天津市高二数学寒假作业(7)

天津市2013-2014学年高二寒假作业（7）数学 Word 版含答案第I
卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1.要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）
A ．向右平移6π个单位
B ．向左平移6π
个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移3
π
个单位
2.阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）
A. 14
B.20
C.30
D.55
3.函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3）
C ．（3，4）
D ．（4，5）
4.已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，给出四个命题： ①若,,m n n m α
βα=⊂⊥，则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ
③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ，则//αβ
其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④
5.命题“若b a >，则2
2b a >”的否命题是（ ） A ．若b a ≤，则22b a ≤ B ．若b a >，则2
2b a ≤
C ．若b a <，则22b a <
D ．若2
2b a >，则b a >
6.f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ） A ． -<≤40a B ．a <-4 C ．-<<40a D ．a ≤0
7.i 为虚数单位，则
i
-12
等于（ ） A ．i -1 B ．i +1 C ．i 22- D ．i 22+
8.设O 为坐标原点，C 为圆
22410x y x +-+=的圆心，圆上有一点(,)M x y 满足OM CM ⊥，则y
x =( )．
(A) 3
(B) 3
3-
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
9.函数
()f x =
的定义域是_________．
10.已知圆422=+y x 和圆044422=+-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为_____________。

11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =, 则AOB ∆的面积为
12.已知条件“21≤+x ”；条件“a x ≤”，p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.
13.双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，
和(0)b ，，点(1,0)到直线l 的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和为4
5s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范
围 ．
14.等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，4||=AB ，
则双曲线C 的实轴长等于 三、解答题（题型注释）
15.如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=,PA ⊥面ABCD,E 是 AB 的中点，F 是PC 的中点． (I)求证：面PDE ⊥面PAB ； ( II)求证：BF ∥面PDE ．
▲
16.直线l 经过点(5,5)P ，且与圆2
2
:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程，
17.己知圆
222261040(04)x y ax ay a a a +--+-=<≤的圆心为C ，直线:l y x m =+． (I)若2a =，求直线l 被圆C 所截得的弦长AB
的最大值；
( II)若m=2．求直线l 被圆C 所截得的弦长
AB
的最大值；
（III ）若直线l 是圆心C 下方的切线，．当a 变化时，求实数m 的取值范围．
18.（本小题满分14分）
已知函数()x f x e ax =- (e 为自然对数的底数). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任意[)2,x ∈+∞，不等式2()f x x x >+恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设*N n ∈,求证：n
n
)1
(+n
n
)2(+n
n
)3(+…+n
n
n )(<1
-e e
． 19.
如图①，直角梯形ABCD 中，2
,//π
=
∠DAB CD AB ，点N M ,分别在CD AB ,上，且
4,2,,==⊥⊥MB BC CB MC AB MN ，现将梯形ABCD A 沿MN 折起，使平面AMND
与平面MNCB 垂直(如图②)．
(1)求证：//AB 平面DNC ；
(2)当2
3
=
DN 时，求二面角N BC D --的大小．
20.如图所示，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P.
（1）证明：OM ·OP=OA 2
；
（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点.过B 点的切线交直线ON 于K.
证明：∠OKM=90°.
试卷答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.A
6.A
7.B
8.D
9.
10.
11.
12.
13.
4
14.3
15.
16.
17.
18.解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(， ………………………1分
当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数．
当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数；
若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．
综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )． ………………………5分
（Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2
对任意[2)x ∈+∞，
成立， 即不等式2x e x x
a x --<对任意[2)x ∈+∞，
成立． ………………………6分 设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是2
2
(1)()x x e x g x x --'=． (7)
分
再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，
即()h x 在[2)+∞，
上单调递增，∴ h (x )≥h (2)=e 2
-4>0，进而2
()
()0h x g x x '=>， ∴ g (x )在[2)+∞，
上单调递增 ∴ 2
min [()](2)32
e g x g ==-， (9)
分
∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2
(3)2
e -∞-，． ………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，
f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x
-x ≥1，整理得1+x ≤e x
．………………………11分
令i
x n
=-(n ∈N*，i =0，1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i
n e -，即(1)n i n -≤i e -， ∴()n n
n ≤0e ，1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，…，1
()n n
≤(1)n e --，………………12分 ∴1231
()(
)()()()n n n n n n
n n n n n n n n
---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111
n n e e e e
e e e -----==<---，
故不等式1
23()()()+1
n n n n
n e
n n n n e +++<
-…（）（n ∈N *）成立． ………………14分 19.
(2)过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，……………………….8 ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ， ∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH ⊥BC ，
∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角．………………….11 由MB ＝4，BC ＝2，∠MCB ＝90°知∠MBC ＝60°，
20.证明 (1)因为MA 是圆O 的切线,所以OA ⊥AM. 又因为AP ⊥OM,在R t △OAM 中,由射影定理知, OA 2
=OM ·OP.
（2）因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，
同（1），有OB 2
=ON ·OK ，又OB=OA ，所以OP ·OM=ON ·OK ，即OP ON =OK
OM
. 又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°.。