2019-2020学年辽宁省锦州市高一上学期期末数学试题

2019-2020学年辽宁省锦州市高一上学期期末数学试题
一、单选题 1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，集合{}2,5B =，则()U
C A B ⋂等于
( ) A ．{}3 B ．{}3,5， C ．{}3,4,5， D ．{}5
【答案】D
【解析】根据补集与交集的定义计算即可． 【详解】 全集{}1,2,3,4,5U =
，集合{}1,2,4A =，
则{}2,5U C A =，又集合{}2,5B =， 所以(){}5⋂=U C A B . 故选：D ． 【点睛】
本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力．
2．已知向量()4,2a =，向量(),3b x =，且2a b -与a b +共线，那么x 等于（ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】C
【解析】先利用向量的线性运算求出2a b -与a b +，再根据向量共线的坐标表示列方程，即可求出． 【详解】
因为()()()28,4,38,1a b x x -=-=-，()4,5a b x +=+， 且2a b -与a b +共线，所以，()()5840x x --+=，解得6x =． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和向量共线的坐标表示的应用，属于基础题． 3．函数
y =
）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 【答案】C
【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1
{41
x x >--<<，所以1 1.x -<<
故选C
4．已知a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】证明两个命题：211a a >⇒>和211a a >⇒>两个命题的真假即可． 【详解】
当1a >时，必有21a >，但是若21a >则1a >或1a <-． ∴“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，p 是q 的充分条件⇔命题p q ⇒为真，p 是q 的必要条件⇔命题q p ⇒为真，p 是q 的充要条件⇔命题p q ⇔为真． 5．设命题p ：x R ∀∈，3210x x --≤，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，3210x x --≥ B ．x R ∀∈，3210x x --> C ．x R ∃∈，3210x x --≤ D ．x R ∃∈，3210x x --> 【答案】D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可写出． 【详解】
p ⌝：x R ∃∈，3210x x -->．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题．
6．已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为( )
A ．x =4,2s =10
B ．x =5,2s =11
C ．x =5,2s =20
D ．x =5,2s =21
【答案】C
【解析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案． 【详解】
根据题意，数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数为2，方差为5， 则数据121x +，221x +，⋯，21n x +的平均数2215x =⨯+=， 其方差222520s =⨯=； 故选C ． 【点睛】
本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．
7．已知5
,6()(2),6
x x f x f x x -≥⎧=⎨
+<⎩，则(3)f 为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】
(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为1
5
，身体关节构造合格的概率为
1
4
．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．
13
20
B ．25
C ．
14
D ．
15
【答案】B
【解析】先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算
出． 【详解】
设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为
4
5
，身体关节构造不合格的概率为34
，所以()433545P B =⨯=，故()()321155P A P B =-=-=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．
9．若1
1.4
0.4
32
2,,log a b c ==
=，则它们的大小关系为（
）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】C
【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较所给的数的大小即可. 【详解】
由指数幂运算法则可得 1.4
0.72b =
=，
由指数函数的性质可知：0.70.4221>>，即1b a >>， 由对数函数的性质可知21
log 03
c =<，则b a c >>. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 10．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，
()20f =，则不等式()20xf x +≤的解集是（ ）
A ．(]
[),22,-∞-+∞
B ．[][)4,20,--+∞
C ．(][),42,-∞--+∞
D ．(][),40,-∞-+∞
【答案】C
【解析】根据()f x 的奇偶性和单调性以及()()220f f -=-=，画出()f x 的大致图像，然后进行分类讨论，由此求得不等式()20xf x +≤的解集. 【详解】
由于()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0-∞上是减函数，所以()f x 在()0,∞+上是减函数. ()()220f f -=-=.由此画出()f x 的大致图像如下图所示.由不等式
()20xf x +≤得
当0x >时，()20f x +≤，即220x -≤+≤或22x +>，故0x >. 当0x =时，()20xf x +≤成立.
当0x <时，()20f x +≥，即22x +≤-或0
22x ，解得4x ≤-或20x -≤<.
