四川省成都石室中学2018_2019学年高二数学10月月考试题文2018102601219

四川省成都石室中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合 （ ）
(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=⋂=，则
A.
B.
C.
D. ()(){}0110，，，
{}01，
(){}01，
(){}
10，
2.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） 3y x =
A.
B.
C. D.
y =
tan y x =1
y x x
=+
x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)， cm 可得这个几何体的体积是（ ） A. B.
C. D. 3
83
cm 343cm 323cm 31
3
cm 4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） 30︒()2
224x y +-=
A. D.
21
5.当曲线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 y =240kx y k -+-=k （ ） A. B. C. D. 30,
4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，且线
2222:1(0)x y C a b a b +=>>l C ,A B 段的中点为，则直线的斜率为（ ） AB ()2,1M -l A.
B.
C.
D.
1
3
3
2
1
2
17.设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，
C 22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F P C ，，则的离心率为（ ）
212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒C
C.1312
8.已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>12,F F 12F F 线渐近线的一个
交点为 ，则此双曲线为 （ ）
()1,2 A.
B.
C. D.
2
214
x y -=2
214
y x -=2212x y -=2212
y x -=
9.平行四边形内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( )
A. B. C ． D.
10.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一
E 22
221x y a b
-=()0,0a b >>1F E P E 象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为P O Q OP b =113PF QF =E （ ）
211.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线的方程为，ABC ∆()()2,0,0,4A B 20x y -+=则顶点的坐标为（ ） C A. B. C. D.
()4,0-()3,1--()5,0-()4,2--
12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若
ABC D -R 22===AC BC AB ，该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
1A. B. C. D. 81500ππ4925π9
100π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为 ．
{}n a n S n 2n
n S a =+a
14. 直线：过双曲线： 的右焦点 且与双曲
l (2y x =C 22
221x y a b
-=()0,0a b >>F 线只有一个公共点，则的离心率为 ．
C C 15.已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交
()2
23100C x y ++=：()3,0B P BP CP 于点，则点的轨迹方程是 ．
M M 16.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线
xOy Q 1)4()3(22=-++y x 与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的
02:1=+-k y kx l 02:2=-+ky x l P k PQ 最大值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列. 0{}n a 12248,,a a a （Ⅰ）求数列的通项公式；
{}n a （Ⅱ）设，求数列的前项和.
n a
n b 2={}n b n n S
18.(本小题满分12分)
已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点
． C (),P x y ()1,0A -()1,0B （Ⅰ）求曲线的方程；
C （Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． ()1,2M l C ,M N 4MN =l
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面为正三角形，侧棱底面．已ABC 1AA ⊥ABC 知是的中点，． D BC 12AB AA ==（Ⅰ）求证：平面平面；
1AB D ⊥11BB C C （Ⅱ）求证：∥平面； C A 1D AB 1（Ⅲ）求三棱锥的体积． 11A AB D -
A C B
B 1
C 1
A 1
20.（本小题满分12分）
如图，在中，内角的对边分别为，且． ABC ∆,,A B C ,,a b c 2cos 2a C c b -=（Ⅰ）求角的大小； A
（Ⅱ）若，边上的中线的长为，6
ABC π
∠=
AC BD 求的面积． ABC ∆
21.(本小题满分12分)
直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .
xOy C 22
221(0)x y a b a b
+=>>12⎫⎪⎭（Ⅰ）求椭圆的方程；
C （Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两点，线段被直线()2,1P l C ,A B AB OP 平分，且.求直线的方程. 0PA PB ⋅=
l
22.(本小题满分12分)
设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左、右两个焦点
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12e =C M 的距离之和是.
12,F F 4（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左、右顶点不重合，若
2F C ,A B ，求四边形面积的最大值.
111F M F A F B =+
1AMBF
高二数学文科
1.已知集合 （ A ）
(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=⋂=，则A.
B.
C.
D. ()(){}0110，，，
{}01，
(){}01，
(){}
10，
2.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ） 3y x =
A.
B.
C. D.
y =
tan y x =1
y x
x
=+
x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)， cm 可得这个几何体的体积是（ B ） A. B. C. D. 3
83
cm 343cm 323cm 31
3
cm
4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ A ） 30︒()2
224x y +-=
A. D. 21
5.当曲线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 y =240kx y k -+-=k （ C ） A. B. C. D.
30,
4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，且线
2222:1(0)x y C a b a b +=>>l C ,A B 段的中点为，则直线的斜率为（ C ） AB ()2,1M -l A.
B.
C.
D.
1
3
3
2
1
2
17.设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，
C 22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F P C ，，则的离心率为（ D ）
212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒C
C.
1312
8.已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>12,F F 12F F 曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线为 （ B ）
()1,2　A.
B.
C. D.
2
214
x y -=2
214
y x -=2212x y -=2212
y x -=
9.平行四边形内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( B )
A. B.
C ． D.
10.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一
E 22
221x y a b
-=()0,0a b >>1F E P E 象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若为双曲线的中心，
P Q 113PF QF =O E ，则的离心率为（　B ）
OP b =E
211.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线的方程为
ABC ∆()()2,0,0,4A B ，则顶点的坐标为（A ）
20x y -+=C A. B. C. D.
