2015-2016学年湖南省长沙一中高三(下)月考数学试卷(理科)(七)(解析版)综述

2015-2016学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1 . （ 5 分）已知集合 U=R , A={x|0W x W 2} , B={y|y=2 , x € R}，则（?U A ） AB=（ ）
A . （-s, 0）
B . （ 0, 1）
C . （1 , 2]
D . （2, +s ）
2. （5 分）"（m - 1） （a - 1）> 0"是 log a m > 0 "的一个（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充
要条件D .既不充分也不必要条件
3. A .
4.
(七
（5分）
若复数z 满足Z 2+2Z =
5.
C .
D .
展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（
6.
5377 B . - 5377 C . 5375 D . - 5375 4 x
1 (5 分)已知函数 f (x ) =x+ , g (x ) =
2 +a ,若？ x i €
[
—, 1],
x
2
? X 2 € [ 2, 3]，使得 f (x i )> g (X 2),
则实数a 的取值范围是（ A . a < 1 B . a >1 7. （ 5分）将函数 ）
C . a < 2
D . a > 2
jr 9JT 向右平移 个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变,
横坐标变为原来的 2倍，得到函数y =g （x ）的图象，则函数y =g （x ）与
，三
，x
轴围成的图
形面积为（ A . B .
(5分)
D -
| x+y - 2^2 >0
8 （5分）已知不等式组
表示平面区域 Q,过区域Q 中的任意一个点 P ,作圆x 2+y 2=1的
ly<2V2
两条切线且切点分别为 A 、B ,当/ APB 最大时，
？三的值为（
）
3 5 A . 2 B . — C . — D . 3
2
2
9. （5分）已知向量 满足：，| _ ： , I ： _ ,
| - -二|..,则 在才上的投影长度的取值范围
是（ ）
A -
B -
C .
D -
2 2
10. （ 5分）已知双曲线 C 与椭圆—+ =1有相同的焦点F 1、F 2，点P 为双曲线C 与椭圆的一个交点，
9 5
且满足| PF* =2| PF 2I ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A . y= 土好 3x
B . y= ± V^x
C . y= ± x
D . y= 土三-x
11（ 5分）已知函数y=f （x ）是R 上的可导函数，当x 工0时，有f 1 f ■"- 则函数 - ■--
X
X
的零点个数是（
）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
12 . （ 5分）已知数列｛a n ｝是等差数列，数列｛b n ｝是等比数列，公比为q ，数列｛环｝中，c^a n b n , S n 是数列 ｛C n ｝的前n 项和，若S m =7, S 2m = - 201 （m 为正偶数），则S 4m 的值为（ ）
A . - 1601
B . - 1801
C . - 2001
D . - 2201
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上. 13 . （5分）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 ___ .
14 . （ 5分）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m ，第二次出现的点数为 n ,
向量p = （ m , n ）,孑（3, 6），则向量p 与可共线的概率为 _____ .
15 . （ 5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
三、解答题：本大题共 5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 . （12 分）在厶 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,函数 f （x ）
=2cosxsin
（x - A ） +sinA （x € R ）在x=
处取得最大值.
12
（1）当:.i::. 二］时，求函数f （ x ）的值域；
16 . （ 5分）数列｛ a n ｝中，已知a 1=5, 3 (a n - a n -1) =a n +1 - a n-2，贝V a 10= __
(2)若 a=7 且 sinB+sinC='；:，求△ ABC 的面积.
14
2
18. ( 12分)某军区新兵50m 步枪射击个人平均成绩 X (单位：环)服从正态分布 N (卩，^),从这些个 人平均成绩中
随机抽取，得到如下频率分布表：
(1) 求□和2的值(用样本书序期望、方差代替
总数数学期望、方差) ； (2)
如果这个军区有新
兵 10000名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间 (7.9, 8.8］上的人
数.
19. ( 12分)如图，在三棱台 DEF - ABC 中，AB=2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点.
(I)求证：BD //平面FGH ;
(H)若 CF 丄平面 ABC , AB 丄BC , CF=DE ，/ BAC=45 °求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角) 的大小.
厂
2
2
-一的椭圆■： - -的右焦点F 是圆
三 a b
椭圆上的动点P 作圆两条切线分别交 y 轴于M , N (与P 点不重合)两点. (1) 求椭圆方程；
(2) 求线段MN 长的最大值，并求此时点 P 的坐标.
