数学“傻问题”之二——“牛奶兑水”好喝吗？(五下)

数学“傻问题”之二——“牛奶兑水”好喝吗？
有这么一个让人忍俊不禁的笑话——“怎样让一瓶饮料喝出五瓶的感觉？”：买一瓶“冰糖雪梨”，喝掉半瓶，加满水就变成了“茉莉蜜茶”；再喝掉半瓶，加满水就变成了“茉莉清茶”；再喝掉半瓶，加满水就变成了“茉莉花茶无糖版”；再喝掉半瓶，加满水就变成了“农夫山泉（有点甜）”……且不说到底喝了几瓶（其实一共喝了4个半瓶和1个整瓶，其实是喝了3瓶，应该叫做“怎样让一瓶饮料喝出五种感觉”），这个笑话讽刺的是饮料几乎都是糖水加香精的现象，但在人教2013版五年级数学下册中也有这么一个类似的问题，同样有趣——“牛奶兑水”问题。

下图是教材原文：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。

他又喝了半杯，就出去玩了。

乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
一、原题解决
总览本题，那么为什么教材中会选择此题呢？连“纯牛奶”也不纯，兑水后就更不纯了（见“后记”说明），乐乐能喝到的“纯牛奶”只有开始时的半杯啊！原来题目想问的是“含有原来纯牛奶成分的那一部分”有多少，以及乐乐喝的“后加的水的那一部分”是多少？也就是说，此题中将牛奶和水看作完全平均分布的液体（事实上搅拌完全后也几乎如此，如果将牛奶和水看成两种不相溶的液体，会更好理解），兑水稀释后的分布比例也完全相同，这是理解本题的难点与解题之关键所在。

试着分析题意，第一次喝半杯的纯牛奶，加满水后，一杯中含有半杯纯牛奶和半杯水，（假设均匀溶解）第二次喝的半杯中，就应当含有半杯牛奶的一半和半杯水的一半，即14 杯纯牛奶和14 杯水。

因此，两次总共喝了12 +14 =3
4 杯纯牛奶和0+14 =14 杯水。

因为每次喝半杯，总共喝了一杯，34 +1
4 =1，检验应当是正确的。

为了更好地理解题意，试着用图形帮助理解。

如下图，用一个黄色的正方形代表满满一杯纯牛奶。

第一次喝了一半，再加水（蓝色），变成一半水一半纯牛奶；第二次喝掉纯牛奶和水的各一半。

结果果然如上。

（下面一行的四个图显示的是再“加满水”和“喝一半”各两次后的样子）
二、规律拓展
如果再这样子操作下去，情况会更复杂，但规律也更明显——看来作图帮助理解的话，图形选择非常重要，正方形平均分成两半还比较好做，但是次数一多显然不够用——用圆形可能会好一些（图略），用线段图的方法也可以考虑。

从图形中我们发现了规律：水的变化比较复杂，但牛奶每次被喝掉的都是上一次剩下的一半，因此尝试从牛奶入手寻求解决方法。

这次尝试列表法。

喝的次数
纯牛奶（杯）
水（杯）
每次喝的量（杯）
一杯纯牛奶 喝掉一半 加满水 再喝掉（奶+水的）一半
再加满水 再喝掉一半 第三次加满水 第四次喝一半
1 1
2 0 12 2 14 14 12
3 18 38 12
4 116 716 12 …… …… …… 12 n
12n
12 -12n 或2n-1-12n
12
哈！从喝第三次时规律就清晰了，原来既然牛奶每次只喝上一次剩下的一半，而每次都要喝半杯，因此剩下的部分就是喝的水咯！而要计算喝第几次时纯牛奶的总量，只要将这几次的纯牛奶量相加即可得到——这里可以用到“等比数列求和”的知识，也可以看图帮助理解，这里不展开解释，有兴趣的可以自己研究。

直接给出结果：12 +14 +18 +…+12n =1-12n ，即喝第n 次时总共喝纯牛奶1-1
2n 杯。

而水不要傻傻相加，会算到吐血的，同样可以利用规律，因为每次喝1
2 杯，喝n
次就喝掉n 2 杯，剩下的就是水咯，因此喝第N 次时总共喝水n 2 -（1-1
2n ）杯。

