2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件文北师大

1．斜率与倾斜角的两个关注点 (1)倾斜角 α 的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为 k＝tan α，图像为：
(2)当倾斜角为 90˚ 时，直线垂直于 x 轴，斜率不存在． 2．直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件为 A1A2＋B1B2＝0.
[四基自测]
则2a＋1b＝1，解得 a＝b＝3，或 a＝4，b＝2. 故所求直线方程为 x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0.
法二：设直线方程为 y＝kx＋b，则在 x 轴上的截距为－bk，所以 b＋－bk＝6，① 又直线过点(2，1)，则 2k＋b＝1.②
由①②得kb＝＝－3 1，
或k＝－12， b＝2.
故所求直线方程为 x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0.
[破题技法] 直线倾斜角与斜率的关系 (1)当 α∈0，π2且由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞. (2)当 α∈π2，π时，k 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区间内由π2α≠π2增大到 π(α≠π) 时，k 由－∞趋近于 0(k≠0)． (3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．
(2)直线 l：ax＋(a＋1)y＋2＝0 的倾斜角大于 45°，求 a 的取值范围．
[解析] 当 a＝－1 时，直线 l 的倾斜角为 90°，符合要求；当 a≠－1 时，直线 l 的斜 率为－a＋a 1. 则有－a＋a 1>1 或－a＋a 1<0， 解得－1<a<－12或 a<－1 或 a>0.综上可知，实数 a 的取值范围是－∞，－12∪ (0，＋∞)．
考点一 直线的倾斜角与斜率 挖掘 1 依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透 [例 1] (1)(2020·常州模拟)若 ab<0，则过点 P0，－1b与 Q1a，0的直线 PQ 的倾斜角 的取值范围是________．
[解析]
kPQ＝－01b－－1a0＝ab<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线 PQ 的倾斜角的
解得 m＝－7，或 m＝5. 所以，直线 BC 的方程为 x＋3y＋7＝0. 因为直线 AB 与 AD 垂直，所以设它的方程为 3x－y－n＝0. 则 M 到 AB 的距离是|3×（－312）＋－1 0－n|. 令|3×（－312）＋－1 0－n|＝35 10. 解得 n＝3，或 n＝－9.
所以，直线 AB，CD 的方程分别为 3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. 综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是 3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－ 3＝0.
考点二 求直线方程 挖掘 求直线方程的方法/ 自主练透 [例] 求适合下列条件的直线方程： (1)求过点(2，1)且在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距之和为 6 的直线方程； (2)求经过点 A(－5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
[解析] (1)法一：由题意可设直线方程为xa＋by＝1. a＋b＝6，
答案：A
挖掘 2 利用平行或垂直关系求直线方程/ 互动探究 [例 2] (1)已知点 P1(2，3)，P2(－4，5)和 A(－1，2)，则过点 A 且与点 P1，P2 距离 相等的直线方程为________． [解析] 当直线与点 P1，P2 的连线所在的直线平行时，由直线 P1P2 的斜率 k＝32－＋54＝ －13，得所求直线的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.当直线过线段 P1P2 的 中点时，因为线段 P1P2 的中点坐标为(－1，4)，所以直线方程为 x＝－1.综上所述， 所求直线方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
在本例(2)中，改为“过点 A(－5，2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直 线方程．
解析：设所求直线在 x 轴的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则－ 12|aa5b＋|＝2b92＝1，∴ab＝＝－－33， 或ab＝ ＝65125. ∴方程为 x＋y＋3＝0 或 4x＋25y－30＝0.
[答案] (－∞，－4]∪34，＋∞
挖掘 2 依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究
[例 2] (1)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是(
)
A.π6，π3
B．π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
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1．(基础点：根据两点求斜率)过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m
的值为( )
A．1
B．4
C．1 或 3
D.1 或 4
答案：A
2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角是( )
A.π6
B．π3
C.23π
D.56π
答案：D
3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线 l 经过点 P(－2，5)，且斜率为－34，则直线 l 的方程为________． 答案：3x＋4y－14＝0 4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为 2 的直线方程为 ________． 答案：3x＋5y－15＝0 或 7x＋5y－35＝0
直线的倾斜角 θ，且 θ≠90°
直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 且 x1≠x2
公式 k＝__t_a_n_θ____
k＝xy11－－yx22
3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线 l1，l2， 斜率分别为 k1，k2
平行 垂直
__k_1_＝__k_2 __ k1 与 k2 都不存在 __k_1k_2_＝__－__1____ k1 与 k2 一个为零、另一个不存在
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[解析] 直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α， 因为 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2·cos α∈[1， 3 ]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]． 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3， 即倾斜角的取值范围是π4，π3. [答案] B
考点三 两条直线的位置关系 挖掘 1 利用平行、垂直求参数/ 自主练透 [例 1] 已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n 的值，使 (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. [解析] (1)∵l1∥l2，∴m－2m－－162＝n≠0，0， 解得mn≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4， 即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2.