2
21. (12分)已知函数f ( x ) =e (Inx+a - 1) (e=2.71828…为自然对数的底数在定义域上单调递增. (1) 求实数a 的取值范围； (2)
当实数a 取最小值时，设-::| ::
1-^—，证明：
ex
① i ；"：. 1 >
' I. ―
请考生在第(22)、(23) (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.
【选修4-1：几何证明选讲】
X 4 5 6 7 8 9 频数
1
2
26
40
29
2
2 2
x - 1) +y =1的圆心，过
20. ( 12分)已知离心率为
22. (10分)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O O与厶ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.
(1)证明：EF/ BC ;
(2)若AG 等于O O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积.
(I)写出O C 的直角坐标方程;
(n) P 为直线I 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标.
【选修4-5 :不等式选讲】
24.若 a >0, b >0，且 + =
.
a b
(I)求a 3+b 3的最小值；
(n)是否存在 a , b ,使得2a+3b=6?并说明理由.
【选修4-4 :坐标系与参数方程】
23.在直角坐标系 轴
建立极坐标系，O
xOy 中，直线 I 的参数方程为 (t 为参数)，以原点为极点,
x 轴正半轴为极
C 的极坐标方程为 p=2 sin 0.
2015-2016学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1. （5 分）（2016 春？长沙校级月考）已知集合 U=R , A={x|0<x < 2} , B={ y| y=2x , x € R},贝卩（?U A ） AB= （ ） A . （-s, 0）
B . （ 0, 1）
C . （1 , 2]
D . （2, +s ）
【分析】化简集合B ,求出集合A 的补集，再计算（?U A ） AB 即可. 【解答】解：集合U=R , A={x|0W x < 2}, 二?u A={x|x v 0 或 x >2}= （- s, 0）U （ 2, +s ）, 又 B={y|y=2 , x € R}={y|y > 0} = （0 , +s ）, •••（ ?U A ） nB= （2 , +s ）. 故选：D .
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目.
2. （5 分）（2016 春？长沙校级月考） “（m - 1） （a - 1）> 0”是 log a m > 0”的一个（ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
定成立,
故"（m - 1） （a - 1） > 0"是log a m > 0"的一个必要不充分条件， 故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的性质是解决本题的关键，比较基础. 3. (5分)(2016春？长沙校级月考)若复数 z 满足z 2+2z= - 10，则| z| =( )
A .
B .刃〕
C . 3
D .
【分析】设z=x+yi (x , y € R )，代入z 2+2z= - 10,禾U 用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解：设z=x+yi (x , y € R ), •••( x+yi ) 2+2 (x+yi ) +10=0,
2 2
• x - y +2x+10+ (2xy+2y ) i=0 ,
2 2
• x - y +2x+10=2xy +2y=0 ,
"“ m - 1) (a - 1)> 0"时,
k ,此时
a<l
log a m 可能无意义，故 log a m > 0”不
而当
bg a m > 0 ”时，则 "“ m - 1) (a - 1)> 0”成立,
【解
•|z—「；-= .
【解答】解:
9
展开式中的通项公式为:
r r
?C 9?2
9-r
?x
故选：D .
【点评】本题考查了复数运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
4. （5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3,则输出的S=（
第1次循环，S= , i=2 ,
1X3
第2次循环，S= , i=3 ,
1X3 3X5
第3次循环，S=
, i=4,
1X3 3X5 5X7
此时，i > n ,满足判断框的条件，结束循环，输出结果：
1X3 3X5 5乂7 2
3 W 5 巧 7 7 7
故选：B
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
/覽s/
A .
7
【分析】
【解答】 B . C .
D . 列出循环过程中 S 与i 解: 判断前i=1 , n=3,
4
9
的数值，满足判断框的条件即可结束循环.
s=0, 5. （ 5分）（2016春？长沙校级月
展开式中除常数项外的其余项的系数之和为
A . 5377
B . - 5377
C . 5375
D . - 5375
【分析】利用二项展开式中的通项公式，求出展开式的常数项，再令 求
出展开式中除常数项外的其余项的系数和.
x=1可得展开式中各项系数和，由此
令 ____ =0,求得 r=3 ,
2
所以展开式中常数项为(-1) 3?C 93?26= - 5376, 令x=1可得展开式中各项系数之和为(2 - 1) 9=1, 所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 1+5376=5377 .
故选：A .
