高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步学案
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 算法的框图及结构
1．算法
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限
的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之
内完成．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表
示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算
法进行的顺序将程序框连接起来．
3．三种基本逻辑结构
考点2 算法语句的格式及框图
1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
2．条件语句的格式及框图
(1)IF－THEN格式
(2)IF－THEN－ELSE格式
3．循环语句的格式及框图
(1)UNTIL语句
(2)WHILE语句
[必会结论]
1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入
框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入
“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后
判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题
时是不同的，它们恰好相反．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和
循环结构．( )
(3)算法可以无限操作下去. ( )
(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效
的. ( )
(5)▱是赋值框，有计算功能．( )
(6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行，直到条
件成立为止. ( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×2．[2017·北京高考]执行如图所示的程序框图，输出的s值为
( )
A．2 B. C. D.8
5
答案C
解析开始：k＝0，s＝1；
第一次循环：k＝1，s＝2；
第二次循环：k＝2，s＝；
第三次循环：k＝3，s＝，此时不满足循环条件，输出s，
故输出的s值为.故选C. 3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右
图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝
2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
B．12
A．7
D．34
C．17
答案C
解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝
2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输
出s＝17.故选C. 4．[2017·山东高考]执行如图所示的程序框图，当输入的x的值
为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x>3?
B．x>4?
C．x≤4?
D．x≤5?
答案B
解析输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若
不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4？.
故选B. 5．[2018·乐山模拟]一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，
则输入的x可能为( )
A．－1
B．1
C．1或5
D．－1或1
答案B
解析这是一个用条件分支结构设计的算法，
该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y＝的函数值，输
出的结果为，当x≤2时，sin＝，解得x＝1＋12k，或x＝5＋12k，k∈Z，
即x＝1，－7，－11，…
当x>2时，2x＝，解得x＝－1(不符，舍去)，
则输入的x可能为1.故选B.
板块二典例探究·考向突破
考向算法的基本结构
例 1 [2017·全国卷Ⅲ]执行如图所示的程序框图，为使输出
S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案D
解析假设N＝2，程序执行过程如下：
t＝1，M＝100，S＝0，
1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，
2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，
3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．
∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.
触类旁通
利用循环结构表示算法应注意的问题
(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；
(2)注意选择准确地表示累计的变量；
(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．【变式训练1】[2018·河南百校联盟]《九章算术》是中国古
代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出
的m的值为35，则输入的a的值为( )
B．5
A．4
D．11
C．7
答案A
解析起始阶段有m＝2a－3，i＝1，
第一次循环，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；
第二次循环，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；
第三次循环，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4；
接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循环，
输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.
考向算法的交汇性问题
命题角度
与函数的交汇问题
1
例 2 [2018·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，如果输入
的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
答案A
解析当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，
s＝4t－t2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递
减．∴s∈[3,4]．
综上知s∈[－3,4]．故选A.
命题角度
2
与数列求和的交汇问题例 3 执行如图所示的程序框图，则输出的k＝( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案C
解析由程序框图可知，当k＝1时，s＝，当k＝2时，s＝＋，
当k＝n时，s＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，由1－≥⇒n≥9，即当k
＝9时，s＝.故选C.
命题角度
与统计的交汇问题
3
例 4 在2017～2018赛季NBA季后赛中，当一个球队进行完7
场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统
计，如下表：
如图所示(其中是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．解由题知＝(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算
法流程图可知s＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝＝.
触类旁通
解决算法的交汇性问题的方法
循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命
题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条
件与流程线的对应关系．
考向基本算法语句
例 5 [2018·南京模拟]执行下边的程序，输出的结果是
________．
答案11
解析根据循环结构可得：
第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：
S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945>200，则循环结束，故此时i＝11.
触类旁通
基本算法语句应用中需注意的问题
(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A＝B和B＝A的含义及
运行结果是不同的；
(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，
在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先
赋给确定的值；
(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝N＋
1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1
再赋给变量N，这样原来的值被“冲”掉．【变式训练2】[2018·龙岩质检]如图所示的程序，若最终输
出的结果为，则在程序中横线____？____处应填入的语句为( )
A．i>＝8 B．i>＝7 C．i<7 D．i<8
答案B
解析S＝0，n＝2，i＝1，执行S＝，n＝4，i＝2；S＝＋＝，n
＝8，i＝3；S＝＋＝，n＝16，i＝4；S＝＋＝，n＝32，i＝5；S＝＋＝，n＝64，i＝6；S＝＋＝，n＝128，i＝7.此时满足条件输出的S＝，
∴“？”处应填上i>＝7.故选B.
核心规律
1．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不
需要分情况讨论，则只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论，则必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行多次重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律，则必须引入变量，
应用循环结构．2．利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还
是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
满分策略
1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条
件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结
构，用于确定何时终止循环体．3．赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值
赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.
板块三启智培优·破译高考
规范答题系列5——解决程序框图问题的答题模板[2017·全国卷Ⅱ]执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－
1，则输出的S＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解题视点按部就班法是按照所给程序框图流程线的指向，逐个
程序框运行，逐步进行运算，逐步检验，直至满足输出的条件，即可求得输出结果的方法．此种方法适用于处理运算次数不是很多的条件
分支结构以及循环结构的程序框图．解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1
后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝
4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝
6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出
S＝3.结束循环．故选B.
