2020年河南省商丘市乡第三中学高二数学理下学期期末试题含解析

2020年河南省商丘市乡第三中学高二数学理下学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数R2分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（）
A. 模型1
B. 模型2
C. 模型3
D. 模型4
参考答案：
C
【分析】
相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.
【详解】四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80
相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好
故答案选C
【点睛】本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.
2. 已知点（x，y）在给出的平面区域内（如图阴影部分所示），其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数Z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（）
A．B．1 C．4 D．
A
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由题设条件，目标函数Z=ax﹣y （a＞0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故最大值应该在边界AB上取到，即ax﹣y=0应与直线AB平行；进而计算可得答案．
【解答】解：由题意，使目标函数Z=ax﹣y（a＞0）取得最大值，而y=ax﹣z
即在Y轴上的截距最小；
所以最优解应在线段AC上取到，故ax﹣y=0应与直线AC平行．
∵k AC==，
∴a=，
故选：A．
【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．
3. 给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0；⑵;
⑶已知，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
参考答案：
B
4. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么
中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是
（A）假设不都是偶数（B）假设都不是偶数
（C）假设至多有一个是偶数（D）假设至多有两个是偶数
B
5. 曲线y=在区间[0，]上截直线y=2及y=-1，所得的弦长相等且不为0，则下列对A，α的描述正确的是
参考答案：
A
6. 已知命题p：使；命题q：，
都有，下列命题为真命题的是（）
A.B．
C. D．
参考答案：
C
略
7. 关于直线，以及平面，，下列命题中正确的是（）．
A．若，，则B．若，，则
C．若，且，则D．若，，则
参考答案：
D
错误，，可能相交，
错误，可能平行于，
错误，可能平行于，
正确．
故选．
8. 设集合，，则A∩B=（)
A.[－3,2)
B.(2,3]
C. [－1,2)
D. (－1,2)
参考答案：
C
【分析】
先计算集合B，再计算得到答案.
【详解】
故答案选C
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.
9. 等差数列｛｝中，，则前n项和取最大值时，n为
A．6 B．7 C．6或7 D．以上都不对
参考答案：
C
10. 下列命题是假命题的是( )
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，
则x＝1”
B．若命题p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，则p：?x∈R，x2＋x＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点到直线的距离是________________.
参考答案：
12. 若不等式的解集是（4，m），则a= ，
m= .
参考答案：
略
13. 已知tanx=2,则=_____________
参考答案：
14. 设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于．（填具体数字）
参考答案：
【考点】反证法的应用；进行简单的合情推理．
【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．
【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．
假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾．
故a、b、c中至少有一个数不小于．
故答案为：．
15. 已知“3x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件，则p的取值范围是____________．参考答案：
略
16. 下列程序执行后输出的结果是S＝________.
i＝1
S＝0
WHILE i<＝50
S＝S＋i
i＝i＋1
WEND
PRINT S
END
参考答案：
1275
17. 焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程
为 _____ ___。

参考答案：
x2=-12y或y2=16x
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}的前n项和为S n,且,,数列{b n}满足，
.
(1)求a n和b n的通项公式；
(2)求数列{a n·b n }的前n项和T n .
参考答案：
（1）；（2）
试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和
试题解析：（1）∵，∴当时，.
当时，.
∵时，满足上式，∴.
又∵，∴，解得：.
故，，.
（2）∵，，
∴①
②
由①-②得：
∴，.
考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和
【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和
19. 已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩(?R B)；
(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值
参考答案：
由≥1，得≤0，∴－1<x≤5，
∴A＝{x|－1<x≤5}．
(1)m＝3时，B＝{x|－1<x<3}．
则?R B＝{x|x≤－1或x≥3}，
∴A∩(?R B)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，
∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，
此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.
20. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，证明：y12+y22为定值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由离心率为e==，a=2c，2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，即可求得椭圆C的方程；
（2）直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x1=x2，y1=﹣y2，由三角形面积公式即可求得|x1|和|y1|的值，可知y12+y22均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理求得x1+x2和x1?x2的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x12+x22=4，利用y1=kx1+b，y2=kx2+b，即可求得y12+y22为定值；
【解答】解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，离心率为
e==，a=2c，
椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4，即2ab=4，
由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）证明：当直线l⊥x轴时，，△OPQ的面积S=?丨x1丨?丨2y1丨=，
解得：丨x1丨=，丨y1丨=，
故y12+y22=3
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m≠0，
，整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，
△=（8kb）2﹣4（3+4k2）?（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，
由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1?x2=，
∴丨PQ丨=?=4??，
点O到直线l的距离为d=，
则△OPQ的面积S=?d?丨PQ丨=??4??=2?，
即2?=，整理得：3+4k2=b2，满足△＞0，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（﹣）2﹣2×=4，
y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，
综上可知：y12+y22=3均为定值．
21. 已知函数，.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有2个不同的零点，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递
增，在上单调递减.（2）
【分析】
（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）可知且，后者可得实数取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当
时函数确有两个不同的零点.
【详解】（1）解：因为，
①当时，总有，
所以在上单调递减.
②当时，令，解得.
故时，，所以在上单调递增.
同理时，有，所以在上单调递减.
（2）由（1）知当时，单调递减，
所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，
由（1）知当时，，
所以当时，解得，从而.
又时，有，因为，，
令，则，
所以在为增函数，故，
所以，根据零点存在定理可知：
在内有一个零点，在内有一个零点，
故当函数有2个零点时，的取值范围为.
【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.
22. （本题满分12分）已知椭圆和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率
e＝，坐标原点到直线L的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为．∴b＝1
∵椭圆的离心率e＝，∴，解得a2＝3∴所求椭圆的方程是
；
（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝
∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且点E在以CD为直径的圆外。

∴.<0 ∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2>0
∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5>0
∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5>0，解得k<，
综上所述， k＜﹣1或 1<k<。