【点评】本题主要考查二项式定理的应用问题， 解题时应利用展开式的通项公式求出常数项，
是基础题目.
6. (5 分)(2015?郑州一模)已知函数 f (x ) =x+ , g (x ) =2X +a ,若？ x i € [ , 1] , ? X 2^ [ 2, 3]，使
x
得f (X 1)> g (X 2),则实数a 的取值范围是( )
A . a < 1
B . a > 1
C . a < 2
D . a > 2
2
【分析】由？ X 1 € [ - 1 , 2]，都？ X 2€ [1, 2]，使得 f (X 1)> g (X 2),可得 f (x ) =x +1 在 X 1 € [ - 1, 2]
的最小值不小于 g (x ) =ax+2在X 2€ [ 1, 2]的最小值，构造关于 a 的不等式组，可得结论.
令 f ' (x )> 0,解得：x > 2,令 f ' (x )v 0，解得：X V 2, ••• f (x ) 在 [—, 1]单调递减，
2
• f (1) =5是函数的最小值，
当 X 2€ [2, 3]时，g (x ) =2X +a 为增函数， • g ( 2) =a+4是函数的最小值，
又? X 1€ [ —, 1]，都？ X 2€ [2, 3]，使得 f (X 1)> g ( X 2),
2
可得f (x )在X 1 € [ , 1]的最小值不小于 g (x )在X 2€ [2, 3]的最小值，
2
即 5 > a+4,解得：a < 1,
故选：A .
【点评】 本题考查的知识是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象
和性质，是解答的关键.
* 1 _ -
：i:h -— 向右平移 —个单位，再将所得的函数图象上的
■-1
O
2倍，得到函数y=g (x )的图象，贝U 函数y=g (x )与：
——，-― ,
2. 3
【解答】解：当X 1€ [ , 1]时，由
2
(x ) =x+ 得,
f' (X )
7. ( 5分)(2010?聊城二模)将函数
各点纵坐标不变，横坐标变为原来的
点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，得到函数y=g (x )的图象，利用积分求函数y=g (x )与
，
厶
X 轴围成的图形面积为( A - B -
【分析】将函数：1
1呼
向右平移二个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各
C . D
.
【解答】解：将函数
向右平移丄—个单位，得到函数
■_：
i
3
-：.'-：；! .： : -
1
=sin （2x+n ） = - sin2x ,再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标
变为原来的2倍，得到函数y=g （ x ）= - sinx 的图象，则函数y= - sinx 与.，-
，•一 _，x 轴围成的图
2 a 3
IT
r
形面积：—l ：- 一］ +
° 产（—sinx ） d x = - cosx +cosx | 一 “ =
+1 =
2 2
故选B
【点评】 本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理 利用积分求面积是近年高考必考内容.
"x+y- 2逅
& （5分）（2015?天水校级模拟）已知不等式组 ，葢<2近
表示平面区域 Q,过区域Q 中的任意一个
.y<2V2
2 2 1 ■
点P ,作圆x +y =1的两条切线且切点分别为 A 、B ,当/ APB 最大时， ？ 的值为（ ）
A . 2
B .
C .
D . 3
2 2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当 a 最小时，P 的位置，利用向量的数量积
公式，即可得到结论.
【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使/ APB 最大， 则P 到圆心的距离最小即可， 由图象可知当 OP 垂直直线x+y — 2 =0, 此时 | OP| /口 =2, | OA | =1 ,
V2
设/ APB= a,贝U sin 卫-=丄，卫-=^- 2 2 2 6
【点评】本题主要考查线性规划的应用， 考查学生分析解决问题的能力， 利用数形结合是解决本题的关键.
此时cos a =,
2
?= =二.
故选：B
9. （ 5分）（2015?东阳市模拟）已知向量 I 满足：, | : 口］：二|「，贝U 在二上的
投影长度的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
—*
【分析】由|二 £ 仁_壮 w 12可求二！：的范围，进而可求
的范围，然后由
I a I 11> I
在二上的投影| cos B 可求 【解答】解：设向量
的夹角为0
T | | =13, 1 1 =1
: "1= “
「I 二二匸==1 1 二12
二——. --- T -:
T I]在上的投影 | | COS 0=COS 0 [ | ,亠，:., 故选D
【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关键是弄清楚基本概念.
