高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本

1．2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 2
30°＋cos 2
30°； (2)sin 2
45°＋cos 2
45°； (3)sin 2
90°＋cos 2
90°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin 2
α＋cos 2
α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝
x .
∴sin 2
α＋cos 2
α＝x 2
＋y 2
＝|OP |2
＝1.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2
＋k π，k ∈Z )．
梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1.
②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .
(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2
α＋cos 2
α＝1的变形公式 sin 2
α＝1－cos 2
α；cos 2
α＝1－sin 2
α. ②tan α＝sin α
cos α
的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α
tan α
.
1．sin 2
α＋cos 2
β＝1.( × )
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2
α＝1. 2．sin
2
θ2＋cos 2θ
2
＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ
2＝1.
3．对任意的角α，都有tan α＝sin α
cos α成立．( × )
提示 当α＝π
2＋k π，k ∈Z 时就不成立.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 (1)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 D
解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，
∴tan α＝sin αcos α＝－5
12
，故选D.
(2)(2017·绍兴柯桥区期末)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝1
5，则tan α的值为( )
A ．－43
B ．－34 C.34 D.4
3
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 B
解析 ∵sin α＋cos α＝15
，
等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝1
25
，
即sin αcos α＝－12
25
，
∴sin α，cos α是方程x 2
－15x －1225＝0的两根，
又∵－π
2
<α<0，
∴sin α＝－35，cos α＝4
5，
∴tan α＝sin αcos α＝－3
4
.
反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
跟踪训练1 已知tan α＝4
3，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝4
3cos α.①
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，②
由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2
α＝925.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－4
5
.
命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－8
17，求sin α，tan α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝－8
17<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则
sin α＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517
， tan α＝sin αcos α＝1517－817
＝－15
8
.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－1－cos 2
α＝－1517，tan α＝158
.
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解． 跟踪训练2 已知cos α＝12
13，求sin α，tan α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝12
13>0且cos α≠1，
∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
， tan α＝sin αcos α＝5
131213＝5
12
.
(2)当α是第四象限角时，则
sin α＝－1－cos 2
α＝－513，tan α＝－512.
类型二 齐次式求值问题
例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2
α. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611
.
(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12
cos 2αsin 2α＋cos 2
α ＝14tan 2
α＋13tan α＋12tan 2
α＋1
＝14×4＋13×2＋125＝1330.
反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2
α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2
α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2
α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练3 已知sin α＋cos α
sin α－cos α＝2，计算下列各式的值．
(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2
α－2sin αcos α＋1. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝8
9.
(2)原式＝sin 2
α－2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α＋1 ＝tan 2
α－2tan αtan 2
α＋1＋1＝32
－2×332＋1＋1＝1310.
类型三 三角函数式的化简与证明
例4 (1)化简：sin 2
αtan α＋cos 2
αtan α
＋2sin αcos α.
考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简
解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2
α·cos αsin α＋2sin αcos α
＝sin 4
α＋cos 4
α＋2sin 2
αcos 2
α
sin αcos α
＝(sin 2
α＋cos 2
α)2
sin αcos α＝1sin αcos α
.
(2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α
.
考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式证明
证明 ∵右边＝tan 2
α－sin 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2
α－tan 2
αcos 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2
α(1－cos 2
α)
(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2
αsin 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α ＝
tan αsin α
tan α－sin α
＝左边，
∴原等式成立．
反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2
α＋cos 2
α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边
＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 跟踪训练4 化简tan α
1
sin 2
α
－1，其中α是第二象限角． 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α 1
sin 2
α
－1＝tan α 1－sin 2
α
sin 2
α
＝tan α cos 2
α
sin 2
α
＝sin αcos α
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α
·－cos αsin α＝－1.
1．若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 A
解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45，
∴cos α＝－35，tan α＝－4
3
.
2．已知sin α－cos α＝－5
4，则sin αcos α等于( )
A.
74 B ．－916 C ．－932 D.932
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 C
解析 由题意得(sin α－cos α)2
＝2516，
即sin 2α＋cos 2
α－2sin αcos α＝2516，
又sin 2α＋cos 2
α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，
∴sin αcos α＝－9
32.故选C.
3．化简
1－sin
2
3π
5
的结果是( ) A ．cos 3π5
B ．sin 3π5
C ．－cos 3π
5
D ．－sin 3π
5
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 C
解析 1－sin
2
3π5
＝cos
2
3π5＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos 3π5，
∵π2<3π5<π，∴cos 3π
5<0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5，
即
1－sin
2
3π5＝－cos 3π
5
，故选C.
4．(2018·牌头中学月考)已知tan θ＝2，则1
sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 B
5．求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin x cos x .
考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式证明 证明 方法一 (比较法——作差) ∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2
x －(1－sin 2
x )
(1－sin x )cos x ＝cos 2
x －cos 2
x (1－sin x )cos x ＝0， ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x
.
