吕梁市孝义市2020-2021学年八年级上期末数学试卷含答案解析

2021-2016学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：每小题2分，共20分．下面各小题都给出四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，请将符合题意的字母代号填入下表相应的方格中．
1．若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1 B．5 C．7 D．9
2．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠D=64°，AC=BC，则∠E的度数是（）
A．45°B．26°C．36°D．64°
3．孝义剪纸悠久历史，内容丰富，形式多样，造型独特，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．
D．
4．要使分式有意义，则x的取值是（）
A．x≠±1 B．x=±1 C．x≠﹣2 D．x=﹣2
5．如果x2+mx﹣12=（x+3）（x+n），那么（）
A．m=﹣1，n=﹣4 B．m=7，n=4 C．m=1，n=﹣4 D．m=﹣7，n=﹣4
6．下列运算正确的是（）
A．a3•a2=a6B．a3+a2=2a5 C．（2a2）3=2a6D．2a6÷a2=2a4
7．分式方程的解是（）
A．x=﹣1 B．x=C．x=﹣3 D．x=
8．若点A（3，2）和点B（a，b）关于x轴对称，则a b的值为（）
A．9 B．C．8 D．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E ．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=；③AE=CE；④∠EBC=中正确的有（）
A．①② B．②③ C．①②③D．①②③④
10．如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，且CE∥AB，AC与BE交于点E，则下列结论错误的是（）
A．CB=CE B．∠A=∠ECD C．∠A=2∠E D．AB=BF
二、填空题：每小题2分，共12分．
11．PM2.5颗粒为小于或等于0.0000025米的微粒，直径虽小，但活性强，易附带有毒、有害物质，且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大．0.0000025这个数字用科学记数法表示为．
12．分解因式：3a3﹣12a2+12a= ．
13．一个多边形的每一个外角是72°，则这个多边形共有条对角线．
14．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是．
15．如图，△ABC，点E是AB上一点，D是BC的中点，连接ED并延长至点F，使DF=DE，连接CF，则线段BE与线段CF的关系为．
16．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为．
三、解答题：17题（1）5分，（2）6分，18题7分，共18分．
17．（1）计算：（2x﹣3）2﹣2（3﹣x）（3+x）+9．
（2）观察下列等式
①1×3=22﹣1 ②2×4=32﹣1 ③3×5=42﹣1
请你按照三个等式的规律写出第④个，第⑤个算式，并把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来，说明其正确性．
18．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=0．
四、完成下列各题：19题6分，20题7分，21题7分，共20分．
19．如图1为L形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．
请以L形的三格骨牌为基本图形，在图2和图3中各设计1个轴对称图形．要求如下：
1、每个图形由3个L形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上．
2、设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．
20．如图，已知△ABC，∠C=90°，∠B=30°．
（1）用直尺和圆规在BC上找一点D，使DA=DB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若BC=8，求点D到边AB的距离．
21．列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
五、完成下列各题：22题8分，23题12分，共20分．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB∥CD，AD∥BC，AC和BD交于点O．
求证：OA=OC．
23．情境观察：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形；
②线段AF与线段CE的数量关系是．
问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与B C交于点E．
求证：AE=2CD．
拓展延伸：
如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂
足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．
要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．
2021-2016学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题2分，共20分．下面各小题都给出四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，请将符合题意的字母代号填入下表相应的方格中．
1．若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1 B．5 C．7 D．9
【考点】三角形三边关系．
【专题】应用题．
【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3=1，而＜两边之和，即4+3=7，
即1＜第三边＜7，
∴只有5符合条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查了构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边，比较简单．
2．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠D=64°，AC=BC，则∠E的度数是（）
A．45°B．26°C．36°D．64°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】由在△ABC中，∠B=45°，AC=BC，根据等腰三角形的性质，即可求得∠A的度数，继而求得∠ECD的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DCE=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
∵∠D=64°，
∴∠E=90°﹣∠D=26°．
故选B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意根据等腰三角形的性质求得∠ACB=90°是关键．
3．孝义剪纸悠久历史，内容丰富，形式多样，造型独特，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．要使分式有意义，则x的取值是（）
A．x≠±1 B．x=±1 C．x≠﹣2 D．x=﹣2
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0．
∴x≠﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，明确分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键．
