高中数学常见的知识类比

专题高中数学常见的知识类比
一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
⑵类比推理的一般步骤：
⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；
⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜想〕；
⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。

如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

⑶类比推理的特点：
①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；
②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；
③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
二、常见的几种类比：
代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式〔分数对分式、整数对整式、有理数对有理式〕.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。

几何方面：平面〔二维〕→立体〔三维〕，线段→面，面积→体积，平面角→二面角.
解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线
(1) a=b ⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;
(2) a=b⇒ ac=bc;(2) a＞b⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等
[3]实数系与向量系的类比：
实数系向量系
实数0、单位1
数a的相反数－a
实数a的绝对值| a | 零向量0
→
、单位向量e
→向量a
→
的相反向量－a
→向量a
→
的模|a
→
|
运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
(ab)c＝a(bc)
③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c
⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0
⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律：
①交换律：a
→
＋b
→
＝b
→
＋a
→
②结合律：(a
→
＋b
→
)＋c
→
＝a
→
＋(b
→
＋c
→
)
(a
→
·b
→
)c
→
≠a
→
(b
→
·c
→
)〔乘法不满足〕
③分配律：a
→
·(b
→
＋c
→
)＝a
→
·b
→
＋a
→
·c
→
④不满足消去律：若a
→
·b
→
＝a
→
·c
→
，那么b
→
与c
→不一定相等.
⑤若a
→
·b
→
＝0，那么不一定a
→
＝0
→
或b
→
＝0
→
.
⑥公式：(a
→
＋b
→
)·(a
→
－b
→
)＝a
→
2－b
→
2
(a
→
±b
→
)2＝a
→
2±2a
→
·b
→
＋b
→
2
⑦|a
→
·b
→
|≤|a
→
|·|b
→
|
|| a |－| b||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| [4]利用平面向量的性质类比空间向量的性质
[5]平面几何与立体几何的类比：
[6]试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积
引申：
试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 〞，
猜测关于球的相应命题为_______________________ [7]三角形与四面体的性质类比：
[8]直角三角形与直角四面体的类比：
[9]等差数列与等比数列的类比：
[10]椭圆与双曲线的类比：
点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2＋y 0y
b 2＝1.
P 1P 2的直线方程是x 0x a 2－y 0y
b
2＝1.
椭圆的焦点△PF 1F 2的旁切圆圆心M 的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.
双曲线的焦点△PF 1F 2的内切圆圆心M 的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.
AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PD
C A
F 1
F 2
B
P
D
AB 是双曲线的实轴，O 是双曲线的中心，F 1，F 2是双曲线的的焦点，直线AC ，BD 是双曲线过A 、B 的切
线，P 是双曲线上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PD
三、类比练习题： 〔一〕选择题：
1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是 ························································································ 〔 〕 ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A.①
B.①②
C. ①②③
D.③
试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①②③
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：
由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质； 由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质； 由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质； 或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，
P
F
F 2
P
F 1
F 2
M
故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，推断：
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
都是恰当的 故答案为：①②③
2.三角形面积公式为S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推
理可以得出四面体的体积公式为 ······························································· 〔 〕
A.V ＝13
abc
B. V ＝13
Sh
D.V ＝1
3
(ab ＋bc ＋ca )h 〔h 为四面体的高〕
3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可推知扇形的面积公式为S 扇＝
································
································································ 〔 〕
A. r 22
不可类比 〔二〕填空题：
4.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等〞可以类比推出正棱锥的类似属性是.
解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.
答案：各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
5.在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2〞拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则〞；
斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面． 解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD 2=S ABC 2+S ACD 2+S ADB 2．
6.从装有n ＋1个球〔其中n 个白球，1个黑球〕的口袋中取出m 个球〔0＜m ≤n ，m 、n ∈N *〕，共有C m n ＋1种取法，在这C m n ＋1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的m 个球
中有一个1黑球，所以共有C 01C m n ＋C 11C m －
1n ＝C m n ＋1种，即有等式：C m n ＋C m －
1n ＝C m n ＋1成立. 试根据上述思想化简下列式子：C m n ＋C 1k C m －
1n ＋C 2k C m －
2n ＋…＋C k k C m －
k n ＝.
7.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC ,BD 是圆O 过A 、B 的切线，
P 是圆O
上任意一点,CD 是过P 的切线，则有2PO PC PD =⋅〞. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭
圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有.〞
8.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4，
类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为；[a 3
8]
〔三〕解答题：
9.△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2EF ·EF cos ∠DFE ，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，.
S △A1C1C 2=S △BB1A12+S 四边形BCC1B12-2S △BB1A1•S 四边形BCC1B1•cosθ
10.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90︒，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.
四、历年高考的类比题目：
1.〔04XX 〕由图⑴有面积关系：S △P A 'B 'S △P AB ＝P A '·PB 'P A ·PB ，则由⑵有体积关系: V △P A 'B '
V △P AB ＝.
2.〔02XX 〕如下图⑴，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2，与点N 1、N 2，则
S △OM 1N 1
S △OM 2N 2
图(2)
C ＇
A ＇
P
A
B
C
图(1)
Ｂ＇
A ＇
P
A
B
＝
OM 1OM 2·ON 1
ON 2
；若从O 点所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR ，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，如图⑵，则类比的结论为.
3.〔2000XX ，第12题〕在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n 〔n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式成立.
4、在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.
1a b c d
a b c d
p p p p h h h h +++=
5、(20XXXX)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-
1=++c
c
b b a a h p h p h p O
M
N
N 1
N 2 M 2
M 1
P
Q
R
P 1
P 2 Q 2 R 2 Q 1
R 1 O
图⑴
图⑵。