第六章：简谐波的习题 2

第六章：简谐波的习题
1．一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100cos(05.0x t y π-π= (SI)
(1) 求此波的振幅、波速、频率和波长． (2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度． (3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差． 解答及评分标准：
(1) 已知波的表达式为)2100cos(05.0x t y π-π= 与标准形式
)/22cos(λνx t A y π-π= 比较得
A = 0.05 m ， ν = 50 Hz ， λ = 1.0 m u = λν = 50 m/s 4分 (2) 7.152)/(max max =π=∂∂=A t y νv m /s 2分 322m a x 22m a x 1093.44)/(⨯=π=∂∂=A t y a ν m/s 2 2分
(3) π=-π=∆λφ/)(212x x ，二振动反相 2分
2．某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）； (3) 该波的波长． 解答及评分标准：
(1) 该质点的初相位 πφ= 2分
振动方程 )2
2cos(
06.00π+π=t
y )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(cos[06.0π+-π=u x t y 3分 ])2
1
(cos[06.0π+-
π=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m 2分
3．一简谐波，振动周期2
1
=
T s ，波长 = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，
求：
(1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = /4处质点的位移； (3) t 2 = T /2时刻，x 1 = /4处质点的振动速度． 解答及评分标准：
(1) s /20m u ,4==πω 2分 振动方程
t π4cos 1.0y = 2分
波动方程)20
1
(4cos 1.0y x t -
=π (SI) 2分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = /4 = (10 /4) m 处质点的位移
)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y
m 1.0)8
18/1(4cos 1.0=-π= 2分
(3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t
y
-ππ-=∂∂=
v ． )4/1(2
1
2==
T t s ，在 x 1 = /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)2
1
sin(4.0v 1-=-
-=πππ m/s 2分 4. 一振幅为 10 cm ，波长为200 cm 的一维余弦波．沿x 轴正向传播，波速为 100 cm/s ，在t = 0时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动．求
(1) 原点处质点的振动方程．
（2）波动方程 (3) 在x = 150 cm 处质点的振动方程． 解答及评分标准：
(1) 振动方程： )cos(0φω+=t A y A = 10 cm ，
ω = 2πν = π s -
1，ν = u / λ = 0.5 Hz 2分
初始条件得 π-
=2
1
0φ 2分 故得原点振动方程： )2
1
cos(10.0π-
π=t y (SI) 2分
(2)
波动方程]21
)100x (cos[10.0ππ--
=t y （SI ） 2分 (3) x = 150 cm 处相位比原点落后
π2
3
， 所以 )2
3
21c o s (10.0π-π-π
=t y )2c o s (10.0π-π=t (SI) 2分 也可写成 t y π=cos 10.0 (SI)
5. 如图为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，已知波速u = 20 m/s ．（1）写出波动方程；（2）写出Q 处质 点的振动方程试画出相应的振动曲线． 解答及评分标准：
(1)波的周期T = / u =( 40/20) s= 2 s ． 2分 O 点的振动方程)2
1cos(20.00π+π=t y 2分
波动方程)]21)cos[20.0π+-π(=u
x
t y 2分
(2) Q 处质点的振动曲线如图(a)， 2分 振动方程为 )cos(20.0π+π=t y Q (SI)
或 )cos(20.0π-π=t y Q (SI) 2分
6. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，已知振幅为m A 2.0=,周期s T 1=,波速为
s m u /10=。

在0=t 时，坐标原点处的质点位于m y 1.0=处且沿y 轴的负方向运动。

求：
（1）波源的振动方程；（2）平面简谐波的波函数；（3）t=2s 时各质点的位移分布。

解答及评分标准：
（1）由初始条件知，波源振动的初相为 3
π
ϕ= ， （2分）
角频率为： )(221-==
s T
ππ
ω， （1分） 则波源的振动方程为：)()3
2(cos 2.0m t y π
π+=。

（2分）
（2）平面简谐波的波函数为)](3
)10(2cos[2.0m x t y π
π+-=。

（3分）
（3）将t=2s 代入波函数中，得t=2s 时各质点的位移分布：
)()3
5
(cos 2.0m x
y π
π+
-
=。

（2分）
-。