2006年山东高考理科数学试题

1
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
（1）定义集合运算：A ⊙B },),(|{B y A z y x xy z z ÎÎ+=，设集合A={0，1}，B={2，3}， 则集合A ⊙B 的所有元素之和为的所有元素之和为
（A ）0
（B ）6
（C ）12
（D ）18
（2）函数)10(1<<+=a a y x 的反函数的图象大致是的反函数的图象大致是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（3）设ïîïíì³-<=-,
2),1(log ,2,
2)(2
31x x x e x f x 则不等式8)(>x f 的解集为的解集为 （A ）（1，2）∪（3，+∞）∞） （B ）（
10，+∞）∞）
（C ）（1，2）∪（
10，+∞）∞）
（D ）（1，2）
（4）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知,3
p =A 1,3==b a ，c=
（A ）1 （B ）2 （C ）
3－1 （D ）
3
（5）设向量a =（1，－2），b =（－2，4），c =（－1，－2），若表示向量4a 、4b －
（A ）（2，6） （B ）（－2，6） （C ）（2，－6） （D ）（－2，－6）
（6）已知定义在R 上的奇函数
)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为的值为
（A ）－1
（B ）0
（C ）1
（D ）2
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为椭圆的离心率为
（A ）
2
（B ）
2
2 （C ）2
1
（D ）
4
2 （8）设02
||1:
,020:22
<-->--x x q x x p ，则p 是q 的
（A ）充分不必要条件）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件）必要不充分条件
（C ）充要条件）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件
（9）已知集合}4,3,1{},2,1{
},5{===C B A ，从这三个集合各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A ）33 （B ）34
（C ）35
（D ）36
（10）已知n x
x )1(3
-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143
-，其中13-=i ，则
展开式中常数项是展开式中常数项是 （A ）－45i
（B ）45i （C ）－45 （D ）45
（11）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件ï
îïí죳+-³-.
112,932,
22115x y x y x
则y x z 1010+=的最大值是的最大值是
（A ）80
（B ）85
（C ）90
（D ）95
（12）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60°，°，
E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上向上 拆起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P —DCE 的外接球的的外接球的 体积为体积为 （A ）
27
34p （B ）
2
6p （C ）
8
6p （D ）
26
6p
（14）已知抛物线x y 42
=,过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1，y 1）
，B （x 2，y 2）两点，则2
2
2
1
y y +的最小值是的最小值是 . （15）如图，已知在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等、D 是则是则
A 1C 1的中点，则直线AD 与平面
B 1D
C 所成角的正弦值为
. （16）下列四个命题中，真命题的序号有）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号），
①将函数|1|+=x y 的图象按相量v =（－1，0）平移，得到的图象对应的函数表达
式为||x y =②圆012422
=+-++y x y x 与直线x y 2
1
=相交，所得弦长为2③若
31)sin(,21)sin(=-=+b a b a ，则5cot tan =b a ④如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，
P 为底面ABCD 内一动点，P 到平面AA 1D 1D 的距离与到直线CC 1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分点的轨迹是抛物线的一部分
（17）已知函数
0)((sin )(2
>+=A x A x f j w ，0>w ，)20p
j <<，且)(x f y =的最大
值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （Ⅰ）求j ； （Ⅱ）计算
)2008()2()1(f f f +++ .
（18）设函数
),1ln()1()(++-=x a ax x f 其中a ≥－1，求)(x f 的单调区间.
（19）（本小题满分12分）分）
如图，已知平面A 1B 1C 1平行于三棱锥V —ABC 的底面ABC ， 等边△AB 1C 所在平面与底面ABC 垂直，且∠ACB =90，设，设 AC =2a ，BC =a .
（Ⅰ）求证直线B 1C 1是异面直线AB 1与A 1C 1的公垂线；的公垂线；
（Ⅱ）求点A 到平面VBC 的距离；的距离； （Ⅲ）求二面角A —VB —C 的大小.
