石油工程与装备课件 第六章 石油机械中厚壁筒强度计算
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第六章 石油机械中厚壁筒强度计算
第一节 厚壁筒概念
（外径/内径） K ≥1.2 称厚壁筒。 套管 D/t<10（外径/壁厚）为厚壁管。 厚壁与薄壁筒强度算法不同。 一、 石油机械中厚壁筒构件
厚壁筒
1. 承受内压：钻井泵泵头和缸套、防喷器外壳、油缸。 2. 承受外压：绞车滚筒（受钢丝绳外挤压力）。 3. 承受内外压：厚壁套管、钻杆、钻铤。 二、破坏形式 厚壁筒破坏形式为：强度破坏。 破坏原因是：筒内应力达到或超过材料允许的屈服极限 S 。
Lame公式
当 p0 0
Ri2 pi Ro2 r 2 (1 2 ) 2 Ro Ri r 2 2 Ri pi Ro 2 (1 2 ) 2 Ro Ri r
（21）
Ro 令， K （18）、（21）有： Ri
pi Ro2 r 2 (1 2 ) K 1 r pi Ro2 2 (1 2 ) K 1 r p Z 2 i K 1
（单位长度应力概念）
（2）
此式为（
r
， 平面）：
平面问题，对称轴应力平衡方程。 该方程含两个未知数，为静不定。 （无法求 r ， ）
三、变形几何方程（应变与位移关系）
筒受力变形后，单元体A B C D位移 (变形) →A’ B’ C’ D’ （微元体有径向位移，周向位移为0。）（图(c)）。 1. 径向应变：（应变＝变形（位移）增量/原长）
【dr 长度上径向位移（变形）增量】
du (u dr) u du dr r （3） dr dr
【D（C）点位移为u，A（B）点 du u dr 】 位移 径向变 dr 形图
2. 周向应变：
（径向位移引起弧长变化，以内径弧长变化计 算周向应变。）
（径向位移后弧长） （径向位移前弧长）
ur
n
（径向位移函数式）
d 2u n(n 1)r n 2 dr2
由（9）式有：
du n r n 1 dr
d 2 u 1 du u 2 0 2 dr r dr r
n(n 1)r
n 2
n n 1 r r 2 0 r r
nrn 2
n
r
n 2
径向位移微 分方程
径向变 形图
( r u ) d rd u （4） rd r
（原弧长）
（4）式是由于径向位移产生周向应变。
（3）,（4）为厚壁筒的变形几何方程 （位移与应变关系）。
3. 轴向应变 假定圆筒较长，垂直圆柱的截面，在变形前、后都为
平面。
Z 常数（常数值将在以后确定）
' Z 2 i
1 Z E
（19）
泊松比定律 泊松定律（拉伸时横向缩短，压缩时横向增大, ' 与
符号相反。）
（3） Z 引起径向位移
u
u r
'
周向应变 ）：
由（4）式知（
u' r'
Ri2 pi
E R R
2 o 2 i
1 Ri2 pi ' Z E Ro2 Ri2 ' r' ' Z
径向位移u： 1 C 将 C1 、 2 代入（11） u C1r C2 （径向位移通解）式得： r
2 2 1 ( Ri2 pi Ro po )r 1 Ri2 Ro ( pi po ) u 2 2 2 E Ro Ri E ( Ro Ri2 )r
（17）
U的应用： ① 根据结构尺寸和所受载荷，计算径向位移（变形） 量 ，看能否满足工程要求，即变形不能太大，需求u。 ②有时需要产生变形保证两件间的密封要求，知外压 力需求u，设计满足要求构件尺寸。
r
du 1 求导： dr C1 C2 r 2
（12）
将（11）、（12）代入物理方程（7）式（应力与
位移关系方程）得：
E 1 [C1 (1 ) C 2 2 ] 1 2 r E 1 [C1 (1 ) C 2 2 ] 1 2 r
r
u
Z
为常数）
Z
r
截取的微 元体
Z方向的 投影图
径向变 形图
二、力平衡方程
从
r ， 平面，沿径向建立力平衡式，见图（b）。
d r ( r dr)(r dr)d dZ dr
单位长度应力增量长度 dr ; 弧长 高度＝小矩形面积 应力增量 （从物理概念理解，不从纯数学角度考虑） 外侧面受力
2 i 2 o 2 i 2 i 2 o 2 o
（15）
（15）称拉梅（Lame）公式。（筒应力弹性解）“记
住” 将（15）代入（5）式第三式
