(课件)概率论与数理统计：离散型随机变量的数学期望

xi pij xi pi ,
i1 j1
i 1
E(Y )
y j pij y j p j .
j1 i1
j 1
(2) 若 (X,Y ) 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x, y) ,
则有
E(Z ) E[g(X , Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy .
特别地,
5
(5 x)
1
dx
25
(25 x)
1
dx
55
(55 x)
1
dx
0
60
5
60
25
60
60
(60 x 5)
1
dx
55
60
11.67 .
思考题:
求随机变量的数学期望与随机变量函 数的数学期望的公式有何联系呢？
谢谢聆听！
随机变量 (X , Y ) 的函数,且 E(Z ) 存在.
(1)若 (X , Y ) 为离散型随机变量,其分布律为
P{X xi , Y y j} pij , i, j 1, 2, ,
则有 E(Z ) E[g( X , Y )]
g(xi , y j ) pij .
i1 j1
特别地,
E(X )
E(Y ) 1 3 2 1 3 3 2 , 8 48
E( X 3Y 2 ) (03 12 ) 1 (03 22 ) 1 (03 32 ) 1 (13 12 ) 1
4
8
4
8.
(13 22 ) 1 (13 32 ) 1 7
8
84
例 4.10 地铁到达某站时间为每个整点的第 5 分, 25 分,55 分钟.设一乘客在早8 点到9 点之间随机到达 该地铁站,求其候车时间（单位：分）的数学期望.
【引例】
设Y = g(X ) g ( 为连续函数)是随机变X量
的函数,它的数学期望如何求呢？
定理 4.1 设Y = g(X ) ( g 为连续函数)是随机变量 X
的函数．
(1) 若 X 为 离 散 型 随 机 变 量 , 其 分 布 律 为
P{X xi} pi ,i 1, 2, ,如果 g(xi ) pi 收敛,则有 i 1
1/4
1
1/8 1/8
1/8
求 E(X ) , E(Y ) 及 E(X 3Y 2 ) ．
解 先求出 X ,Y 的边缘分布律
P{X 0} 5 , P{X 1} 3 ,
8
8
因此
P{Y 1} 3 , P{Y 2} 1 , P{Y 3} 3 .
8
4
8
E( X ) 0 5 1 3 3 , 8 88

解 记 X 表示“乘客到达该地铁站的时刻点”,则 X 的概率密度为
f
(
x)
1 60
,
0 x 60,
0, 其他.
Y 表示“乘客的候车时间”,则
5 X ,
0 X 5，
Y
g(X )
25 55
X, X,
5 X 25， 25 X 55，
60 X 5, 55 X 60.
因而
E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
E(Y ) E[g( X )] g(xi )pi . i 1
(2)若 X 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x) .如果
积分
g(x)
f (x)dx 收敛,则有
E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx .
定理 4.2 设 Z g(X , Y ) ( g 为二元连续函数)是二维
E(X )
xf (x, y)dxdy
xf X
(x)dx
,
E(Y )
yf
(x, y)dxdy
yfY ( y)dy
,
其中 fX (x) 与 fY ( y) 分别是随机变量 X 与Y 的边缘概率密度.
例 4.9 设二维离散型随机变量 (X ,Y ) 的分布律为
Y
1
2
3
X
0
1/4 1/8