（20）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率. （21）双曲线C 与椭圆
14
8
22=+
y x 有相同的焦点，直线x y 3=为C 的一条渐近线.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过点P （0,4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当3
8
,
2121-=+==l l l l 且QB QA PQ 时，求Q
点的坐标. （22）已知,21
=a
点（),1
+n n a a 在函数x x z f 2)(2+=的图象上，其中n =1,2,3,….
（Ⅰ）证明数列)}1{lg(
n a +是等比数列；是等比数列；
（Ⅱ）设
)1()1)(1(21n n a a a T +++= .，求n T 及数列{n a }的通项；的通项；
（Ⅲ）记211++=n n n
a a
b ，求数列{n b }的前n 项和S n ，并证明.11
32=-+n n T S
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．A 9．A 10．D 11．C 12．C
13．2 14．32 15．5
4
16．③④．③④
17．（本小题满分12分）分） 解：（I ）).22cos(2
2
)(sin 2
j w j w +-
=
+=
x A A x A y
.4
20,
,4
,,222,222,
1)22
cos()2,1()().
22cos(1)22cos(2222)(.
4,2)22(21,0,2.
2,22
2,0,2)(p j p j p p j p
p j p p j p j p
j p
j p p w w p w =\<<Î
+
=\Î+=\Î+=+\-=+\=+-=+-=\==\>==+\>= 又点过的距离为其图象相邻两对称轴间又的最大值为
Z k k Z k k Z k k x f y x x x f A A A A x f y
（II ）解法一：,4
p j
=
.20085024)2008()2()1(.
50242008,4)(,41012)4()3()2()1(2
sin 1)22cos(1=´=+++\´===+++=+++\+=+-=\f f f x f y f f f f x
x y 的周期为又p
p p 解法二：)4
(sin 2)(2j p +=x x f
,
2)(sin 2)2
(sin 2)4()2(,2)2
3(sin 2)4(sin 2)3()1(2222=+++=+=+++=+\j p j p j p j p f f f f
.20085024)2008
()2()1(.
50242008,4)(.
4)4()3()2()1(=´=+++\´===+++\f f f x f y f f f f 的周期为又 （18）（本小题满分12分）分） 设函数
)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中.1-³a 求)(x f 的单调区间.
解：由已知得函数
)(x f 的定义域为),1(+¥-，且)
1(1
1)(-³+-=¢a x ax x f ， （1）.),1()(,0)(,01上单调递减
在函数由当+¥-<¢££-x f x f a （2）当.1
,0)(,0a
x x f a ==¢>解得由时
x x f x f 随)(),(¢的变化情况如下表：的变化情况如下表：
x
)1
,1(a -
a
1 ),1
(+¥a
)(x f ¢ － 0 + )(x f
极小值极小值
从上表可知从上表可知
.
),1()(,0)(,),1(.
)1
,1()(,0)(,)1,1(上单调递增在函数时当上单调递减在函数时当+¥>¢+¥Î-<¢-Îa x f x f a x a
x f x f a x 综上所述：综上所述：
),1
()(,)1,1()(,0.
),1()(,01上单调递增
在函数上单调递减在函数时当上单调递减在函数时当+¥->+¥-££-a x f a x f a x f a 19．（本小题满分12分）分） 解法一：解法一：
（I ）证明：∵平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，∴B 1C 1∥BC ，A 1C 1∥AC . ∵BC ⊥AC ,∴B 1C 1⊥A 1C 1.
又∵平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC =AC ， ∴BC ⊥平面AB 1C ，∴BC ⊥AB 1 ∴B 1C 1⊥AB 1，又A 1C 1∩B 1C 1=C 1
B 1
C 1∩AB 1与A 1C 1=B 1，
∴B 1C 1为AB 1与A 1C 1的公垂线. （II ）解法1：过A 作AD ⊥B 1C 于D ，∵△AB 1C 为正三角形为正三角形 ∴D 为B 1C 的中点，的中点， ∵BC ⊥平面AB 1∴BC ⊥AD ，又B 1C ∩BC =C ∴AD ⊥平面VBC ，
∴线段AD 的长即为点A 到平面VBC 的距离.