2 2 Ri2 pi Ro po Z 2 E Ro Ri2
Z
E
( r )
（16）
Z (轴向应变)不随 r 变，为常数。
代入（13）可得 C1 、 C2 。
1 Ri2 pi Ro2 po C1 E Ro2 Ri2 1 Ri2 Ro2 ( pi po ) C2 E Ro2 Ri2
du 1 C1 C2 2 dr r
1 r
（14）
将 C1 、 C2 代入（13）式得两向应力：
要求：概念要清除，并非记住公式，了解解题思路
及应用。
一、基本（假设）条件
1. 对象：厚壁圆筒。 2. 基本参量：内半径Ri ； 外半径 Ro ； 承受均匀内压 pi ； 外压 po ； 取圆柱坐标 r ， 3. 筒长远大于直径 认为筒中部段应力和应变沿筒长 度无差别。 【薄板：平面应力问题： Z 0 厚壁筒：平面应变问题： 0】 w ，Z。
d r E d 2 u du u ( 2 2) 2 dr 1 dr r dr r
（8）
将（7）、（8）代到（2）式（应力平衡方程）得：
d 2 u 1 du u 2 0 2 dr r dr r
（9）
上式为欧拉二阶齐次方程：（求解微分方程，得径向位 移u）
特解式：
4. 截取微单元 从筒 r 和 r dr 处作两个 圆柱面； 和 ＋d 作两个径向切 面； Z 和 Z dZ 作两个垂直于 轴的水平面。
截取微单元，如单元图(a) ①由于筒几何形状和所受载
荷对称，且沿Z向不变。
单元体上只有正应力 r ， 和 Z ，无剪应力。 截取的微 元体
除以
【
r n 2
后得特征方程。
；
n(n 1) n 1 0
n2 n n 1 0
】
特征方程:
n2 1 0
（10）
求特征方程根：
n1 1
由特解
n2 1
u rn 知
有两个特解:
u
1 r和 u 。 r
（11）
通解为两个特解的线性组合。 通解： u C r C 1 1 2
u uu
"
'
＝略
由 r ， 产生的应变
（5） Z 对 r ， 无影响，自由端应力计算仍适用。
Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) r 2 2 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri ) r Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) 2 2 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri ) r
r
（20）
（4）p0 0 时，总轴向应变、总径向变形
令（16）、（17）中
' 此时 Z 与 Z 、
p0 0 ，
'
u u 叠加，得有封闭端筒受内压的解。
与
2 2 Ri2 pi Ro po Z 2 E Ro Ri2
1 2 Ri2 pi " ' Z Z Z 2 E Ro Ri2
（22） 有封闭端筒只受 内压应力计算式
当 r Ri , r Ro
都有关系
Z
1 ( r ) 2
。
七、应力分布 （ r ， 沿壁厚径向分布） 1. 只受内压情况 内壁和外壁处应力
径向 应力
r r
r Ri r Ro
pi 0
Ri、Ro ，pi 、 po，r 分别为：内、外半径， 内、外压，任意半径
Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) r 2 2 Ro Ri ( Ro2 Ri2 )r 2 R pi R po R R ( pi po ) 2 Ro R ( R Ri2 ) r 2
径 向 应 变
（6）
u ， r
周 向 应 变
几何方程应变式】
E du u r ( ) 2 1 dr r E u du ( ) 2 1 r dr
r 对 r 求导
d r r 0 dr r
（7）
两向应力与径向位 移关系的物理方程
r rd dZ 2 drdZ sin d
2
内弧长 内侧柱面力
0
（1）
单元侧面积 两侧面力在 向投影（与内侧柱面同向）
r
Z方向的 投影图
取， d sin
2
（ dZ ，d 约去）：
d 2
略去高次项（ d r dr ），整理得
d r r 0 dr r
可知 ： Z 沿轴向为常数。
（18）
pi
Z
pi
