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
．
（Ⅲ）因为()21a f x a x x =--' 2
2
ax x a x
-+-=，()2
g x ax x a =-+-． 令()0f x '=
得1x =
，2x =．
由（Ⅱ）知102a <<
时，()y g x =的对称轴()1
1,2x a
=
∈+∞，2140a ∆=->，()00g a =-<，所以21x >. 又121x x =，可得11x <，此时，()f x 在()10,x 上单调递减，()12,x x 上单调递增，()2,x +∞上单调递减，所以 ()y f x =最多只有三个不同的零点．
又因为()10f =，所以()1,1x 在()f x 上递增，即[
)1,1x x ∈时，()0f x <恒成立．
根据（2）可知202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且21028a <<，所以()21,12a x ∉，即()2
10,2a x ∈，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x =． 由0101x x <<<，得
11x >，又()0010f f x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，()10f =， 所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，
1x ． 综上所述，()y f x =恰有三个不同的零点．
【点睛】利用赋值法求出,a b 关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在
()0,+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值，
再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点. 19、 (1) 3
C π
=
.(2) .
【解析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+
⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3C π
=
.
（2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B π===
,a A b B =
=
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=
+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
，即，
则
23
6
3A π
π
π<+
<
，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b
的取值范围为. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
20、（1）1C ：2cos ρθ=，直线l ：4x y +=；（2
）14
+． 【解析】
（1）由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；
（2）由极径的定义可直接把θα=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求出极径12,ρρ，把比值OA OB
化为α的三角函
数，从而可得最大值、
（1）消去参数ϕ可得曲线C 的普通方程是22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，代入cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩得22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=； 由sin()224
ρθπ
+
=，化为直角坐标方程为4x y +=． （2）设12(,),(,)B ραρα，则12cos ρα=，
222sin()
4ρπα=
+
，
12cos sin()42
OA OB π
ααρρ+==2
sin cos cos 111sin 2cos 22444ααααα+=++21sin(2)444πα=++，
当8πα=
时，OA OB 取得最大值为124
+． 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可轻松自如进
行极坐标方程与直角坐标方程的互化． 21、（1）证明见解析；（2）17
25
. 【解析】
（1）构造直线PQ 所在平面PHQ ，由面面平行推证线面平行；
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值. 【详解】
（1）过点PH BC ⊥交BC 于H 点，连接QH ，如下图所示：
因为平面CDFE ⊥平面ABCD ，且交线为CD , 又四边形CDFE 为正方形，故可得CE CD ⊥， 故可得CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ， 故可得CE CB ⊥.
在三角形CBE 中，因为P 为BE 中点，,PH CB CE CB ⊥⊥， 故可得PH //CE ，H 为CB 中点；
又因为四边形ABCD 为等腰梯形，,H Q 是,CB AD 的中点， 故可得HQ //CD ；
又,PH HQ H CD CE C ⋂=⋂=，
且,PH HQ ⊂平面PHQ ，,CD CE ⊂平面DFEC , 故面//PHQ 面EFDC ， 又因为PQ ⊂平面PHQ ， 故//PQ 面FECD .即证.
（2）连接AE ，AC ，作DM AB ⊥交AB 于M 点，
由（1）可知CE ⊥平面ABCD ，又因为DF //CE ，故可得DF ⊥平面ABCD ， 则,DF DM DF DC ⊥⊥；
又因为AB //CD ，DM AB ⊥，故可得DM DC ⊥ 即DM ，DC ，DF 两两垂直，
则分别以DM ，DC ，DF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则22225221DM AD AM =-=-=
(0,0,0)D ，(0,0,2)F ，(0,2,2)E ，
2,0)A -
，P ⎫⎪⎪⎝⎭
，(0,2,0)C 设面AEF 的法向量为(),,m x y z =，则FE (0,2,0)=，
AF (=，
则00m FE m AF ⎧⋅=⎨⋅=
⎩20220y y z =⎧⎪⇒⎨++=⎪
⎩，
可取
m =，
设平面PDC 的法向量为n (,,)x y z =，则DC (0,2,0)=，
DP ⎫
=⎪⎪⎝⎭
，
则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=
⎩2030y x y z =⎧
⇒++=，
可取
n (2,0,=，
可知平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
2222117221
25
n m cos n m
θ⋅⨯
-=
=
=
+. 【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题. 22、（1）
2）34αβπ+= 【解析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,10sin α=
,进而求出cos α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4
απ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
（2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B
的横坐标是得出cos β
=,进而得出sin β=利用正弦的和差公式即可求出()sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】
解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标是
10
,
所以由任意角的三角函数的定义可知,10
sin α=
．
从而cos 10
α==
． （1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛
⎫-=+ ⎪
⎝⎭
⎛== ⎝⎭⎝⎭
（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
-
所以cos 5
β=-
,从而sin 5β==．
于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
=1051052
⎛=
-+ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππ
αβ⎛⎫
+∈ ⎪⎝
⎭
从而34
αβπ+=． 【点睛】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.。