2018年湖南省邵阳市中考数学学业冲刺试卷(二)解析版

2018年湖南省邵阳市中考数学学业冲刺试卷（二）
一、选择題（本大题有10个小題，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝75°，则∠3等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．（3分）下列等式成立的是（）
A．a2•a5＝a10B．C．（﹣a3）6＝a18D．
4．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）
A．36°B．60°C．72°D．108°
7．（3分）如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm，则弦AB 的长为（）
A．2 cm B．3 cm C．4D．4 cm
8．（3分）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（）
A．14，15B．14，14.5C．15，15D．15，14
9．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC 的长为（）
A．6sin50°B．6cos50°C．D．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分
11．（3分）分解因式：5x3﹣10x2+5x＝．
12．（3分）把0.000102写成科学记数法，为
13．（3分）如图所示，A为反比例函数y＝上的一点，若AB⊥x轴于B点，且△AOB的面积为2，则反比例函数的解析式为．
14．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
16．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题，每小题8分，第26题10分，共66分
19．（8分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD ＝3，BD＝6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝．
22．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：
（1）m＝，并将图（1）补充完整；
（2）竞选的最后一个程序是由本校的300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人的得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；
①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定最后成绩，请计算学生A
的最后成绩；
②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一
男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
23．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分
别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
25．（8分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝2，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒
个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
2018年湖南省邵阳市中考数学学业冲刺试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择題（本大题有10个小題，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
2．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝75°，则∠3等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠4＝∠2，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠4＝∠2＝75°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠4＝180°﹣35°﹣75°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3．（3分）下列等式成立的是（）
A．a2•a5＝a10B．C．（﹣a3）6＝a18D．
【分析】利用同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义即可作出判断．【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、当a＝b＝1时，≠+，故选项错误；
C、正确；
D、当a＜0时，＝﹣a，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义，理解算术平方根的定义是关键．
4．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．【解答】解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；
B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．
5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，b＝1＞0，判断出函数图象经过的象
限，即可判断出一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b 的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
6．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD 的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．7．（3分）如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm，则弦AB 的长为（）
A．2 cm B．3 cm C．4D．4 cm
【分析】首先由垂径定理可知：AE＝BE，然后再在Rt△AOE中，由等腰三角形的知识可求得AE＝OE＝2cm，从而可求得弦AB的长．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
在Rt△AOE中，∠OAB＝45°，
∴△AEO是等腰三角形，
∴AE＝OE＝2cm．
∴AB＝2AE＝2×2＝4cm．
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握垂直弦的直径平分这条弦定理的应用是解此题的关键．
8．（3分）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（）
A．14，15B．14，14.5C．15，15D．15，14
【分析】根据众数与中位数的意义分别进行解答即可．
【解答】解：15出现了6次，出现的次数最多，则众数是15，
把这组数据从小到大排列，最中间的数是15；
故选：C．
【点评】本题考查了众数与中位数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】开始一段的弹簧秤的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧秤的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．
【解答】解：根据铁块的一点过程可知，弹簧秤的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧秤的读数变化情况得出函数的图象．
10．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC 的长为（）
A．6sin50°B．6cos50°C．D．
【分析】根据余弦定义：cos50°＝可得AC的长为＝．
【解答】解：∵BC＝6米，∠ACB＝50°，
∴拉线AC的长为＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握余弦定义．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分
11．（3分）分解因式：5x3﹣10x2+5x＝5x（x﹣1）2．
【分析】先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：5x3﹣10x2+5x
＝5x（x2﹣2x+1）
＝5x（x﹣1）2．
故答案为：5x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．（3分）把0.000102写成科学记数法，为 1.02×10﹣4
【分析】根据科学记数法﹣表示较小的数的方法解答．
【解答】解：0.000102＝1.02×10﹣4，
故答案为：1.02×10﹣4．
【点评】本题考查的是科学记数法﹣表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）如图所示，A为反比例函数y＝上的一点，若AB⊥x轴于B点，且△AOB的
面积为2，则反比例函数的解析式为y＝﹣．
【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可得到k 的值．
【解答】解：依题意得：△AOB 的面积＝|k |＝2 ∴k ＝±4， ∵在二四象限， ∴k ＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y ＝﹣，
故答案为y ＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即
过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，三角形的面积是|k |．
14．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4
．以A 为圆心，
AC 长为半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π ．（结果保留π）
【分析】根据等腰直角三角形性质求出∠A 度数，解直角三角形求出AC 和BC ，分别求出△ACB 的面积和扇形ACD 的面积即可．
【解答】解：∵△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴∠A ＝∠B ＝45°，
∵AB ＝4
，
∴AC ＝BC ＝AB ×sin45°＝4，