2 2
10. （ 5分）（2014秋？湖南校级期末）已知双曲线 C 与椭圆 +
=1有相同的焦点F l 、F 2,点P 为双曲
线C 与椭圆的一个交点，且满足 |PF 1| =2| PF 2|，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A . y= ± M ~ x
B . y= ±
C . y= ± x
D . y= ± x 2
【分析】 通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可. 【解答】解：由椭圆定义可知：| PF 1|+| PF 2| =6,
又T | PRI =2| PF 2| ,••• 3| PF 2| =6，即 | PF 2| =2, 由双曲线定义可知：| PF 1| - | PF 2| =2a , 又T | PF 1| =2| PF 2| , • | PF 2| =2a ，即 a=1, 由已知，双曲线的焦半距 c=2,则b=, •双曲线的渐近线方程为： y= ± V 次, 故选：A .
【点评】 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题.
11. (5分)(2016?永州模拟)已知函数 y=f (x )是R 上的可导函数，当 x 丰0时，有 丨Li
则函数F ｛ -一'｛，■:丄的零点个数是( )
x
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
【分析】将函数- .「J '丄=0,转化为xf (x )=-,然后利用函数和导数之间的关系研究函数
g (x )
X
X
=xf (x )的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论. 【解答】解：由-、「|-一 ■- I - —=0，得 xf (x )=-,
Q a * b _ a* b
--_ u_
la | |b |
13
13
X X
设g (x) =xf (x),
则g ' (x) =f (x) +xf ' ( x),
••• X M 0 时，有I .. _丿-Q
K
••• xM 0 时，土」
X
即当x > 0时，g' (x) =f (x) +xf ( x)> 0,此时函数g (x)单调递增，
此时g (x)> g ( 0) =0,
当x v 0时，g' (x) =f (x) +xf (x )v 0，此时函数g ( x)单调递减，
此时g (x)> g ( 0) =0,
作出函数g(x)和函数y=-—的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数丄
X X 的零点个数为1个.
【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，禾U用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，禾U用数形结合是解决本题的关键.
12. (5分)(2016春?长沙校级月考)已知数列｛a n｝是等差数列，数列｛bj是等比数列，公比为q,数列｛ c n｝中，C n=a n b n,
Sn是数列｛c n｝的前n项和，若S m=7, S2m= - 201 (m为正偶数)，贝V S4m的值为( )
A. - 1601
B. - 1801
C. - 2001
D. - 2201
【分析】令A=S m, B=S2m- S m, C=S3m- S2m,结合等差数列和等比数列的特征得到： B - q"?A= ( a m+1- a1) b m+1+"+ (a2m - a m)b2m=md ( b m+1+"+b2m).
同理C - q m?B=md ( b2m+1+-+b2m) =md ( b m+1+-+b2m) ?q n,故C-q m?B=q m( B - q m?A )代值可得11 (q m) 2+8q m - 208=0 ,求得q m的值后，代入(S4m - S3m),从而求得S4m的值.
【解答】解：令A=S m, B=S2m—S m, C=S3m —S2m, 贝V q m?A= (a i b i+a2b2+"a m b m) q m=a i b m+i+・・+a m b2m・故B —q m?A= (a m+1 —a i) b m+i+" + (a2m —a m) b2m=md (b m+i+"+b2m),其中，d 是数列｛a n｝的公差，q 数列
｛b n｝的公比.
同理C —q m?B=md (b2m+i+"+b2m) =md ( b m+i+"+b2m) ?q n, 故C —q m?B=q m( B—q m?A)代值可得11 (q m) 2+8q m - 208=0, q m=4或q m=-亍(舍去，因m为正偶数)，
又S4m —S3m= ( a i b l+a2b2+"+a m b m) q3m+3md ( b m+l+"+b2m) =11 X 43+3 ( B —q m?A) X 42,
3 3
=11 X 43—3X 12X 43, =—1600.
故S4m=S3m —1600= —1801 .2m q
故选：B.
【点评】该题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关
公式是解题关键.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.
13. （5分）（2016?商丘二模）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种
数为24 .
【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可
【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲
乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个
空，排法种数为A32
则不同的排法种数为 2 X A22X A32=2 X 2X 6=24 故答案为：24.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是掌握并理解计数原理，计数时的一些技巧在解题时很有用，如本题中所用到的绑定，与插空，这些技巧都是针对某一类计数问题的，题后应注意总结一下，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧.
14. （5分）（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n,向量p= （m, n）,孑（3, 6）,贝U向量1?与可共线的概率为 _寺_.