在正△AB 1C 中，AD =
2
3，AC =a a 3223=´.
∴点A 到平面VBC 的距离为
a 3.
解法2：取AC 中点O 连结B 1O ，则B 1O ⊥平面ABC ，且B 1O =
a 3.
由（I ）知BC ⊥B 1C . 设A 到平面VBC 的距离为x . ∴
C
DB A ABC
B V
V
11--= 即x
C B BC O B AC BC ××´=××´112
1312131，
解得a x 3=. 即A 到平面VBC 的距离为a 3.
（III ）过D 点作D H ⊥VB 于H ，连A H ，由三垂线定理知A H ⊥VB ∴∠A H D 是二面角A —VB —C 的平面角. 在Rt △A H D 中，DH B a AD
1,3D =∽△B 1
BC ，B
B D B B
C DH 11=，
∴
a B B BC D B DH
5
5
11
=×=
，
∴15arctan tan ==ÐDH AD AHD . 所以，二面角A —VB —C 的大小为15arctan
.
解法二：解法二：
取AC 中点O 连结B 1O ，易知B 1O ⊥平面ABC ，
过O 作直线OE ∥BC 交AB 于E .
取O 为空间直角坐标系的原点，OE ，OC ，OB 1
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空轴建立如图所示的空 间直线坐标系.
则A （0，－a ，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），B 1（0，0，a 3）.
（I ）
),3,,0(),0,0,(1a a AB a BC =-=
.
//,,//,
,,
0)3,,0()0,0,(111
1111111C A AC AC BC AB C B BC C B AB BC AB BC a a a AB BC ^^^\^\=×-=×\由已知又
∴BC ⊥A 1C 1. 而BC ∥B 1C 1，∴B 1C 1⊥A 1C 1. 又B 1C 1与AB 1，A 1C 1显然相交，∴B 1C 1是AB 1与A 1C 1的公垂线. （II ）设平面VBC 的一个法向量),,(z y x n =，
又
)3,,0(1a a CB -=
由îí
ì=-×=-×Þïîïíì^^0)3,,0(),,(0
)0,0,(),,(1
a a z y x a z y x CB n BC n 取z =1 得)1,3,
0(=n ，
点A 到平面VBC 的距离，即1AB 在平面VBC 的法向量n 上的投影的绝对值.
)3,,0(1a a AB = ，设所求距离为d ，
则.
3232||
|||||||,cos |||11
111a a n AB n
AB AB n AB AB d
==×××
=><×=
所以，A 到平面VBC 的距离为
a 3.
（III ）设平面VAB 的一个法向量),,(111z y x m =，
由îí
ì=+=+Þ
ïîïí
ì
=^=^Þ
ï
îïíì^^0
20
30
0111111ay ax ax ay AB m AB m AB
m AB m 取)1,3,32(1
1
-==m z ，
.41|
|||,cos -=××>=
<\n m n m n m ∵二面角A —VB —C 为锐角，为锐角，
所以，二面角A —VB —C 的大小为4
1arccos .
20．（本小题满分12分）分）
解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则3
2)(3
10
1
313
13
==
C C C C A P ， 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A ，
“一次取出的3个球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是
互斥事件，则互斥事件，则 3
1)(3
10
1
8
22
13
==
C C C C B P （II ）由题意，ξ有可能的取值为：2，3，4，5，
15
8)2(103)4(;152
)3(301)2(3
10
2218
12283
10
221812243
10
2
214122431022121222=+=
==+=
==+===+==C C C C C P C C C C C P C C C C C P C C C C C P x x x x 所以随机变量ξ的概率分布为的概率分布为
ξ 2
3
4
5
P
30
1
152 103 15
8
因此ξ的数学期望为E ξ=2×301+3×152+4×103+5×158=3
13
.
（III ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则，则
P C P =)(（“ξ=3”或“ξ=4”）=
P （
“ξ=3”）+
P （
“ξ=4”）=
.
30
13103152=
+ 21．（本小题满分12分）分） 解（I ）设双曲线方程为
.
12
222=-b y a x
由椭圆
1482
2
=+y x 求得两焦点为（－2，0）
，（2，0）.
