山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直线的倾斜角、斜率与直线的方程含答案解析

第八章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点) 2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查：①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.
1.直线的斜率
(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即□01k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．
(2)斜率公式
给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为□02k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
.
2．直线方程的五种形式
名称
已知条件 方程 适用范围 点斜式
斜率k 与点(x 1，y 1)
□
01y －y 1＝k (x －x 1) 直线不垂直于x 轴 斜截式
斜率k 与直线在y 轴上的截距b
□
02y ＝kx ＋b 直线不垂直于x 轴 两点式
两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2) □
03y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 直线不垂直于x 轴和y
截距式
直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b
□
04x a ＋y b ＝1(a ≠0，b ≠0) 直线不垂直于x 轴和y 轴，原点
一般式
— □
05Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 任何情况
1．概念辨析
(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()
(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()
(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√
2．小题热身
(1)直线l经过原点和点(－1，－1)，则直线l的倾斜角是()
A．45°B．135°
C．135°或225°D．60°
答案 A
解析由已知，得直线l的斜率k＝－1－0
－1－0
＝1，所以直线l的倾斜角是45°.
(2)在平面直角坐标系中，直线3x＋y－3＝0的倾斜角是()
A.π
6 B.π3
C.5π
6 D.
2π
3
答案 D
解析直线3x＋y－3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π3.
(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－3
4，则直线l的方程为()
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 答案 A
解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－3
4[x－(－2)]，整理得3x＋4y
－14＝0.
(4)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C ．3x －y ＝0
D ．x －3y ＋8＝0
答案 A
解析 设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
1a ＋3b ＝1，
1
2ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y
6＝1，即3x
＋y －6＝0.故选A.
题型 一 直线的倾斜角与斜率
1．(2019·长春模拟)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) A ．－55 B ．－25
5 C ．－35 D ．－45
答案 C
解析 由题意，知tan α＝2，所以cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－221＋22＝－
3
5. 2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )
A ．1±2或0 B.
2－52或0
C.2±5
2 D.2＋52或0
答案 A
解析 若A ，B ，C 三点共线，则有k AB ＝k AC ，即a 2－(－a )2－1＝a 3－(－a )
3－1，整理
得a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.
3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1，
k BP ＝
3－0
0－1
＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
1.直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k k ＝tan α>0 k ＝0 k ＝tan α<0 不存在 倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
2.倾斜角变化时斜率的变化规律
根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷
大；
(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋
近于0.如举例说明3.
3.三点共线问题
若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.
1.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.0，π4
B.3π4，π
C.0，π4∪π
2，π D.π4，π2∪3π4，π
答案 B
解析 ∵直线的斜率k ＝－
1a 2＋1
，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是
3π4，π. 2.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A.1
3 B ．－13 C ．－32 D.23
答案 B
解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有 ⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧
a ＝－5，
b ＝－3， 从而可知直线l 的斜率为
－3－17＋5
＝－1
3.
题型 二 直线方程的求法
1.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上的中线所在的直线方程为________．
答案 x ＋13y ＋5＝0
解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，－12，∴BC 边上的中线所在的直线方程为y －0－1
2－0＝x ＋5
32＋5
，即x ＋13y ＋5＝0. 2.(1)求过点A (1,3)，且斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3的直线方程； (2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．
解(1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－
4×
1
3＝－
4
3.
又直线经过点A(1,3)，
因此所求的直线方程为y－3＝－4
3(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为
x
2a＋
y
a＝1，将(－5,2)代入所设方
程，解得a＝－1
2，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为
y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2
5，所以直线方程为y＝－
2
5x，即2x＋5y＝0.
故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
条件探究将本例(1)中所求的直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，求所得直线的方程．
解设本例(1)中所求直线的倾斜角为α，
则由本例(1)知tanα＝－4 3，
所以90°<α<180°，
此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，所得直线的倾斜角为α－45°，
斜率k′＝tan(α－45°)＝tanα－1
1＋tanα
＝
－
4
3－1
1＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
4
3
＝7，
点斜式方程为y－3＝7(x－1)，
整理得7x－y－4＝0.
给定条件求直线方程的思路
(1)求直线方程常用的两种方法
①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过
原点的情况，否则会造成漏解．
(2)设直线方程的常用技巧
①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.
②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.
③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．
1.在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()
A.y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C.y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
答案 D
解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.
2.求适合下列条件的直线方程：
(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解(1)当直线过原点时，方程为y＝3
2x，
即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为x
a－
y
a＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tanα＝3，
所以tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝－
3
4.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求的直线方程为y＋3＝－3
4(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为
x a＋
y
12－a
＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而－3
a＋
4
12－a
＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求的直线方程为
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
题型三直线方程的综合应用
角度1由直线方程求参数问题
1.若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()
A.[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C.[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析令x＝0，得y＝b
2，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为
1
2⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪b
2
|－b|＝1
4b
2，且b≠0，因为
1
4b
2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]. 角度2与直线方程有关的最值问题
2.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－2，y ＝1.