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6 X 6种结果，满足条件事件
是向量共线，
根据向量共线的条件得到6m —3n=0即n=2m，列举出所有的结果数，得到概率.
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
•••试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6X 6=36种结果，
满足条件事件是向量i'.'= （m，n）与=（3，6）共线，
即6m —3n=0，
/• n=2m，
满足这种条件的有（1，2）（2，4）（3，6），共有3种结果，
•••向量与共线的概率P= ，
7 3G 12
故答案为：
12
【点评】 本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条 件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目.
15. （ 5分）（2016春？长沙校级月考）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为三角形的三棱柱，切去了一个三棱锥.该几何体 的体积等于三棱柱体积减去三棱锥的体积.
【解答】 解：由三视图可知，该几何体是一个底面为三角形的三棱柱，切去了一个三棱锥.该几何体的体 积
等于三棱柱体积减去三棱锥的体积.如图 三棱柱体积" 那么该几何体的体积为：
【点评】 本题考查了对三视图的认识和理解，解决本题的关键是得到该几何体的形状是如何而来的，才能 解决此题•属于中档题.
一 _
''
三棱锥的体积
故答案为：
(2)由正弦定理得到
16. ( 5分)(2016春？长沙校级月考)数列 ｛a n ｝中，已知a i =5, a 2=19, a 3=41，当n 》3时，3 (a n -a n -1) =a n+i — a n -2,贝V a io =
419 .
【分析】判断数列｛a n -a n -1｝是等差数列，求出通项公式，然后求解
a 10即可.
【解答】解：数列｛a n ｝中，已知 a 1=5, a 2=19, a 3=41，当 n >3 时，3 (a n - a n -1) =a n +1 - an -2, 可得：2 ( a n - a n -1) = ( a n +1 - a n ) + ( a n - 1 - a n -2), 所以数列｛an - a n -1｝是等差数列，d=a 3- a 2- a 2+a 1=8, a 2 - a 1=14,
a 3 - a 2=22, a n +1 - a n =8n+6, 累加可得 an=2n (2n+1) - 1, 又 a 1o =419 . 故答案为：419.
【点评】 本题考查等差数列通项公式的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力. 三、解答题：本大题共 5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. (12分)(2015?衡水四模)在厶 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,函数f (x ) =2cosxsin (x - A ) +sinA (x € R )在x=
处取得最大值.
12
(1) 当：.匕匸.厶_］时，求函数f ( X )的值域；
2
(2) 若 a=7 且 sinB+sinC=门；:，求△ ABC 的面积. 14
(1)由于A 为三角形内角，可得 A 的值，再由x 的范围可得函数的值域; (2)由正弦定理求得 b+c=13，再由余弦定理求得
bc 的值，由△ ABC 的面积等于—I ，--,算出即可.
2
【解答】解：T 函数 f (x ) =2cosxsin (x - A ) +sinA =2cosxs in xcosA — 2cosxcosxsi nA+si nA =sin2xcosA — cos2xsinA=sin (2x — A )
R1T
又 T •函数 f (x ) =2cosxsin ( x - A ) +sinA (x € R )在
处取得最大值.
12
，其中 k € z ,
即
，其中k € z
•J 1
(1)T A
€(0, n)」A =
•— = ••• 2x - A 【二• 丁;
，贝U sinB+sinC= '' sinA ,
sinA sinB+sinC
a
13页
【分析】禾U 用三角函数的恒等变换化简函数 f (x )的解析式为
sin (2x - A )，由于函数在
处取得最
大值.令 「:十 一丁.丁、一=，其中
k €乙解得A 的值,
sin
，即函数f ( x )的值域为:
5兀
即
，••• b+c=13
14 ~ 7
2
2 2 2 2
由余弦定理得到 a =b +c - 2bccosA= (b+c ) - 2bc - 2bccosA
即 49=169 - 3bc ,「. bc=40 故^ ABC 的面积为：S=［「—J 』.
. (1) 求 □和；的值(用样本书序期望、方差代替总数数学期望、方差) ; (2)
如果这个军区有新
兵 10000名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间 (7.9, 8.8］上的人
数.
【分析】(1)由题意得随机抽取的
100个成绩的分布列，由此求出
E (X ), D ( X ),由此能求出 卩，轧.