5．如果x2+mx﹣12=（x+3）（x+n），那么（）
A．m=﹣1，n=﹣4 B．m=7，n=4 C．m=1，n=﹣4 D．m=﹣7，n=﹣4
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】利用多项式乘法去括号，再利用多项式各部分对应相等，进而求出m，n的值．【解答】解：∵x2+mx﹣12=（x+3）（x+n），
∴x2+mx﹣12=x2+（3+n）x+3n，
故，
解得：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确得出关于m，n的等式是解题关键．
6．下列运算正确的是（）
A．a3•a2=a6B．a3+a2=2a5 C．（2a2）3=2a6D．2a6÷a2=2a4
【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算分别化简求出答案．
【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；
B、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
C、（2a2）3=4a6，故此选项错误；
D、2a6÷a2=2a4，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、以及合并同类项以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关法则是解题关键．
7．分式方程的解是（）
A．x=﹣1 B．x=C．x=﹣3 D．x=
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣2=3x﹣3，
移项合并得：4x=3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．若点A（3，2）和点B（a，b）关于x轴对称，则a b的值为（）
A．9 B．C．8 D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：A（3，2）和点B（a，b）关于x轴对称，得
b=﹣2，a=3，
a b=3﹣2=．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E ．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=；③AE=CE；④∠EBC=中正确的有（）
A．①② B．②③ C．①②③D．①②③④
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质求出AB=AC，进一步求得∠BAD=∠CAD=∠BAC
；根据等角的余角相等即可求出∠EBC=∠DAC=∠BAC；根据勾股定理即可判断③，根
据∠BAC≠∠ABC，∠EBC=∠BAC，即可判断④．
【解答】解：∵AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正确；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC=∠BAC，∴②正确；
∵AE2=AB2﹣BE2，CE2=BC2﹣BE2，AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③错误；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC=∠BAC，
∴∠EBC≠∠ABC，∴④错误；
∴①②都正确；
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等角的余角的性质和勾股定理的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．
10．如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，且CE∥AB，AC与BE交于点E，则下列结论错误的是（）
A．CB=CE B．∠A=∠ECD C．∠A=2∠E D．AB=BF
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【分析】选项A和B：根据角平分线定义和平行线的性质推出∠FBC=∠E即可；选项C：先根据三角形外角的性质及角平分线的定义得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC），再由BE平分∠ABC可知∠EBC=∠ABC，根据∠ECD是△BCE的外角
即可得出结论；选项D：根据等腰三角形的判定和已知推出即可．
【解答】解：∵△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，
∴∠ABF=∠CBF，∠FCE=∠ECD，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠E=∠ABE，
∴∠A=∠ECD，∠FBC=∠E，
∴CB=CE，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）（角平分线的定义），
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC（角平分线的定义），
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠A，
即∠A=2∠E；
根据已知条件不能推出∠A=∠AFB，即不能推出AB=BF；
所以选项A、B、C的结论都正确，只有选项D的结论错误；
故选D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
二、填空题：每小题2分，共12分．
11．PM2.5颗粒为小于或等于0.0000025米的微粒，直径虽小，但活性强，易附带有毒、有害物质，且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大．0.0000025这个数字用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．分解因式：3a3﹣12a2+12a= 3a（a﹣2）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（a2﹣4a+4）=3a（a﹣2）2，
故答案为：3a（a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．一个多边形的每一个外角是72°，则这个多边形共有 5 条对角线．
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】首先利用多边形外角和除以外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形对角线计算公式计算即可．
【解答】解：多边形边数：360÷72=5，
对角线条数：=5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了多边形的外角、以及对角线，关键是掌握n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．
14．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是SSS ．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据作图得出AB=AD，CD=CB，根据全等三角形的判定得出即可．
【解答】解：由作图可知：AB=AD，CD=CB，
∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
15．如图，△ABC，点E是AB上一点，D是BC的中点，连接ED并延长至点F，使DF=DE，连接CF，则线段BE与线段CF的关系为BE=CF且BE∥CF ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由D是BC的中点，得到BD=CD，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，∠B=∠DCF，根据平行线的判定即可得到结论．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴BE=CF，∠B=∠DCF，