答案B
[答题模板]
跟踪训练
[2017·天津高考]阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输
入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案C
解析第一次循环执行条件语句，此时N＝24,24能被3整除，则
N＝24÷3＝8.∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N＝8,8
不能被3整除，则N＝8－1＝7.∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N＝7,7
不能被3整除，则N＝7－1＝6.∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N＝6,6
能被3整除，则N＝6÷3＝2.
∵2≤3成立，∴此时输出N＝2.故选C.
板块四模拟演练·提能增分
[A级基础达标]
1．[2018·沈阳调研]要计算1＋＋＋…＋的结果，下面程序框图
中的判断框内可以填( )
B．n≤2018?
A．n<2018?
D．n≥2018?
C．n>2018?
答案B
解析题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量
初始值为0，计数变量初始值为1，要求S＝0＋1＋＋＋…＋的值，共
需要计算2018次．故选B. 2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于( )
A．21 B．22 C．23 D．24
答案C
解析当n＝21时，21被3整除，执行否．
当n＝22时，22除以3余1，执行否；
当n＝23时，23除以3余2，执行是；
又23除以5余3，执行是，输出的n＝23.故选C. 3．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足3n－
2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
( )
B．A>1000？和n＝n＋2
A．A>1000？和n＝n＋1
C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2
答案D
解析因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”，
所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选
D.
4．[2018·汕头模拟]若执行如图所示的程序框图，输出S的值为
3，则判断框中应填入的条件是( )
A．k<6? B．k<7? C．k<8? D．k<9?
答案C
解析根据程序框图，运行结果如下：
第一次循环：S＝log23，k＝3；
第二次循环：S＝log23·log34，k＝4；
第三次循环：S＝log23·log34·log45，k＝5；
第四次循环：S＝log23·log34·log45·log56，k＝6；
第五次循环：S＝log23·log34·log45·log56·log67，k＝7；
第六次循环：S＝log23·log34·log45·log56·log67·log78
＝log28＝3，k＝8，故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的
条件是k<8.故选C. 5．[2018·汉中模拟]给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则x的可能值的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案C
解析分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分
段函数y＝的值，
又∵输入的x值与输出的y值相等，
当x≤2时，x＝x2，解得x＝0，或x＝1，
当2<x≤5时，x＝2x－3，解得x＝3，
当x>5时，x＝，解得x＝±1(舍去)，
故满足条件的x值共有3个．故选C. 6．已知[x]表示不超过x的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]
＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的
值为( )
A．1.2 B．0.6 C．0.4 D．－0.4
答案D 解析输入x＝2.4，则y＝2.4，x＝[2.4]－1＝1>0，
∴x＝＝1.2；y＝1.2，x＝[1.2]－1＝0，∴x＝＝0.6；y＝0.6，x＝[0.6]－1＝－1<0，则z＝x＋y＝－1＋0.6＝－0.4.故选D. 7．[2018·湖南模拟]给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这
30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判
断框①处和执行框②处应分别填入( )
A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤31？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
答案D
解析由于要计算30个数的和，
故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终
值应为30，即①中应填写i≤30；
又由第1个数是1，
第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；
第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；
第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；
……
故②中应填写p＝p＋i.故选D. 8．[2017·江苏高考]下图是一个算法流程图．若输入x的值为，
则输出y的值是________．
答案－2
解析输入x＝，≥1不成立，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2.输
出y的值为－2. 9．[2018·黄冈模拟]随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，
测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．
答案i<5？(或i≤4？)
解析由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？或i≤4？. 10．已知a，b，c为集合A＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过
如图所示的算法框图给出一个算法，输出一个整数a，则输出的数a＝
5的概率是________．
答案3
5
解析由算法知输出的a是a，b，c中最大的一个，若输出的数
为5，则这三个数中必须要有5，从集合A＝{1,2,3,4,5}中选三个不同的数共有10种取法：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，满足条
件的有6种，所求概率为.
[B级知能提升]
1．[2017·山东高考]执行两次下图所示的程序框图，若第一次输
入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的
a的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0
答案D
解析当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.
又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.
当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.
又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.
∴输出a＝0.故选D. 2．[2018·湖南模拟]执行如图所示的程序框图，输出S的值为
时，k是( )
A．5 B．3 C．4 D．2
答案A 解析模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：
k＝2，k＝3，k＝4，k＝5，大于4，可得S＝sin＝，输出S的值
为.故选A. 3．[2018·西城期末]如图所示的程序框图运行后输出结果为，则
输入的x值为( )
A．－1 B. C. D．－1或2
2
答案D
解析分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的
顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出分段函数y＝x，0<x<\f(1,4)，,x2，x≥\f(1,4)))的函数值．
当x≤0时，若y＝2x＝，则x＝－1，
当0<x<时，若y＝logx＝，则x＝∉，舍去，
当x≥时，若y＝x2＝，则x＝－(舍)或x＝，
输入的x值为－1或.故选D.
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝________.
答案3
2
解析由程序框图得S＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin
＋…＋sin.由正弦函数的周期性，得S＝sin＝. 5．[2018·陕西模拟]执行如图的程序框图，如果输入的x，y∈R，
求输出的S的最大值．
解由程序框图可知，若输入的x，y满足约束条件则输出目标函
数S＝2x＋y的值，否则，输出S＝1.如图，作出满足条件的可行域．当x＝1，y＝0时，目标函数S＝2x＋y取得最大值2,2>1，故输出的S的
最大值为2.。