(2)由(1) 知 X 〜N ( 7, 0.8),从而 P( 7.9V X < 8.8)=丄［P ( 5.2v X < 8.8) - P( 6.1 < X < 7.9) ］ =0.1359.由
2
此能求出这个军区新兵 50m 步枪射击个人平均成绩在区间(7.9.8.8］上的人数. 【解答】 解：(1)由题意得随机抽取的 100个成绩的分布列为： • E X =4 0.01+50.02+60.26+7 0.40+80.29+90.02=72 2 2 2 2
D ( X ) = (4 - 7) X 0.01+ ( 5 - 7)
X 0.02+
(6 - 7) X 0.26+ ( 7 - 7) X 0.40+ (8 - 7) X 0.29+ ( 9 - 7)
2
X 0.02=0.8.
•••样本成绩是随机得到的， •由样本估算总体得：
尸E (X ) =7, 2=D (X ) =0.8 .
(2)由(1) 知 X 〜N ( 7, 0.8),
0.9,.'. 2=0.9,
• P ( 7.9<X < 8.8) = [ P ( 5.2< X < 8.8)- P (6.1< X < 7.9)]
2
='J.. . ■.：：_< '
=0.1359.
•这个军区新兵 50m 步枪射击个人平均成绩在区间(7.9.8.8]上的人数约为： 10000 X 0.1359=1359.
【点评】 本题考查总体数学期望、方差的求法，考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题， 注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用. 19. ( 12分)(2015?山东)如图，在三棱台
DEF - ABC 中，AB=2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点.
(I)求证：BD //平面FGH ;
(H)若 CF 丄平面 ABC , AB 丄BC , CF=DE ，/ BAC=45 °求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)
18.( 12分)(2016春？长沙校级月考)某军区新兵 50m 步枪射击个人平均成绩 X (单位：环)服从正态分 布N (卩，2),从这些个人平均成绩中随机抽取，得到如下频率分布表：
的大小.
D
【分析】（I）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE // HF，便有BE //平面FGH，再证明DE //平面FGH，从而得到平面BDE //平面FGH，从而BD //平面FGH ; （H）连接HE,根据条件能够说明HC, HG, HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x, y, z轴，
建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明］上：为平面ACFD的一条法向量，设平面
FGH的法向量为；二（葢，y, z）,根据* <■兰一°即可求出法向量7,设平面FGH与平面ACFD所成的角
t
n-HG=O
为0,根据cos9=|C g<U，丽>|即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.
【解答】解：（I）证明：根据已知条件，DF // AC , EF // BC , DE // AB ;
△ DEFABC，又AB=2DE ,
••• BC=2EF=2BH ,
•••四边形EFHB为平行四边形；
•BE // HF , HF?平面FGH , BE?平面FGH ;
•BE //平面FGH ;
同样，因为GH ABC中位线，• GH // AB ;
又DE //
AB ;
• DE //
GH ;
• DE //平面FGH
,
DE ABE=E;
•平面BDE//平
面FGH , BD?平面BDE ;
• BD //平面FGH ;
（n）连接HE ,
贝U
HE // CF;
•/ CF丄平面ABC ;
• HE丄平面ABC
, 并且HG丄HC ;
• HC, HG , HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1 ,
H ( 0, 0, 0), G ( 0 , 1 , 0), F (1 , 0 , 1), B (- 1 , 0 , 0); 连接BG,根据已知条件BA=BC , G为AC中点；• BG丄AC;
又CF丄平面ABC , BG?平面ABC ;
••• BG 丄 CF , AC n CF=C ; ••• BG 丄平面 ACFD ; •向量 门；：•
-
「J ：为平面ACFD 的法向量;
设平面FGH 的法向量为弋,则:
设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为 B,则：cos 9=| cos •匕丨=一 ；
V2*V2 2
•平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°
【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线 面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法 向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义.
20. (12分)(2016春？长沙校级月考)已知离心率为丄一的椭圆
的右焦点F 是圆(x
2 2
-1) +y =1的圆心，过椭圆上的动点 P 作圆两条切线分别交 y 轴于M , N (与P 点不重合)两点. (1) 求椭圆方程；
(2) 求线段MN 长的最大值，并求此时点 P 的坐标.