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－
1＋2k
k
，在y 轴上的截距
为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨
⎧
－1＋2k
k ≤－2，
1＋2k ≥1，
解得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意，知k ≠0，再由直线l 的方程，得 A ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，
1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·
1＋2k 2
k
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥1
2×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.
1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )
A.m ≠－3
2 B ．m ≠0 C.m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1
答案 D
解析 由⎩⎨⎧
2m 2＋m －3＝0，
m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线.
2.(2019·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于点A ，B ，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB
→|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1
b ＝1. |MA →|·|MB →|＝－MA →·MB → ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )2a ＋1b －5＝2b a ＋2a
b ≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
组 基础关
1.过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4
答案 A
解析 由题意知4－m
m ＋2
＝1(m ≠－2)，解得m ＝1.
2.(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )
A.y ＝3x ＋2
B ．y ＝3x －2
C.y ＝3x ＋1
2 D ．y ＝－3x ＋2
答案 A
解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为1
2，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.
3．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )
A.k 1<k 2<k 3
B.k 3<k 1<k 2
C.k 3<k 2<k 1
D.k 1<k 3<k 2 答案 D
解析 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0<α3<α2<π
2<α1<π，所以k 1<0<k 3<k 2.
4.(2019·沈阳模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )
A.ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0
答案 A
解析 由题意，知a ≠0，b ≠0，已知直线方程可化为y ＝－a b x －c
b ，若此直线同时经过第一、二、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧
－a b <0，
－c
b >0，
即ab >0，bc <0.
5.直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A.40°
B ．50°
C．130°D．140°
答案 B
解析将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率
为k＝cos40°
sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
6.(2019·荆州模拟)两直线x
m－
y
n＝a与
x
n－
y
m＝a(其中a是不为零的常数)的图象
可能是()
答案 B
解析已知两直线的方程可分别化为l1：x
am＋y
－an ＝1与l2：
x
an＋
y
－am
＝1，
所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B符合题意.
7.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()
A.－1<k<1
5B．k>1或k<
1
2
C.k>1或k<1
5D．k>
1
2或k<－1
答案 D
解析因为直线l过点A(1，2)，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，所以直
线端点的斜率分别为2－0
1－3
＝－1，
2－0
1＋3
＝
1
2，如图．所以k>
1
2或k<－1.所以D正确.
8.若直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.
答案 4
解析 由在x 轴上的截距是1，得m ≠3，则直线方程为y －23－2＝x －3
m －3
.当y ＝0时，则x ＝6－2m ＋3＝1，故m ＝4.
9.若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－43，39
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ，则k ＝tan α＝
2a －(1＋a )4－(1－a )＝a －1
a ＋3，又α
为钝角，所以a －1
a ＋3<0，即(a －1)·(a ＋3)<0，故－3<a <1.关于a 的函数m ＝3a 2－4a
的图象的对称轴为a ＝－
－42×3
＝23，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
232－4×23≤m <3×(－3)2－4×(－3)，
所以实数m 的取值范围是－4
3，39.
10.已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．
答案 4x －3y －4＝0
解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2，所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×1
2
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43
，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝
43(x －1)，即4x －3y －4＝0.
组 能力关
1.若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y
sin α＝1必不经过( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限
答案 B
解析 令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，所以直线过点(0，sin α)，
(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.
2.已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )
A.4
B.14 C ．－4 D ．－14
答案 A
解析 ∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55，∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3
＝11，∴k PQ ＝
a 4－a 3
4－3
＝4. 3.(2019·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π
4，则点P 横坐标的取值范围为( )
A.－1，－1
2 B ．[－1,0] C.[0,1] D.12，1
答案 A
解析 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π
4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－1
2.故选A.
4.函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π
4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )
A.π4
B.π3
C.2π3
D.3π4
答案 D
解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，即
－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π
4.故选D.
5.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
答案 5
解析 动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22
＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.
6.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.
答案 12
解析 由已知画出简图，如图所示．
因为l 1：ax －2y ＝2a －4，
所以当x ＝0时，y ＝2－a ，即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)． 易知l 1与l 2均过定点(2,2)， 即两直线相交于点B (2,2)．
则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋1
2(a 2＋2)×2＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a －122＋154≥154.
所以S min ＝154，此时a ＝12.
7．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2x 上时，求直线AB 的方程．
解 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3
3，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－3
3x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
m －3n 2
，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3，
所以A (3，3)．因为P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋32，所以l AB ：y ＝
3＋3
2(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。