方法二 (比较法——作商)
∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )
＝cos 2
x 1－sin 2x ＝cos 2
x cos 2x ＝1. ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x
.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主
要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
一、选择题
1．(2017·绍兴期末)设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin θ＝13，则cos θ等于( )
A.2
3 B.23 C.63
D.22
3
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D
解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ＝13，
则cos θ＝1－sin 2
θ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝
223.
2．
1－cos
2
π
5
等于( ) A ．sin π5 B ．cos π5 C ．－sin π5 D ．－cos π
5
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 A
解析 ∵0<π5<π2，∴sin π
5>0，
∴
1－cos
2
π
5
＝sin
2
π5＝sin π5
.
3．已知sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )
A.34 B ．±310 C.310 D ．－310 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C
解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2
＝4(sin θ－cos θ)2
， 解得sin θcos θ＝310
.
4．函数y ＝1－sin 2
x cos x ＋1－cos 2
x
sin x 的值域是( )
A ．{0,2}
B ．{－2,0}
C ．{－2,0,2}
D ．{－2,2}
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C
解析 y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |
sin x .
当x 为第一象限角时，y ＝2； 当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0.
5．(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4
θ＝59，则sin θcos
θ的值为( ) A.
23 B ．－23 C.13 D ．－13
考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 A
解析 由sin 4θ＋cos 4
θ＝59，得
(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2
θ＝59，
∴sin 2θcos 2
θ＝29
，
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝
23
. 6．若π<α<3π
2，则
1－cos α
1＋cos α
＋
1＋cos α
1－cos α
的化简结果为( )
A.
2tan α B ．－2tan α C.2sin α D ．－2
sin α
考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简 答案 D 解析 原式＝ (1－cos α)
2
1－cos 2
α
＋ (1＋cos α)
2
1－cos 2
α
＝
1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2
|sin α|
，
∵π<α<3π2，∴原式＝－2
sin α
.
7．已知tan θ＝2，则sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.4
5
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D
解析 sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ
＝sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2
θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝4
5.
二、填空题
8．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2
α
1－sin α＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 －4
25
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角， 且sin α＝－4
5
，
故原式＝sin αcos 2α1－sin α＝sin α(1－sin 2
α)
1－sin α
＝sin α(1＋sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝－425.
9．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
10
2
，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 3或－1
3
解析 因为sin α＋2cos α＝102
，又sin 2α＋cos 2
α＝1， 联立解得⎩⎪⎨
⎪⎧ sin α＝－10
10
，cos α＝310
10
或⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＝310
10，cos α＝10
10
，
故tan α＝sin αcos α＝－1
3
或3.
10．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案
π3
解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．
将2sin A ＝ 3cos A 两边平方得2sin 2
A ＝3cos A . ∴2cos 2
A ＋3cos A －2＝0，
解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)，
∴A ＝π3
.
11．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝ ，tan 2
α＋1tan 2α＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 1
3
7
解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos α
sin α＝3，
即sin 2
α＋cos 2
α
sin αcos α＝3， ∴sin αcos α＝1
3
，
tan 2
α＋1tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α ＝9－2＝7.
12．已知sin α－cos α＝－
52，则tan α＋1
tan α
＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α
sin α
＝sin 2
α＋cos 2
αsin αcos α＝1sin αcos α. ∵sin α－cos α＝－
52，∴1－2sin αcos α＝5
4
， ∴sin αcos α＝－18，∴1
sin αcos α＝－8，
∴tan α＋
1
tan α
＝－8. 三、解答题
13．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝6
11，求下列各式的值．
(1)5cos 2
θ
sin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2
θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2
θ. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝6
11，
∴
4tan θ－23tan θ＋5＝6
11
，解得tan θ＝2.
(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝5
5＝1.
(2)原式＝sin 2
θ－4sin θcos θ＋3cos 2
θ
＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2
θsin 2θ＋cos 2
θ ＝tan 2
θ－4tan θ＋31＋tan 2
θ＝－15. 四、探究与拓展
14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n
α(n ∈Z )的值为 ． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 1
解析 ∵sin α＋cos α＝1， ∴(sin α＋cos α)2
＝1， 又sin 2
α＋cos 2
α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0. 当sin α＝0时，cos α＝1， 此时有sin n α＋cos n
α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1， 也有sin n α＋cos n
α＝1， ∴s in n α＋cos n
α＝1.
15．已知关于x 的方程2x 2
－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值；
(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ；
(3)方程的两根及此时θ的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝
3＋1
2
，① sin θ·cos θ＝m .②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋3
2，
所以sin θ·cos θ＝34
， 代入②得m ＝
34
.
(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2
θcos θ－sin θ ＝sin 2
θ－cos 2
θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2
－(3＋1)x ＋32
＝0， 解得x 1＝
32，x 2＝12
. 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝32，cos θ＝1
2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝1
2，cos θ＝3
2
.
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π
6.。