∴S △ACB ＝
＝
＝8，S 扇形ACD ＝
＝2π，
∴图中阴影部分的面积是8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用，解此题的关键是能求出△ACB和扇形ACD的面积，难度适中．
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
16．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则
斜坡AB的长为6m．
【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AC＝12m，BC＝6m，
然后利用勾股定理求出AB的长度．
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，AC＝12m，
∴BC＝6m，
则AB＝＝＝（m）．
故答案为：6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m ＜﹣4．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，得出△＝16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝16﹣4（﹣m）＜0，
∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到
第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，然后判定出△ACD 是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边
长，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD＝DB＝AB＝AC＝a，
第二个等边三角形的边长EF＝DB＝a，
…
第n个等边三角形的边长为a，
所以，第n个三角形的面积＝×a×（•a）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半，求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题，每小题8分，第26题10分，共66分
19．（8分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝5+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD ＝3，BD＝6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
【分析】（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，对顶角∠DFE＝∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；
（2）在Rt△ABD中，根据AD＝3，BD＝6，可得出∠ABD＝30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE＝30°，继而可求得∠EBC的度数．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，
在△DEF和△BCF中，
，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝3，BD＝6，
∴∠ABD＝30°，
由折叠的性质可得；∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣30°＝30°．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷﹣
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝＝＝＝＝
．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：
（1）m＝90，并将图（1）补充完整；
（2）竞选的最后一个程序是由本校的300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人的得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；
①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定最后成绩，请计算学生A
的最后成绩；
②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一
男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【分析】（1）通过条形统计图可得m的值，然后补全条形统计图；
（2）用300乘以35%得到学生A的得票分数，然后把笔试、口试、得票三项分别乘以
0.4、0.3、0.3可得到它们的总分；
（3）画树状展示所有6种等可能的结果数，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）m＝90，
如图，
故答案为90；
（2）①学生A的最后成绩＝85×0.4+90×0.3+300×35%×0.3＝92.5（分）；
②画树状图：
共有6种等可能的结果数，其中一男一女的结果数为4，
所以恰好选中一男一女的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
23．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月
份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6＝1≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
【分析】（1）连接AC，由题意得＝＝，∠DAC＝∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE＝90°，即可证得结论；
（2）四边形AOCD为菱形．由＝，则∠DCA＝∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA＝OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
【解答】解：（1）连接AC，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴＝＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠OCE+∠E＝180°，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）四边形AOCD为菱形．
理由是：
∵＝，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴平行四边形AOCD是菱形．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容．
25．（8分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝2，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；
（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在R t△ADE中，AD＝2AE，根据三角形
的中位线的性质得到AD＝2FM，于是得到FM＝AE，由∠CAE＝∠CAB＝30°∠CMF ＝∠AMF﹣AMC＝30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
∵AD⊥AB，∠CAB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AH＝AC＝，
∴AD＝＝2，
∴BD＝＝2；
（2）如图1，连接AF，
∵AE是∠BAC角平分线，
∴∠HAE＝30°，
∴∠ADE＝∠DAH＝30°，
在△DAE与△ADH中，
，
∴△DAE≌△ADH，
∴DH＝AE，
∵点F是BD的中点，
∴DF＝AF，
∵∠EAF＝∠EAB﹣∠FAB＝30°﹣∠FAB
∠FDH＝∠FDA﹣∠HDA＝∠FDA﹣60°＝（90°﹣∠FBA）﹣60°＝30°﹣∠FBA，∴∠EAF＝∠FDH，
在△DHF与△AEF中，
，
∴△DHF≌△AEF，
∴HF＝EF；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，
∵F、M分别是BD、AB的中点，
∴FM∥AD，即FM⊥AB．
在R t△ADE中，AD＝2AE，
∵DF＝BF，AM＝BM，
∴AD＝2FM，
∴FM＝AE，
∵∠ABC＝30°，
∴AC＝CM＝AB＝AM，
∵∠CAE＝∠CAB＝30°∠CMF＝∠AMF﹣∠AMC＝30°，
在△ACE与△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒
个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y＝﹣x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB＝∠CBA，全等只要当或时，△PBC
∽△ABD，解方程组得D（4，﹣5），求出AD＝，AB＝4，BC＝，
设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x＝﹣4.5即可得到或P（﹣
4.5，0）；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF＝45°，于
是得到，求得BF＝，BD＝，求得
，由于DM＝，DN＝，于是得到
＝＝＝
，即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意知：，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y＝﹣x+b，
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1；
（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB＝∠CBA，
∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，
解得D（4，﹣5），
∴AD＝，AB＝4，BC＝，
设P的坐标为（x，0），
即或，
解得或x＝﹣4.5，
∴或P（﹣4.5，0），
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF＝45°，
∴，
∴BF＝，BD＝，
∴，
∵DM＝，DN＝，
又∵，NE＝，
∴＝＝＝
，
的最大值为．
∴当时，S
△MDN
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。