综上所述，不等式()20xf x +≤的解集为(][),42,-∞--+∞.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
11．已知实数0a >，0b >，2a b +=，则
12a
a b
+的最小值为（ ） A ．
32
B 32
C ．22
D ．
52
【解析】由2a b +=可得
()1
12
a b +=，再根据()1
12212222a b a a b a a b a b a b
++=+=++，利用基本不等式即可求出．
【详解】
由题意可得，()1
12a b +=． 所以(
)1
12212152
2222
a b a a b a a b a b a b ++=+=++≥+=． 当且仅当24
,33
a b ==时取等号．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
12．已知函数1()22x
f x b ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
有两个零点，分别为1x ，()212x x x <，则下列结论
正确的是（ ）
A ．121x -<<-，122x x +>-
B ．121x -<<-，121x x +>-
C ．12x <-，122x x +>-
D ．12x <-，121x x +>-
【答案】A
【解析】根据零点的定义可知，1()202x
f x b ⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
有两个根，解方程可得
122x
b ⎛⎫
⎪⎝⎭
=-或 122x
b ⎛⎫
⎪⎝⎭
=+()0b <，再根据指数函数的值域即可得出20b -<<，由此可以确定1x ，2x 的范围，求得答案．
【详解】
依题可知，1()202x
f x b ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭有两个根，解得2120x
b ⎛⎫ ⎪=-⎭
>⎝或 2120x
b ⎛⎫
⎪=+⎭
>⎝，且0b <，即20b -<<．因为12x x < ，所以
124122x b ⎛⎫< ⎪=-⎭<⎝，解得121x -<<-；2
22102x
b ⎛⎫
< ⎪=+⎭
<⎝，解得21x >-；
()121
2
211140,4222x x
x x b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得122x x +>-．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数零点的定义应用以及指数函数的单调性和值域的应用，属于中档题．
二、填空题
13．若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1
(2)f --= 。

【答案】32
-
【解析】略
14．不等式21133x
x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭
的解集为________． 【答案】()0,1.
【解析】作出函数23x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
和113y x =-+的图象，由图象即可解出．
【详解】
作出函数23x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
和113y x =-+的图象，如图所示：
由图可知，函数23x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
和113y x =-+的图象相交于点()20,1,1,3A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
所以，由21133x
x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭可得，01x <<， 故不等式21133x
x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭
的解集为()0,1． 故答案为：()0,1． 【点睛】
本题主要考查利用函数图像解不等式，属于基础题．
15．2019年4月20日，辽宁省人民政府公布了“312++”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．“2”中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，学科高考原始分在全省的排名越靠前，等级分越高．小明同学是2018级的学生．已确定了必选地理且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了生物与化学近10大联考的成绩百分比排名数据x （如19x =的含义是指在该次考试中，成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19%）绘制茎叶图如下．
则由图中数据生物学科联考百分比排名的25%分位数为________．从平均数的角度来看你认为小明更应该选择________．（填生物或化学） 【答案】21. 化学.
【解析】根据百分位数的计算公式即可求出；分别求出生物，化学学科联考百分比排名的平均数，即可比较得出． 【详解】
由图可知，将生物学科联考百分比排名数据按照从小到大进行排序，可得， 12,16,21,23,25,27,34,42,54,59,设25%分位数为x . 因为1025%=2.5⨯，所以21x =．
生物学科联考百分比排名的平均数：
12+16+21+23+25+27+34+42+43+59
=30.210
；
化学学科联考百分比排名的平均数：
19+21+22+29+29+33+33+34+35+41
=29.610
， 所以从平均数的角度来看，小明更应该选择化学．
【点睛】
本题主要考查25%分位数以及平均数的计算，意在考查学生数据处理和数学运算能力，属于基础题．
16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0≥时，()2
f x x =，若对于任意的
[]x t,t 2∈+，不等式()()9
f x t f x 4
+≥恒成立，则实数t 的取值范围是______．
【答案】[
)2,∞+
【解析】由当x 0≥时，()2
f x x =，函数是奇函数，可得当x 0<时，()2
f x x =-，
从而()f x 在R 上是单调递增函数，且满足
()93f x f x 42⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，再根据不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫
+≥
= ⎪⎝⎭
在[]t,t 2+恒成立，可得3x t x 2+≥在[]t,t 2+恒成立，即可得出答案． 【详解】
当x 0≥时，()2
f x x =，
函数是奇函数
∴当x 0<时，()2f x x =-
()2
x ,x 02
f x x ,x 0≥⎧⎪∴=-<⎨⎪⎩
，
()f x ∴在R 上是单调递增函数，
且满足
()93f x f x 42⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫
+≥
= ⎪⎝⎭
在[]t,t 2+恒成立， 3
x t x 2
∴+≥
在[]t,t 2+恒成立， 即：x 2t ≤在[]
t,t 2+恒成立，
t 22t ∴+≤，
解得：t 2≥， 故答案为：[
)2,∞+．
本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
三、解答题
17．（1）已知2a ≤1
2
14-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
；
（2）求值：2
39log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++. 【答案】（1）7；（2）3.
