方差的概念讲解

2

（4—16）
或
DX x 2 f (x)dx ( EX ) 2


（4—17）
四、方差的性质 设X是一个随机变量,c为常数，则有 性质1. Dc 0 ； 2 D cX c DX ； 性质2.
性质3. 若 X与Y 相互独立，则 D X Y DX DY ;特别地 D X c DX． 2 2 证明 1. Dc Ec E(c) Ec c 0 ； 2. DcX EcX EcX 2 EcX cEX 2 E [c 2 ( X EX ) 2 ] 2 ； c 2 E X EX c 2 DX 2 3. DX Y EX Y E X Y 2 E X EX Y EY

．
5. 指数分布 e x , 设X ~ E ( ),则其概率密度函数 f ( x) 0,

x0 .根据定义， x0
EX x f xdx
0 Nhomakorabeax e x dx
（令 u x）
； 0 EX 2 x 2 f xdx x 2 e x dx x 2 de x
则X i 相互独立，且均服从分布列
n
显然 X X i ，又 EX i p ， ． 因此 DX p 1 p i i 1
EX =
n E X i i 1
n i 1
EX i = np = i 1
n i 1
n
；
DX D（ X i） DX i n p1 p
§4.2 方差
一、方差的概念 引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数 用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为：
现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 易知，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 EX 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 （环）， EY 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 (环) ．
． 利用定义也可以直接求得二项分布的数学期望和方差，但 过程较繁琐，有兴趣的读者不妨一试．
λ i e λ i e λ i 1 EX i i e e e i! i! ； i 0 i 1 i 1 (i 1)!
E( X EX ) 2是用来描述随机变量X与其平均值 EX偏 可以看出， 离程度的一种量，为此我们给出如下定义 2 定义4.3 设X是一个随机变量，若 E( X EX ) 存在，则称 2 E X EX 为X的方差（Variance），记为DX 或Var ( X ) ，即 DX Var ( X ) E( X EX ) 2 ， （4—12） 而称 DX 为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,记为 ( X ),即 X DX ，它与X有相同的量纲． 随机变量X的方差DX 刻画的是X的取值关于其数学期望 EX DX 愈小，X的取值关于 EX 愈集中； DX 的分散或集中程度， 愈大，X的取值关于 EX 愈分散． 由定义可知，随机变量X的方差是其函数 ( X EX ) 2的数学 期望，因此，从计算上讲，方差与数学期望没有质的区别，通 常用下列公式计算方差： 2 2 EX ( EX ) DX （4—13） 2 2 2 这是因为[ X E( X )] X 2 XEX ( EX ) ，所以
E [ X EX 2 X EX Y EY Y EY ]
2 2
E X EX 2 E X EX Y EY E Y EY
2
2
DX 2 E X EX Y EY DY
因为X与Y 相互独立，所以 X EX与 Y EY 也相互独立,于是 E X EX Y EY E X EX EY EY 0（4—18） 因此 D X Y DX DY □

或
i 1
（4—14）
DX xi2 pi ( EX ) 2
i 1

（4—15）
三、连续型随机变量的方差 EX 存在, 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为 f x ， 若 ( x EX ) 2 f (x)dx 收敛，则
DX ( x EX ) f (x)dx.
2 2 2 2 2 2 DX EX E( X ) EX 2( EX ) ( EX ) EX ( EX )
二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量，其分布列为
若 EX 存在，且 ( xi EX ) 2 pi收敛，则
i 1

DX ( xi EX ) 2 pi
i 1 i 1
D( ci X i ) ci2 DX i
n
n
由例4.8知： DX p(1 p) ． EX p ，
2. 二项分布 设 X ~ Bn , p ,由二项分布的定义,X是n重贝努里试验中事件 A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p,引入随机变量
1 , Xi 0 , A在第 i 次试验中发生, A在第i 次试验中不发生,
可见，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等，这 表明这两位射手的射击水平相当．但是，谁的射击水平谁更稳 定呢？通常的想法是，看谁命中的环数 x i与其平均环数 EX的 偏差绝对值 xi EX 的平均值最小,即 E X EX 最小. E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，表明此射手发挥愈稳定; E X EX 愈大，X的值在EX 附近就愈分散，表明此射手发挥 愈不稳定．然而在实际中 E X EX 带有绝对值，在数学运算 上不方便，因而，通常用 E X EX 来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度． 据此分析，我们可以算得 E( X EX ) 2 (8 9) 2 0.2 (9 9) 2 0.6 (10 9) 2 0.2 0.4 ， E(Y EY ) 2 (8 9) 2 0.1 (9 9) 2 0.8 (10 9) 2 0.1 0.2 ． 2 2 由于 EX EX EY EY ,因此,我们认为乙的射击水平更 稳定一些．
此性质可以推广到n维随机变量的情形. 设X 1 , X 2 ,, X n 相互 c1，c2， , cn 是常数，则 独立，
（4－19） 性质4. DX 0的充分必要条件是X以概率1取常数 EX 即 PX EX 1 ．（证略） 五、几类重要随机变量的数学期望和方差 1. ( 0 —1 )分布 设X的分布列为
i i i λ e λ e λ e i e 2 2 2 EX i i i [(i 1) 1] i! i! (i 1)! i 1 (i 1)! ， i 0 i 1 i 1
3 . 泊松分布 λ i e , 设 X ~ P( ) ,由于 P{ X i} i!
0 0

1


u e u du
1
x 2 e x


0

0
2 x e x dx
2
2
DX EX 2 ( EX ) 2
2
2
1 1 ( )2 2


.
2 2
6. 正态分布 x 1 e 2 ，x R 设 X ~ N (, 2 )，则其概率密度函数 f ( x) 2 根据定义，
4. 均匀分布 1 , x ( a, b) f ( x ) b a 设X ~ U (a, b)，则其概率密度函数
根据定义，
0, 其它
． .
x ab dx ba 2 2 1 2 2 b x EX x f ( x)dx a dx (a 2 ab b 2 ) ba 3 1 ab 2 1 DX EX 2 ( EX ) 2 (a 2 ab b 2 ) ( ) (b a) 2 3 2 12 EX x f ( x)dx b a
i 0, 1, 2, ,因此，
(i 1)
i 1

i e
(i 1)!

i 1

i e
(i 1)!

i 1

i e
(i 2)!

i 1

i e
(i 1)!
2
DX EX 2 ( EX ) 2 2 2