教育最新K122018版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版必修4

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 向量的数乘运算
阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3.运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.
①a与－λa的方向相反；
②|－λa|≥|a|；
③a与λ2a方向相同；
④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确.
【答案】 ③④
教材整理2 共线向量与向量的线性运算
阅读教材P 88例5以下至P 89例7以上内容，完成下列问题. 1.共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .
如图2­2­18，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →
，则λ＝________.
图2­2­18
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →
. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2
[小组合作型]
数乘向量的定义及其几何意义
(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为________. (2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. ①用BC →表示AB →； ②用CB →表示AC →.
【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识： λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；
λ＝0时，λa ＝0.
【自主解答】 (1)由定义可知，2x －1>0，即x >1
2.
【答案】 x >1
2
(2)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC.
①如图b ，向量AB →与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →
； ②如图c ，向量AC →与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →
.
对向量数乘运算的三点说明：
(1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小. (3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0.
[再练一题]
1.已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的1
2；
(3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；
(5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 【导学号：00680042】 【解】 (1)真命题.∵2>0，∴2a 与a 同向. ∵|2a |＝2|a |，
∴2a 的模是a 的模的2倍. (2)真命题.∵－3<0，
∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |. 又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的1
2.
(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知. (4)假命题.
∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量. (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线.
向量的线性运算
(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.
(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________. 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解.
【自主解答】 (1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －
2c.
(2)因为(x －a )－(b －x )＝2x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即x ＝0. 【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0
向量数乘运算的方法：
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
[再练一题] 2.化简13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
22a ＋8b
－4a －2b 的结果是( )
A.2a －b
B.2b －a
C.b －a
D.a －b
【解】 原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝1
3(6b －3a )＝2b －a .
【答案】 B
[探究共研型]
向量共线问题
探究1 已知m ，n 是不共线向量，a ＝3m ＋4n ，b ＝6m －8n ，判断a 与b 是否共线？ 【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a ＝λb 即可.
若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3m ＋4n ＝λ(6m －8n ).
∵m ，n 不共线，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
6λ＝3，
－8λ＝4.
∵不存在λ同时满足此方程组，∴a 与b 不共线.
探究2 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 【提示】 ∵e 1，e 2共线， ∴存在λ∈R ，使e 1＝λe 2.
∴a ＝3e 1＋4e 2＝3λe 2＋4e 2＝(3λ＋4)e 2，
b ＝6e 1－8e 2＝6λe 2－8e 2＝(6λ－8)e 2，
∴a ＝3λ＋46λ－8b ⎝ ⎛
⎭⎪⎫λ≠43，
∴a 与b 共线.
当λ＝4
3
时，b ＝0，∴a 与b 共线.
探究3 设两非零向量e 1和e 2不共线，是否存在实数k ，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线？ 【提示】 设k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2.
∵e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎪⎨
⎪⎧
k －λ＝0，
λk －1＝0，
则k ＝±1.
已知非零向量e 1，e 2不共线.
如果A B →＝e 1＋e 2，B C →＝2e 1＋8e 2，C D →
＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线. 【精彩点拨】 欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使B D →＝λA B →
即可. 【自主解答】 ∵A B →
＝e 1＋e 2，
B D →＝B
C →＋C
D →
＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2
＝5(e 1＋e 2) ＝5A B →
.
∴A B →，B D →
共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.
1.本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
[再练一题]
3.设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 【导学号：70512028】
【解】 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，
∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →
＝2e 1＋k e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →
， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＝－λ，k ＝4λ，
∴k ＝－8，
所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线.
1.下列各式中不表示向量的是( ) A.0·a B.a ＋3b C.|3a |
D.
1
x －y
e (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量. 【答案】 C
2.下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 因为(－3)·2a ＝－6a ，故①正确；②中，左＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故
②正确；③中，左＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误.
【答案】 C
3.⎝
⎛⎭⎪⎫3a ＋1
2b ＋c －⎝
⎛⎭
⎪⎫2a ＋34
b －
c 等于( ) A.a －14b ＋2c B.5a －14b ＋2c C.a ＋54
b ＋2c
D.5a ＋54
b
【解析】 ⎝
⎛⎭⎪⎫3a ＋12
b ＋
c －⎝
⎛⎭⎪⎫2a ＋34
b －
c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14
b ＋2c.故
选A.
【答案】 A
4.O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →
＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.
【解析】 设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE →
＋BF →＝BO →＝OD →.
【答案】 OD →(或BO →
)
5.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC. 【导学号：00680043】
【证明】 ∵AD →＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →与BC →
共线.
又AD 与BC 不重合，∴直线AD ∥BC.。