【解析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可; （2）结合对数的运算性质,进行化简即可. 【详解】
（1）
2(2)|2|a a -=-,又2,20a a ≤-≤,2a =-.
33
(3)3a a +=+,1
2
124-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,
12
142327a a -⎛⎫
⎪=-+++⎭
=⎝.
（2）
2
39log 63
log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++3
21log 3
2
363
log 10lg6log 3=+⋅+131322
=++=.
【点睛】
本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题. 18．已知集合{}
2
|200A x x x =--<，{}|36B x x =-<<，
|121,{}C x m x m m R =-≤≤+∈．
（1）求集合A B ；
（2）若()C A
B ⊆，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）{|46}A B x x ⋃=-<<；（2）2m <-或22m -<<．
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A ，再根据并集的运算即可求出； （2）根据交集的运算求出A B ，再讨论集合C 是否为空集，根据子集的定义列出不
等式或不等式组即可解出．
（1）2200x x --<即()()450x x +-<，所以45x <<．
{|45}A x x ∴=-<<，{|46}A B x x ∴⋃=-<<．
（2）{|35}A B x x ⋂=-<<
当C =∅时，121m m ->+，2m ∴<-．
当C ≠∅时，213215m m m ≥-⎧⎪
->-⎨⎪+<⎩
，22m ∴-<<．
综上所述，2m <-或22m -<<． 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集和并集运算，以及由集合的包含关系求参数范围问题的解法的应用，属于基础题．
19．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB a =，AD b =．
（1）试以a ，b 为基底表示BE ，DF ； （2）求证：A ，G ，C 三点共线． 【答案】（1）12BE b a =
-，1
2
DF a b =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以a ，b 为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量AG ，由平面向量基本定理，解方程可求出1
()3
AG a b =+，而AC a b =+，根据共线定理即可证出． 【详解】 （1）1
2
BE
AE
AB
b a ，1
2
DF AF AD a b =-=
-． （2）因为D ，G ，F 三点共线，则DG DF λ=，， 即1
(1)2
AG AD DF a b λλλ=+=
+-． 因为B ，G ，E 三点共线，则BG BE μ=，
即1
(1)2
AG AB BE a b μμμ=+=-+
， 由平面向量基本定理知1
12112λμλμ
⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得2
3λμ==，
所以11
()33
AG a b AC =
+=， 所以A ，G ，C 三点共线． 【点睛】
本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于基础题．
20．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时(租金增减为50元的整数倍)，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）设租金为（3200+50x ）元/辆（x ∈N ），用x 表示租赁公司的月收益y （单位：元）． （3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）92（2）2
501900305000y x x =-++，()x N ∈;(3)当每辆车的月租金定
为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元
【解析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，求出未租出的车辆数，用100减去未租出的车辆数得出结论；
（2）设租金为（3200+50x ）元/辆，求出未租出的车辆数，可得租赁公司的月收益函数y 的解析式；
（3）由（2）利用二次函数的图像及性质求最值即可． 【详解】 （1）由题意36003200
850
-=，100-8=92，即能租出92辆车
（2）
()()()32005010015010050y x x x x =+----
∴ 2501900305000y x x =-++，()x N ∈
由（2）知，
时，
，
租金为4150元时收益最大
当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050
元． 【点睛】
解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 21．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方图中x 的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数： 年龄 [20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
人数
②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率.