' （2）轴向应力 Z ，引起轴向应变 z 、径向 ' 、周向 r
'
' 【单向拉伸中泊松比定律： ， 横向应 。】
为轴向应变； 为
'
Z
Ri2 pi Z 2 Ro Ri
' Z
1 R pi 2 2 E Ro Ri ' r' ' Z
两向应力 应变与应力关系
（5）
Z
E
( r )
1 E
单向应力与 应变关系
由上式前两式：可得（ r 和 ）
E r ( r ) 2 1 E ( r ) 2 1
将（3）、（4）式代入（6） 【 r du dr
（ dw 常数 ）Байду номын сангаас与
dZ
r， ，Z无关。
与 r , 有关。 （径向变形，向轴向挤、拉的效果。）
四、 虎克定律（应力与应变关系）
为了简化，可设筒两端自由，即 Z 0 。 直角坐标系中广义虎克定律，在极坐标中仍可用。
虎克定律公式（材力上册有） ：
1 r ( r ) E 1 ( r ) E
泵头受 内压
缸套受 内压
钻 杆
套管
滚筒钢 绳挤压
三、设计计算思路
计算求筒内最大应力，利用第三（最大剪应力理论）、
第四（最大畸变能理论）强度理论校核，确定安全尺寸。
【厚壁筒计算理论源于弹性力学。材力中不能解决厚壁筒计算问题】
第二节 厚壁筒的弹性力学分析
分析思路：从典型、最基本理论讨论，解决实际问
题。
（ rZ Z 0 ，剪应力第一角码为垂直该轴的平面，第二角
码为应力方向）【如图（a）】。
②筒约束对称，故周向位移 v 0 （环形封闭无法变形）
位移：只有 方向分量 ；
r 方向分量 u ；
Z与
③结论 正应力 无关。 w
u, w
，
， 和径向位移 值均与 和 的函数。（实际 Z
r 无关，只是变量
（13）
E du u ( ) 1 2 dr r E u du ( ) 1 2 r dr
五、 求解方程
C 利用边界条件，求常数 C1 、 2
r
条件： r rRi pi （内壁处）
r r R
o
po （外壁处）
u C1r C2
只与 r
有关，与
无关（对称性）。
（2007.11.2 机自04）
六、有封闭端厚壁筒应力分析
（前面分析的Lame公式为两端自由 Z 0 ） （1）筒只有内压 pi ，筒环截面（轴向）应力
Ri2 pi Ri2 pi F Z 2 2 2 A ( Ro Ri ) Ro Ri
第一节 厚壁筒概念
（外径/内径） K ≥1.2 称厚壁筒。 套管 D/t<10（外径/壁厚）为厚壁管。 厚壁与薄壁筒强度算法不同。 一、 石油机械中厚壁筒构件
厚壁筒
1. 承受内压：钻井泵泵头和缸套、防喷器外壳、油缸。 2. 承受外压：绞车滚筒（受钢丝绳外挤压力）。 3. 承受内外压：厚壁套管、钻杆、钻铤。 二、破坏形式 厚壁筒破坏形式为：强度破坏。 破坏原因是：筒内应力达到或超过材料允许的屈服极限 S 。
Lame公式
当 p0 0
Ri2 pi Ro2 r 2 (1 2 ) 2 Ro Ri r 2 2 Ri pi Ro 2 (1 2 ) 2 Ro Ri r
（21）
Ro 令， K （18）、（21）有： Ri
pi Ro2 r 2 (1 2 ) K 1 r pi Ro2 2 (1 2 ) K 1 r p Z 2 i K 1
（单位长度应力概念）
（2）
此式为（
r
， 平面）：
平面问题，对称轴应力平衡方程。 该方程含两个未知数，为静不定。 （无法求 r ， ）
三、变形几何方程（应变与位移关系）
筒受力变形后，单元体A B C D位移 (变形) →A’ B’ C’ D’ （微元体有径向位移，周向位移为0。）（图(c)）。 1. 径向应变：（应变＝变形（位移）增量/原长）
【dr 长度上径向位移（变形）增量】
du (u dr) u du dr r （3） dr dr
【D（C）点位移为u，A（B）点 du u dr 】 位移 径向变 dr 形图
2. 周向应变：
（径向位移引起弧长变化，以内径弧长变化计 算周向应变。）
（径向位移后弧长） （径向位移前弧长）
ur
n
（径向位移函数式）
d 2u n(n 1)r n 2 dr2
由（9）式有：
du n r n 1 dr
d 2 u 1 du u 2 0 2 dr r dr r
n(n 1)r
n 2
n n 1 r r 2 0 r r
nrn 2
n
r
n 2
径向位移微 分方程
径向变 形图