[答案] x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
(2)已知正方形的中心为点 M(－1，0)，一条边所在直线方程是 x＋3y－5＝0.求正方形 其他三边所在直线的方程． [解析] 如图，过 M 作边 AD 所在直线 x＋3y－5＝0 的垂线，垂足为 E. |ME|＝|（－1）1＋＋33×2 0－5|＝35 10. 设直线 BC 的方程为 x＋3y－m＝0， 则 M 到 BC 的距离是|（－1）1＋＋33×2 0－m|. 令|（－1）1＋＋33×2 0－m|＝35 10.
(2)当且仅当 2m＋8m＝0， 即 m＝0 时，l1⊥l2. 又－n8＝－1，∴n＝8. 即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
1．“a＝0”是“直线 l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0 与直线 l2：2x＋ay－2a－1＝0 平行” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
复习课件
2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件文北师大
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第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角 (1)定义：
[基础梳理]
(2)范围：直线的倾斜角 α 的取值范围是： _[_0_，__π_)___．
2．直线的斜率 条件
解析：当 a＝0 时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故 l1∥l2. 当 l1∥l2 时，若 l1 与 l2 斜率不存在，则 a＝0； 若 l1 与 l2 斜率都存在，则 a≠0，有－a＋a21＝－2a且a32≠2a＋ a 1，解得 a∈∅，故当 l1∥l2 时，有 a＝0.故选 C. 答案：C
[破题技法] 1.求直线方程的方法
方法
解读
题型
直接法 直接求出直线方程所需要的标量 适合于直线标量易求的题目
设出直线方程形式，待定其中的标
待定系数法
适合于条件较多而隐含的题目
量
注意：考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．
2．设直线方程的常用技巧 (1)已知直线纵截距 b，常设其方程为 y＝kx＋b(需保证斜率存在)； (2)已知直线横截距 x0，常设其方程为 x＝my＋x0(它不适用于斜率为 0 的直线)； (3)已知直线过点(x0，y0)，当斜率 k 存在时，常设其方程为 y－y0＝k(x－x0)，当斜率 k 不存在时，则其方程为 x＝x0； (4)与直线 l：Ax＋By＋C＝0 平行的直线可表示为 Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)； (5)与直线 l：Ax＋By＋C＝0 垂直的直线可表示为 Bx－Ay＋C1＝0； (6)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程：A1x ＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含 l2).
2．已知直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a ＝1”是“l1⊥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：l1⊥l2 的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即 a2－1＝0，故有(a－ 1)(a＋1)＝0，解得 a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故选 A.
(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为2xa＋ay＝1， 将(－5，2)代入所设方程， 解得 a＝－12， 此时，直线方程为 x＋2y＋1＝0. 当直线过原点时，斜率 k＝－25，
直线方程为 y＝－25x，即 2x＋5y＝0， 综上可知，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0.
[破题技法] 两直线位置关系的判断方法
方法
平行
垂直
适合题型ห้องสมุดไป่ตู้
化成斜截式
k1＝k2，且 b1≠b2
k1k2＝－1
斜率
存在一般式
设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
取值范围为π2，π.
[答案] π2，π
(2)(2020·太原模拟)已知点 A(2，－3)，B(－3，－2)，直线 l 过点 P(1，1)且与线段 AB 有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为________． [解析] 如图所示，kPA＝11＋－32＝－4，kPB＝11＋＋23＝34.要使直线 l 与线段 AB 有交点， 则有 k≥34或 k≤－4.
4.直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式 斜率 k 与点(x1，y1) 斜率 k 与直线在 y 轴
斜截式 上的截距 b
y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b
不含直线 x＝x1 不含垂直于 x 轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2) yy2－－yy11＝xx2－－xx11(x1≠x2， y1≠y2)
不含直线 x＝x1(x1＝x2) 和直线 y＝y1(y1＝y2)
直线在 x 轴、y 轴上的 截距式
截距分别为 a，b
xa＋by＝1(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋ 平面直角坐标系内的直
B2≠0)
线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1，P2 的中点 M 的坐标为(x，y)， 则xy＝＝yx11＋＋22 yx22，，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．