【答案】（1）0.025x=，平均数x 为52，中位数为53.75m （2）①见解析②
3
5
【解析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1可得x ，用区间中点值代替
可计算均值，中位数把频率分布直方图中小矩形面积等分．
（2）①分层抽样，是按比例抽取人数；②年龄在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，设在[30,40)的是1a ，2a ，在[40,50)的是1234b , b , b , b ，可用列举法列举出选2人的所有可能，然后可计算出概率． 【详解】
（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1， 得0.025x=
在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：
250.05350.1450.2550.4650.452⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
设中位数为m ，由0.050.10.2(50)0.040.5m +++-⨯=， 解得53.75m =.
（2）①每组应各抽取人数如下表：
②根据分层抽样的原理，年龄在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，设在[30,40)的是
1a ，2a ，在[40,50)的是1234b , b , b , b ，列举选出2人的所有可能如下：
()()()()()()()()()()()
1211121314212223241213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ，()()()()14232434,,,,,,,b b b b b b b b 共15种情况.
设“这2人至少有一人的年龄在区间[30,40)”为事件A ，则包含：
()()()()()()()()()121112131422222324,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种情
况 则93()155
P A == 【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查样本数据特征、古典概型，属于基础题型． 22．已知函数(
)
2()log 41x
f x kx =+-是偶函数．
（1）求实数k 的值；
（2）设函数()
2()log 22x
g x m m =⋅-，若方程()()0f x g x -=只有一个实数根，求
实数m 的取值范围． 【答案】（1）1k =；（2
）12
m --=
或(1,)
m ∈+∞． 【解析】（1）根据偶函数的定义，即可求出；
（2）先将方程()()0f x g x -=化简可得，2222x x x m m -+=⋅-，换元，令
2(0)x t t =>，得()2
1210m t mt ---=，然后由函数()g x 的定义域确定方程中x 的
范围，进而得到t 的范围，所以()2
1210m t mt ---=在该范围内只有一个解，分类讨
论，再根据一元二次方程有解的条件，二次函数的有关性质，零点存在性定理，即可求出． 【详解】
（1）由()
2()log 41x
f x kx =+-是偶函数．则()()f x f x -=恒成立，
即(
)()22log 4
1log 41x
x kx kx -++=+-．
()()222log 41log 41x x kx -∴=+-+，
()
()
2
2412log log 424
1x
x x
kx x -+∴===+，
1k ∴=．
（2）方程()()0f x g x -=只有一个根，
则关于x 的方程(
)(
)
22log 41log 22x
x
x m m +-=⋅-只有一个解，
()()222log 41log 2log 22x x x m m ∴+-=⋅-
()2241
log log 222
x x x m m +∴=⋅-
2222x x x m m -∴+=⋅-
令2(0)x
t t =>，得：()2
1210m t mt ---=
因为(
)
2()log 22x
g x m m =⋅-中，220x m m ⋅->，则0m ≠ 当0m >时，需要1x >，则2t >；
当0m <时，需要1x <，则02t <<，
设2()(1)21h t m t mt =---，当10m -≠时，对称轴方程为1
m
t m =-
令()0h t =，若2
44(1)0m m ∆=+->，得12m -<
，或12
m -+>． ①当1m 时，10m ->，抛物线开口向上，此时>0∆，
01
m
m >-，(0)10h =-<，(2)50h =-<
所以()0h t =在()2,+∞上有唯一解，即1m 满足题意． ②当1m =时，即10m -=时，由()210h t t =--=得1
2
t =-
，不满足题意．
③1
m ≤<时，10m -<，(0)10h =-<，0∆≥且01m m <-， 所以()0h t =在()2,+∞上无解，不满足题意．
④m <<
0m ≠时，∆<0，则()0h t =无解，不满足题意．
⑤当12m --=
时，0m <且10m -<，0∆=，1(0,2)12
m t m ==∈-，
此时()0h t =在()0,2上有唯一解，即12
m -=
满足题意．
⑥当m <时，10m -<，>0∆且(0,2)1m m ⎫∈⊆⎪⎪-⎝⎭，又(0)10h =-<，(2)50h =-<，
所以()0h t =在()0,2上有两个不等实根，即m <
不满足题意．
综上所述，m 的取值范围是m =(1,)
m ∈+∞． 【点睛】
本题主要考查偶函数的定义，对数运算性质，一元二次方程有解的条件，二次函数的性质，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．。