∴BE∥CF．
故答案为：BE=CF，BE∥CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为2．
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】连接EC交于AD于点P，由等腰三角形三线和一的性质可知AD是BC的垂直平分线，从而可证明BP=PC，故此PE+PB的最小值=EC，然后证明△ACE≌△CAD，从而得到EC =AD．
【解答】解：连接EC交于AD于点P．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴PB=PC．
∴PE+PB=EP+PC=EC．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC．
∵点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴AE=DC．
在△ACE和△CAD中，，
∴△ACE≌△CAD．
∴EC=AD=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，明确当点E、P、C在一条直线上时，PE +PB有最小值是解题的关键．
三、解答题：17题（1）5分，（2）6分，18题7分，共18分．
17．（1）计算：（2x﹣3）2﹣2（3﹣x）（3+x）+9．
（2）观察下列等式
①1×3=22﹣1 ②2×4=32﹣1 ③3×5=42﹣1
请你按照三个等式的规律写出第④个，第⑤个算式，并把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来，说明其正确性．
【考点】整式的混合运算；因式分解的应用．
【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，即可得出答案；
（2）利用已知算式得出第④、⑤个算式，进而得出规律，再利用多项式乘法计算得出答案．
【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣2（3﹣x）（3+x）+9
=4x2﹣12x+9﹣2（9﹣x2）+9
=4x2﹣12x+9﹣18+2x2+9
=6x2﹣12x；
（2）第④个算式：4×6=52﹣1，
第⑤个算式：5×7=62﹣1，
n（n+2）=（n+1）2﹣1，
理由：左边=n2+2n，右边=n2+2n+1﹣1=n2+2n，
因为：左边=右边，
所以：n（n+2）=（n+1）2﹣1．
【点评】此题主要考查了整式乘法，正确得出整式的变化规律是解题关键．
18．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷（﹣）
=•
=，
当x=0时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
四、完成下列各题：19题6分，20题7分，21题7分，共20分．
19．如图1为L形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．
请以L形的三格骨牌为基本图形，在图2和图3中各设计1个轴对称图形．要求如下：
1、每个图形由3个L形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上．
2、设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．
【考点】利用轴对称设计图案．
【分析】可以利用轴对称设计一个图案，再利用平移设计一个图案即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，关键是正确理解题目要求．
20．如图，已知△ABC，∠C=90°，∠B=30°．
（1）用直尺和圆规在BC上找一点D，使DA=DB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若BC=8，求点D到边AB的距离．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出∠DAB=∠B=30°，进而得出DC=DE，再得出2DE+D E=BC，求出答案即可．
【解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，DE⊥AB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠DAB=30°，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴BD=2DE，
∴2DE+DE=BC=8，
∴DE=．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
21．列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，
根据题意得：=，
去分母得：15x=10x+2，
解得：x=0.4，
经检验x=0.4是分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元），
答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中等量关系“甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元”是解本题的关键．
五、完成下列各题：22题8分，23题12分，共20分．
22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB∥CD，AD∥BC，AC和BD交于点O．
求证：OA=OC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由平行线的性质得出∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，由ASA证明△ABD≌△C DB，得出对应边相等AD=CB，再由AAS证明△AOD≌△COB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD=CB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OA=OC．
【点评】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23．情境观察：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB ；
②线段AF与线段CE的数量关系是AF=2CE ．
问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与B C交于点E．
求证：AE=2CD．
拓展延伸：
如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂
足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．
要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD ，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．
拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．
【解答】情境观察：
解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；
故答案为：AF=2CE．
问题探究：
证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ADC≌△CBG中（ASA），
∴AE=CG=2CD．
拓展延伸：
解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，
如图3所示．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
2016年3月8日。