∴对于双曲线C ：c=2. 又x y 3=为双曲线C 的一条渐近线.
3=\a
b
解得解得
3,122==b a ， ∴双曲线C 的方程为：13
22
=-y x
，
（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：),(),,(,42211y x B y x A kx y +=，
则,),0,4
(QA PQ k
Q l =-
.4444)4(4).,4()4,4(11111
111111ïïî
ïïíì-=--=Þ
ïîïíì=-+=-\+=--\l l l l l y k k x y k x k y k
x k ),(11y x A
在双曲线C 上，01216)1(162
1
2112=--+\l l l k
03
161632162222
11
=--++\l l l
k k ，
.03
161632)16(21212=-++-\k k l l 同理有，.03
161632)16(222
22=-++-k k l l 若0162=-k ，则直线l 过顶点，不合题意. 0162
¹-\k ，
1l \、2
l 是二次方程0
3
161632)16
(222=-
++-k x x k 的两根. 1l \+2l =.38
16322-=-k
.2,0,,42
±=\>D =\k k
此时
∴所求Q 的坐标为（2±，0）.
解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.
设l 的方程：
),(),,(,42
211y x B y x A kx y +
=，
则,),0,4(QA PQ k
Q l =-
ïïîïïí
ì-=+-=Þïïî
ïïíì++=+=-\\11111
11
11
1114)1(414014,
l l l l l l l l y k x y x k P A Q 由定比分点坐标公式得的比为分
下同解法一下同解法一
解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：),(),,(,42211y x B y x A kx y +=，
则,),0,4
(21QB QA PQ k
Q l l ==-
,
3
4,4.
4),4
(),4()4,4(2122112211221111p l l l l l l l l -=+-=-=\==-\+=+=--\又y y y y y k x y k x k
.
3
21121=+\y y
即13
4,2)(322
2121
=-
+==+y x kx y y y y y
代入得
).0,2(.2334823243.3348,324,030
34824)3(22
222212212
222±\±=\--´=-´\--=-=+\¹-=-+--Q k k
k k k k y y k y y l k k y y k 与渐近线平行否则
解法四：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：),(),,(,42211y x B y x A kx y +=， 则QA PQ k
Q 1),0,4
(l =-
ïî
ïíì=-+==+++-=+-+-=++-=+-=+-=\+=--\134
(*)
.
08)(52.38
444444.4444),4()4,4(2221212212
122111111y x kx y x x k x x k kx kx kx kx k
x k y k x k 又即同理l l l l l
消去y 得
.0198)3(22
=---kx x k
当2
3k -=0时，则直线l 与双曲线的渐近线平行，不合题意，2
3k -≠0. 由韦达定理有：由韦达定理有：
ïïî
ïïí
ì--=-=+.319382212
21k x x k k x x 代入（*）式得）式得
2,42
±==k k
∴所求Q 点的坐标为（±2，0）.
22．（本小题满分14分）分） 解：（I ）由已知21
21
)1(1,
2+=+\+=++n
n n
n
n a a
a a a
).1lg(2)1lg(:,112
11n
n n a a a a +=+>+\=+两边取对数得
即
2
)
1lg()
1lg(1=+++n n a a
)}1{lg(n
a +\是公比为2的等比数列. （II ）由（I ）知)1lg(2)1
lg(1
1
a a n n +×=+-
=121
3
lg 3lg 2-
=×-
n
n
1
22
2
2222123
3
3333)
1()1)(1(.
311
222211
2
1
1
-==××××=+++=\=+\-++++--n
n n n n n n a a a T a
11 由（*）式得.1312-=-n n
a （III ）)2(2121+=\+=++n
n n n n n a a a a a a )11(2)111111(2)11(22112121)
211(2111
11
322121111+++++-=-++-+-=+++=\-=\++=-=+\+-=\n n n n
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b S a a b a a b a a a a a a 又 .11
323
132
11
3,2,1312221121=-+\=--=\-==-=-+-n n n n n n T S T S a a a n n n
n 又。