市中区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(2)

市中区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “
方程
+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
2． 过点（2，﹣2
）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A
．
﹣
=1
B
．
﹣
=1 C
．
﹣=1 D
．
﹣=1
3． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 4． 下列命题中的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
5． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为
1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈
B ．5立方丈
C ．6立方丈
D ．8立方丈
6． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c
，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
7． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8． 已知双曲线和离心率为4
sin
π
的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若
2
1
cos 21=
∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．27
9． 已知x ，y 满足约束条件
，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
10．已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4） B ．（7，4） C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
11．设函数f （x ）在R 上的导函数为f ′（x ），且2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2
，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）
A ．f （x ）＞0
B ．f （x ）＜0
C ．f （x ）＞x
D ．f （x ）＜x
12．已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数3
2
()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ． 14．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________． 15．设x ∈（0，π），则f （x ）=cos 2x+sinx 的最大值是 ．
16．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
17．已知()2
12811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.
18．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量
在
方向上的投影．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的
最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
20．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
21．已知函数f （x ）=x|x ﹣m|，x ∈R ．且f （4）=0 （1）求实数m 的值．
（2）作出函数f （x ）的图象，并根据图象写出f （x ）的单调区间 （3）若方程f （x ）=k 有三个实数解，求实数k 的取值范围．
22．已知函数，
．
（Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）若，求函数
的单调递增区间．
23．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；
（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
24．已知函数()f x =1
21
x
a +- （1）求()f x 的定义域.
f x是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

（2）是否存在实数a，使()
（3）在（2）的条件下，令3
=，求证：()0
g x x f x
()()
g x>
市中区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
2．【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，
把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B ．由x 2+5x ﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B 错误，
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≤0﹣5，故C 错误，
D ．若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理得sinA ＞sinB ，即命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D 正确 故选：D ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
5． 【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，
EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2×3×1×2＝5立方丈，故选B.
6． 【答案】B
【解析】解：若
，
则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （
a+c ）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （
a+c ）=0，
化为a 2
+c 2﹣b 2
=﹣
ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），
∴B=，
故选：B ．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．
7． 【答案】A
【解析】解：p ：对于任意n ∈N *
，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列， 则￢p ：∃n ∈N *
，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，
由￢p ⇒￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，
若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *
，使得a n+2﹣a n+1≠d ，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设
n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又2
1
cos 21=
∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2
221234a a c +=∴，432221=+∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则432
2122=+e
）（，解
得26
=e .故答案选C ．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、
2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，接着用余弦定理表示2
1
cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2
c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 9． 【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y ，得y=﹣ax+z ，
若a=0，此时y=z ，此时函数y=z 只在B 处取得最小值，不满足条件． 若a ＞0，则目标函数的斜率k=﹣a ＜0． 平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z 和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a ＜0，则目标函数的斜率k=﹣a ＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
10．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
11．【答案】A
【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，
令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．
如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，
但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A
故选A．
12．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解， 即g （x ）=xe x 在直线y=mx ﹣m 下方， g ′（x ）=（x+1）e x ，
g （x ）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g （x ）min =g （﹣1）=﹣，y=mx ﹣m 恒过定点P （1，0）， 结合函数图象得K PA ≤m ＜K PB ，
即
≤m ＜
，
，
故选：C ．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
二、填空题
13．【答案】5 【解析】
试题分析：'
2
'
()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=． 考点：导数与极值． 14．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得 10×2＋10×9
2×c ＝200，∴c ＝4.
答案：4
15．【答案】 ．
【解析】解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2
x+sinx=﹣
+，
故当sinx=时，函数f （x ）取得最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
16．【答案】 真命题 【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
17．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】
试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2
245f x x x =-+.
考点：函数的解析式.
18．【答案】
【解析】解：∵点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），
∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），
=（3+2，4+1）=（5，5）；
∴向量
在方向上的投影是
=
=
．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）
当2n ≥时，2n n S n a +=，
① 11(1)2n n S n a --+-=，
②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=.
所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.
即12n n a +=故21n n a =-（*
n N ∈）.
（5分）
20．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【
解
析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,
5,
k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．
考点：待定系数法． 21．【答案】
【解析】解：（1）∵f （4）=0，
∴4|4﹣m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，由图可知k∈（0，4）．
22．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1 x
时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；
1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x ≤，∴1＜x ≤；
x ≥3时，x ﹣3﹣2x+2≥1，∴x ≤﹣2∴1＜x ≤，无解，…
所以f （x ）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0可化为|x ﹣a|≤3， ∴a ﹣3≤x ≤a+3，…
∴
，…
∴﹣1≤a ≤4．…
24．【答案】 【解析】
试
题解析：（1）由210x
-≠得：0x ≠
∴()f x 的定义域为{}
0x x ≠------------------------------2分
（2）由于()f x 的定义域关于原点对称，要使()f x 是奇函数，则对于定义域{}
0x x ≠内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-即：112121x x
a a -⎛
⎫+
=-+ ⎪--⎝⎭
解得：1
2
a =
∴存在实数1
2
a =
，使()f x 是奇函数------------------------------------6分 （3）在（2）的条件下，12a =，则3
311()()221x g x x f x x ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭
()g x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，且33()()()()()g x x f x x f x g x -=--==
则()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称。

当0x >时，21x >即210x
->又210x
+>，3
0x >
∴331
121()02212(21)x x x
g x x x +⎛⎫=+=> ⎪--⎝⎭
g 当0x <时，由对称性得：()0g x >分
综上：()0g x >成立。

--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。