三、题型拓展
看来到此为止，只要每次喝半杯，不论乐乐要喝几次，我们马上就能给出每次喝的以及总共喝的纯牛奶和水的量了。

但如果“调皮的”乐乐每次不喝半杯，而是喝1
3 杯的话，情况会一样吗？这时画图显然没那么简单了（三等分不好画），仍然选用列表法。

喝的次数 纯牛奶（杯）
水（杯）
每次喝的量（杯） 1 1
3
13 2 （1-13 ）×13 =29 13 ×13 =19 13 3 （1-13 -29 ）×13 =427 （13 +29 ）×13 =527 13 4
（1-13 -29 -427 ）×13 =881
（13 +29 +427 ）×13 =1981
13
…… …… ……
13 n
2n-13n
13 -2n-13n 或3n-1-2n-13n
13
分析到喝第三次，脑袋就有点不够用了，借助了一下图形，再回到表格，发现：每次喝的纯牛奶是上一次剩下的部分的1
3 ，越来越少，而每次喝的水则相当于“填补纯牛奶喝掉的空缺后”的13 ，越来越多，但它们的和仍旧是1
3 杯，永远不变。

同样利用“等比数列”求和的方法，直接给出喝n 次时喝的纯牛奶的总量的答案：13 +29 +427 +…+2n-13n =1-2n 3n ，而因为喝n 次总共喝了n
3 杯，因此喝的水的
总量是n 3 -（1-2n
3n ）杯。

比较每次喝12 杯和1
3 杯的两种情况，喝n 次时牛奶总量与每次喝几杯有很大关系，规律似乎是：假设每次喝k 杯（0<k<1），则喝n 次时，所喝牛奶总量为1-（1-k ）n 杯，而所喝水的总量是kn-[1-（1-k ）n ]杯。

有毅力、有兴趣的同学可以尝试每次喝3
4 杯验证看看（其实k=0或1的极端情况也适用以上表达式，k=0表示每次都不喝，那么所喝牛奶和水永远都是0，k=1表示每次都全喝完，那么牛奶只喝1杯，而水喝n-1杯）。

四、经验归纳
做到这里，不论乐乐每次喝多少我们都能快速给出所喝纯牛奶与水的总量了，解题与分析暂告一段落。

回顾解题过程，我们得到的经验是：
1、复杂的问题需要慢慢分析，才有可能找到规律；
2、做题时可以借助画图和表格，但没有唯一正确的方法，要根据情况使用；
3、要相信自己，只要方向正确，计算上的困难都可以克服，反之，如果计算太过繁杂，试着检验一下自己的解题思路是否正确；
4、要常常变换思路，通过不同数据检验方法的正确性，寻找共同特征与普适规律，这样可以帮助简化问题。

……
总而言之，“牛奶兑水”是个可悲的“傻问题”（见“后记”），但只要我
们仔细分析，从中发现规律，锻炼了数学思维，这样的问题还是有用的。

最后，“实践出真知”，体验过后我的结论是：“牛奶兑水”不好喝，至少1：1兑水口感有明显的差别——至于兑水比例多少能不影响口感，这个问题就有待同学们继续研究吧（我想奸商们肯定早就在研究了）。

加油！
后记：
“数学来源于生活，应用于生活”，一拿到题目，赶紧百度“牛奶兑水”之真伪，大吃一惊：第一条，检验牛奶兑水的方法=鉴别牛奶中掺假的方法，看来牛奶兑水同样是奸商的手段之一啊；第二条，“纯牛奶”就是奶粉兑水的还原奶，因此“纯牛奶”也不纯，还有香精等添加剂；第三条，“牛奶不兑水日本人傻到家”，这个不解释，无语了；第四条，为什么牛奶兑水喝不好，里面有一句“忌掺开水，水温高，营养成分有影响，而且温度忽然高，蛋白变性”，再次百度“牛奶加开水”证实确有其事【牛奶里含有水，蛋白质，脂肪，碳水化合物（乳糖），矿物质（主要是钙，铁，磷），维生素（A,B1,C，D,胡萝卜素）用开水冲牛奶会使营养物质流失，其中维生素B1，C，D损失最多，另外蛋白质也会发生凝固结块，冲牛奶最好的温度在60～65左右】。

看来“牛奶兑水”特别是兑开水是不健康，不仅会影响口感，还会破坏营养成分，正确的方法是加热到60°C 左右再喝。

Edited by hcj0131
2015.5.21。