【分析】(1)根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得 a ,最后根据a ,
b 和
c 的关系求得b ,则椭圆方程可得；
(2) P (x o , y o ), M (0, m ) , N
(0 , n ),把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断 X 0
的范围，把直线 PM 的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线
PM 和PN 的距离.求得X 0
和y 0的关系式，进而求得 m+n 和mn 的表达式，进而求得| MN | .把点P 代入椭圆方程根据弦长公式求得 MN | .记f (x ) =2 -
，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数
f (x )的值域，进
(X _ 2 ) £
而求得当 勺=-l ：l ,时，| MN |取得最大值，进而求得 y o ,则P 点坐标可得.
2 2
【解答】 解：由圆(x - 1) +y =1的圆心坐标为：(1, 0), • c=1,
由e=—=丄一，即a= ,
a 2
,2 2 2
…b =a - c =1,
亍色二出丸，取z=i ,
n ・ HG=y=O
则:
- n _：；
•••椭圆方程；
(2)设P (x o , y0) , M (0 , m), N (0 , n),
记 f (x ) =2 ----------- :
― ，贝y f' (x )=——-——
仗-2) 2 (x - 2) 3
• x €(- , o )时， f ( x )v o ; x €( o , 2-
)时， f ( x )v o , • f ( x )在(-
, o )上单调递减，在( o , 2-
)内也是单调递减, 显然，由f (x )的单调性可知：f (x ) max =2
,
/•I MN 丨 max =2*j j
此时x o = - J —
故P 点坐标为(-“』；,o ),为椭圆左顶点.
【点评】本题考查椭圆的标准方程， 考查直线与椭圆的位置关系，
考查了椭圆的标准方程、 简单几何性质、
一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题.
2
21. (12分)(2oi6春？长沙校级月考)已知函数 f (x ) =e 2 (In x+a - 1) (e=2.71828…为自然对数的底数在 定义域上单调递增.
(1) 求实数a 的取值范围；
-
9
由* 2十丫 1 ，解得：x=2-近，x=2+逅(舍去)， 〔& - 1 )5/二 1 • x o = (-
, o )U( o , 2- ),
y n _ m
直线 PM 的方程为：y - m=
x ，即(y o - m ) x - x o y+mx o =o , X
O
7^o
■'■( X O _
2) m +2y o m - x o =O
2
(x o - 2) n +2y o n • m 和 n 是方程： ( x o - 2) t
-x o =O ,
2
+2y o t - x o =O 的两个根,
• m+n= —
2y 0
mn=—
— x 0
/•I MN 丨=丨 m - n
(2)当实数a取最小值时，设，证明：
ex
343 343
25页
【分析】(1)先求导函数，再构造函数 Inx+a - 1+ ，则y min >0，再求导，根据导数和函数最
值的关系即 可求出；
(2)①先求导，再构造函数 h (x ) =e x (ex - 2) +ex 2，根据导数和函数单调性的关系得到故存在唯一 > 0,使h (X 。

)=0，再求出端点值，即可证明， ②令F (x ) =lnx + , G (x ) =e %，根据导数和函数单调性的关系得到
lnx+ -
ex
ei
利用放缩法即可证明
【解答】解：(1 )T f (x ) =e 2 (Inx+a - 1), ••• f' (x ) =e 2 (Inx+a - 1+
) > 0，对 x >0 恒成立，
「•In x+a - 1+ > 0,对 x > 0 恒成立, 令 y=lnx +a - 1+丄，贝U y min > 0,
，当 O v x v 1 时，y'v 0,
又 h( )=
( - 2+
)=^^< 0,h( )=e (
-
2)+ e=e
y 104：^/e +196e - 686
二 一
nJ - 2=
>
故 g (x )> mi n{y|y=g (x )，x € [寺，罰
X 0
X >F ( )- G ()，
当x > 1时,
y '> 0,故 (2)①由
(1)可知, y min =a > 0,
9
g (x ) =lnx +
ex
-x “
e - 1,
_1 _ 2
=-
— z
ex x / - +e x ，_■ 2 丫 - ■-['八、
,x >0,
2 K
e x ・已 =e x
(ex - 2) +ex 2, =e x
( ex+e - 2) +2ex > 0,
+R )上单调递增，
又 h (0) = - 2, h ()=,
e e 故存在唯一 X 0>0,使h (X 。

)=0,
故g (x )在(0, X 0)上递减，在(X 0, +s)上递增,
h (x ) h ' (x ) 二 h ( x )在(0, 3
+ )，
■/ e x > 1+x ,
\_ 1 _J_
- = ? >
4
4 (1-)=，
3
.4e 2+16 〒>4E + L6 * 13 7 49 7 19 14 343
F (乂)在(0,)上递减，又 v 三
3 7 e
故F (x )在［,］上递减，又 G (x )在［,］上也递减，故当 x € ［,］时,
2 7
2 7
2 7
1
-x -
lnx+ - e > F
()
-G (丄
=ln_+
- e = = -e
-ln ,
ex 7
2 7 2e 2e
4
■/ In —=ln7 - ln4=
dx ,
4
」
％
又当x € ［丄，］时，—W ——-
2
7 x 28
dx v - 1
---- -- dx=
」4工 」4 28
56
故-e - In -
>
---=
2e 4 56 2e Ve 56 56 49X 14X L 7- 9X 2. 72 o 12
-------------------------------------- = ------- > 0,
14e 14e
再由①可知g (x ) +1 >——对一切正数x 成立
56
【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，以及恒成立的问题，采用放缩法和构造法是关键, 计算量很大，属于难题.