( r u ) d rd u （4） rd r
（原弧长）
（4）式是由于径向位移产生周向应变。
（3）,（4）为厚壁筒的变形几何方程 （位移与应变关系）。
3. 轴向应变 假定圆筒较长，垂直圆柱的截面，在变形前、后都为
平面。
Z 常数（常数值将在以后确定）
' Z 2 i
1 Z E
（19）
泊松比定律 泊松定律（拉伸时横向缩短，压缩时横向增大, ' 与
符号相反。）
（3） Z 引起径向位移
u
u r
'
周向应变 ）：
由（4）式知（
u' r'
Ri2 pi
E R R
2 o 2 i
1 Ri2 pi ' Z E Ro2 Ri2 ' r' ' Z
径向位移u： 1 C 将 C1 、 2 代入（11） u C1r C2 （径向位移通解）式得： r
2 2 1 ( Ri2 pi Ro po )r 1 Ri2 Ro ( pi po ) u 2 2 2 E Ro Ri E ( Ro Ri2 )r
（17）
U的应用： ① 根据结构尺寸和所受载荷，计算径向位移（变形） 量 ，看能否满足工程要求，即变形不能太大，需求u。 ②有时需要产生变形保证两件间的密封要求，知外压 力需求u，设计满足要求构件尺寸。
r
du 1 求导： dr C1 C2 r 2
（12）
将（11）、（12）代入物理方程（7）式（应力与
位移关系方程）得：
E 1 [C1 (1 ) C 2 2 ] 1 2 r E 1 [C1 (1 ) C 2 2 ] 1 2 r
r
u
Z
为常数）
Z
r
截取的微 元体
Z方向的 投影图
径向变 形图
二、力平衡方程
从
r ， 平面，沿径向建立力平衡式，见图（b）。
d r ( r dr)(r dr)d dZ dr
单位长度应力增量长度 dr ; 弧长 高度＝小矩形面积 应力增量 （从物理概念理解，不从纯数学角度考虑） 外侧面受力
2 i 2 o 2 i 2 i 2 o 2 o
（15）
（15）称拉梅（Lame）公式。（筒应力弹性解）“记
住” 将（15）代入（5）式第三式
2 2 Ri2 pi Ro po Z 2 E Ro Ri2
Z
E
( r )
（16）
Z (轴向应变)不随 r 变，为常数。
代入（13）可得 C1 、 C2 。
1 Ri2 pi Ro2 po C1 E Ro2 Ri2 1 Ri2 Ro2 ( pi po ) C2 E Ro2 Ri2
du 1 C1 C2 2 dr r
1 r
（14）
将 C1 、 C2 代入（13）式得两向应力：
要求：概念要清除，并非记住公式，了解解题思路
及应用。
一、基本（假设）条件
1. 对象：厚壁圆筒。 2. 基本参量：内半径Ri ； 外半径 Ro ； 承受均匀内压 pi ； 外压 po ； 取圆柱坐标 r ， 3. 筒长远大于直径 认为筒中部段应力和应变沿筒长 度无差别。 【薄板：平面应力问题： Z 0 厚壁筒：平面应变问题： 0】 w ，Z。
d r E d 2 u du u ( 2 2) 2 dr 1 dr r dr r
（8）
将（7）、（8）代到（2）式（应力平衡方程）得：
d 2 u 1 du u 2 0 2 dr r dr r
（9）
上式为欧拉二阶齐次方程：（求解微分方程，得径向位 移u）
特解式：
4. 截取微单元 从筒 r 和 r dr 处作两个 圆柱面； 和 ＋d 作两个径向切 面； Z 和 Z dZ 作两个垂直于 轴的水平面。
截取微单元，如单元图(a) ①由于筒几何形状和所受载
荷对称，且沿Z向不变。
单元体上只有正应力 r ， 和 Z ，无剪应力。 截取的微 元体
除以
【
r n 2
后得特征方程。
；
n(n 1) n 1 0
n2 n n 1 0
】
特征方程:
n2 1 0
（10）
求特征方程根：
n1 1
由特解
n2 1
u rn 知
有两个特解:
u
1 r和 u 。 r
（11）
通解为两个特解的线性组合。 通解： u C r C 1 1 2
u uu
"
'
＝略
由 r ， 产生的应变
（5） Z 对 r ， 无影响，自由端应力计算仍适用。
Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) r 2 2 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri ) r Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) 2 2 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri ) r
r
（20）
（4）p0 0 时，总轴向应变、总径向变形
令（16）、（17）中
' 此时 Z 与 Z 、
p0 0 ，
'
u u 叠加，得有封闭端筒受内压的解。
与
2 2 Ri2 pi Ro po Z 2 E Ro Ri2
1 2 Ri2 pi " ' Z Z Z 2 E Ro Ri2
（22） 有封闭端筒只受 内压应力计算式
当 r Ri , r Ro
都有关系
Z
1 ( r ) 2
。
七、应力分布 （ r ， 沿壁厚径向分布） 1. 只受内压情况 内壁和外壁处应力
径向 应力
r r
r Ri r Ro
pi 0
Ri、Ro ，pi 、 po，r 分别为：内、外半径， 内、外压，任意半径
Ri2 pi Ro2 po Ri2 Ro2 ( pi po ) r 2 2 Ro Ri ( Ro2 Ri2 )r 2 R pi R po R R ( pi po ) 2 Ro R ( R Ri2 ) r 2
径 向 应 变
（6）
u ， r
周 向 应 变
几何方程应变式】
E du u r ( ) 2 1 dr r E u du ( ) 2 1 r dr
r 对 r 求导
d r r 0 dr r
（7）
两向应力与径向位 移关系的物理方程
r rd dZ 2 drdZ sin d
2
内弧长 内侧柱面力
0
（1）
单元侧面积 两侧面力在 向投影（与内侧柱面同向）
r
Z方向的 投影图
取， d sin
2
（ dZ ，d 约去）：
d 2
略去高次项（ d r dr ），整理得
d r r 0 dr r
可知 ： Z 沿轴向为常数。
（18）
pi
Z
pi
' （2）轴向应力 Z ，引起轴向应变 z 、径向 ' 、周向 r
'
' 【单向拉伸中泊松比定律： ， 横向应 。】
为轴向应变； 为
'
Z
Ri2 pi Z 2 Ro Ri
' Z
1 R pi 2 2 E Ro Ri ' r' ' Z
两向应力 应变与应力关系
（5）
Z
E
( r )
1 E
单向应力与 应变关系
由上式前两式：可得（ r 和 ）
E r ( r ) 2 1 E ( r ) 2 1
将（3）、（4）式代入（6） 【 r du dr
（ dw 常数 ）Байду номын сангаас与
dZ
r， ，Z无关。
与 r , 有关。 （径向变形，向轴向挤、拉的效果。）
四、 虎克定律（应力与应变关系）
为了简化，可设筒两端自由，即 Z 0 。 直角坐标系中广义虎克定律，在极坐标中仍可用。
虎克定律公式（材力上册有） ：
1 r ( r ) E 1 ( r ) E
泵头受 内压
缸套受 内压
钻 杆
套管
滚筒钢 绳挤压
三、设计计算思路
计算求筒内最大应力，利用第三（最大剪应力理论）、
第四（最大畸变能理论）强度理论校核，确定安全尺寸。
【厚壁筒计算理论源于弹性力学。材力中不能解决厚壁筒计算问题】
第二节 厚壁筒的弹性力学分析
分析思路：从典型、最基本理论讨论，解决实际问
题。
（ rZ Z 0 ，剪应力第一角码为垂直该轴的平面，第二角
码为应力方向）【如图（a）】。
②筒约束对称，故周向位移 v 0 （环形封闭无法变形）
位移：只有 方向分量 ；
r 方向分量 u ；
Z与
③结论 正应力 无关。 w
u, w
，
， 和径向位移 值均与 和 的函数。（实际 Z
r 无关，只是变量
（13）
E du u ( ) 1 2 dr r E u du ( ) 1 2 r dr
五、 求解方程
C 利用边界条件，求常数 C1 、 2
r
条件： r rRi pi （内壁处）
r r R
o
po （外壁处）
u C1r C2
只与 r
有关，与
无关（对称性）。
（2007.11.2 机自04）
六、有封闭端厚壁筒应力分析
（前面分析的Lame公式为两端自由 Z 0 ） （1）筒只有内压 pi ，筒环截面（轴向）应力
Ri2 pi Ri2 pi F Z 2 2 2 A ( Ro Ri ) Ro Ri