请考生在第(22)、(23) (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.
【选修4-1:几何证明选讲】
22. ( 10分)(2015?新课标II )如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O O 与厶ABC 的底边BC 交于M , N 两点，与底边上的高 AD 交于点G ,且与AB , AC 分别相切于E , F 两点. (1) 证明：EF // BC ;
(2)
若AG 等于O O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积.
【分析】(1)通过AD 是/ CAB 的角平分线及圆 O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ,利用相似的性质即得 结论； (2)通过(1 )知AD 是EF 的垂直平分线，连结 OE 、OM ，贝U OE 丄AE ，利用S A ABC - S ^AEF 计算即可. 【解答】
(1)证明：•••△ ABC 为等腰三角形，AD 丄BC ,
••• AD 是/ CAB 的角平分线，
又•••圆O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ,
9
②令 F (x ) =lnx+ , ex
G (x ) =e
_x
••• AE=AF ,••• AD 丄 EF , ••• EF // BC ;
（2）解：由（1 ）知AE=AF , AD 丄EF,• AD 是EF 的垂直平分线, 又••• EF 为圆0的弦，• O 在AD 上， 连结OE 、OM ，贝U OE 丄AE ， 由AG 等于圆O 的半径可得 AO=2OE ,
•••/ OAE=30 ° •△ ABC 与厶AEF 都是等边三角形, •/ AE=2 ,• AO=4 , OE=2 , •/ OM=OE=2 , DM=—MN=
, • OD=1 , • AD=5 , AB=」
3
•四边形EBCF 的面积为丄• | —L_X
2 ' 3
」
2 2
【点评】 本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中 档题.
【选修
4-4 :坐标系与参数方程】
（I ）写出O C 的直角坐标方程；
（n ） P 为直线I 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标.
2— 2 2
卩％ +y 代入即可得出； y= p sin0
（11）设P 丄.• 一；.，又利用两点之间的距离公式可得 |PCI = ，再利用二次
函数的性质即可得出.
【解答】 解：（I ）由O C 的极坐标方程为 p =2 sin 0.
••• p =2
：】门■'，化为 x 2+y 2= ,
配方为• / ■（V - .： r -=3. (II )设 P
:丄-一—又C
.
•••|PC ]上亍；W 八r =
-2，
因此当t=0时，I PCI 取得最小值2 .此时P (3, 0). 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、 参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,
考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
{
（2V3）2
23. （ 2015?陕西）在直角坐标系
xOy 中，直线I 的参数方程为1
C 的极坐标方程为尸2
sin 0.
（t 为参数），以原点为极点,
【选修4-5 :不等式选讲】
24. ( 2014?新课标I)若a>0, b>0，且一+丄= .
a b
(I)求a3+b3的最小值；
(H)是否存在a, b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【分析】(I)由条件利用基本不等式求得ab> 2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值. (H)根据ab>4及基本不等式求的2a+3b>8，从而可得不存在a, b,使得2a+3b=6.
【解答】解：(I)：a>0, b> 0,且亠+ = 出
a b
•••= + > 2 '亠，••• ab> 2,
a b V ab
当且仅当a=b= 时取等号.
••• a3+b3> 2J「_] 2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，
• a3+b3的最小值为4
(n)T 2a+3b>2乙二.让=2 ，当且仅当2a=3b时，取等号.
而由(1)可知，2*忘> 2 =4 > 6,
故不存在a, b，使得2a+3b=6成立.
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题.
2016年11月5 日。