()4,0-()3,1--()5,0-()4,2--
12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若
ABC D -R 22===AC BC AB ，该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ D ）
1A. B. C. D. 81500ππ4925π9
100π
13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为
{}n a n S n 2n
n S a =+a 1-
14. 直线：过双曲线
： 的右焦点 且与双曲
l (2y x =C 22
221x y a b
-=()0,0a b >>F 线只有一个公共点，则的离心率为 ．
C C 515.已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交
()2
23100C x y ++=：()3,0B P BP CP 于点，则点的轨迹方程是__________．
M M 22
12516
x y +=16.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线
xOy Q 1)4()3(22=-++y x 与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的
02:1=+-k y kx l 02:2=-+ky x l P k PQ 最大值是 . 817.(本小题满分10分)
已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列. 0{}n a 12248,,a a a （Ⅰ）求数列的通项公式；
{}n a （Ⅱ）设，求数列的前项和.
n a
n b 2={}n b n n S 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.依题意有
{}n a 1a d 即 1232
42812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩1214,
0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩由，解得
0d ≠12,2.
a d =⎧⎨=⎩所以. ………………………6分
2n a n =（Ⅱ）所以.
2224n a n n
n b ===因为，……………8分 1
1144,44
n n n n b b b ++=== 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列.
{}n b 所以. ………………10分
4(14)4(41)143n n
n S -==--18. (本小题满分12分)
已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点
．
C (),P x y ()1,0A -()1,0B
（Ⅰ）求曲线的方程；
C （Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． ()1,2M l C ,M N 4
MN =l 解：（Ⅰ）由题意得分
PA =
分
=
化简得：（或）即为所求． ……5分 22610x y x +-+=22(3)8x y -+=（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， l l 1x = 将代入方程得，
1x =22610x y x +-+=2y =± 所以，满足题意。

……8分 4MN =当直线的斜率存在时，设直线的方程为 l l ()21y k x -=-由
圆
心
到
直线
的
距离
()3,0
20kx y k --+=分
2d ==
解得，此时直线的方程为
0k =l 2y =综上所述，满足题意的直线的方程为：或. ……12分 l 1x =2y =
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面为正三角形，侧棱底面．已ABC 1AA ⊥ABC 知是的中点，．
D BC 12AB AA ==（Ⅰ）求证：平面平面；
1AB D ⊥11BB C C （Ⅱ）求证：∥平面； C A 1D AB 1（Ⅲ）求三棱锥的体积．
11A AB D -（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且是的中点，
ABC ∆D BC 所以．
AD BC ⊥A C
B
B 1
C 1
A 1
D
因为侧棱底面，，
1AA ⊥ABC 11//AA BB 所以底面．
1BB ⊥ABC 又因为底面，所以. AD ⊂ABC 1BB AD ⊥ 而,
1B B BC B = 所以平面．
AD ⊥11BB C C 因为平面，所以平面平面．
……………………4分 AD ⊂1AB D 1AB D ⊥11BB C C
（Ⅱ）证明：连接，设，连接．
1A B 11A B AB E = DE 由已知得，四边形为正方形，则为的中点. 11A ABB E 1A B 因为是的中点， D BC 所以．
1//DE AC 又因为平面，
DE ⊂D AB 1平面， 1
AC ⊄D AB 1所以∥平面． ……………………8分 C A 1D AB 1（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，
C A 1
D AB 1所以与到平面的距离相等， 1A C D AB 1所以．
111A AB D C AB D V V --=由题设及，得，且 12AB AA ==12BB =ACD S ∆=
所以， 11
111233C AB D B ACD ACD V V S BB --∆==
⨯⨯==
所以三棱锥的体积为． ………………………12分 11A AB D -11
A A
B D V -=
20.（本小题满分12分）
A C
B
B 1
C 1
A 1
D
E
如图，在中，内角的对边分别为，且． ABC ∆,,A B C ,,a b c 2cos 2a C c b -=（Ⅰ）求角的大小； A
（Ⅱ）若，边上的中线的面积． 6
ABC π
∠=
AC BD ABC ∆解：（Ⅰ）由．
b c C a 2cos 2=-正弦定理，可得 B C C A sin 2sin cos sin 2=-即 )sin(2sin cos sin 2C A C C A +=-可得：
A C C cos sin 2sin =-
0sin ≠C 21
cos -=∴A 则…………………（6分）
),0(π∈A 3
2π
=A （Ⅱ）由（Ⅰ）可知．
32π=A 6π=∠ABC 6
π
=C 则．
AB AC =设，则，
x AD =x AB 2=在中利用余弦定理：可得． ABD ∆A AD AB AD AB BD cos 2222⋅-+=即，可得，
3572=x 5=x 故得的面积．…………………（12分） ABC ∆353
2
sin 4212=π⨯⨯=x S
21. (本小题满分12分)
直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .
xOy C 22
221(0)x y a b a b
+=>>12⎫⎪⎭（Ⅰ）求椭圆的方程；
C
（Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两()2,1P l C AB 点，线段被直线平分，且.求直线的方程. AB OP 0PA PB ⋅=
l 解：
（Ⅰ）设椭圆方程为，代入点，得
，
22
2213x y b b
+=+12⎫⎪⎭
故椭圆方程为. ……………4分
2
214
x y +=（Ⅱ）由条件知：， OP 1
2
y x =
设： 代入得
l y kx m =+()0m ≠2
214
x y +=
()2
2
2148440k x
kmx m +++-=
，………………6分 122814km x x k +=-+2122
44
14m x x k
-=+中点在直线上 ， AB 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭OP ， ………………8分 22
21414m km k k =-++1
2
k =-
此时，
122x x m +=2
1222x x m =-，
0PA PB ⋅= ()()1212112211022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫
--+-+--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()2
12125341042
m x x x x m +-+++-=解得，满足，
1m =故所求直线方程为. ………………12分
22. (本小题满分12分)
设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12e =C M 12
,F F 的距离之和是. 4（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若
2F C ,A B ，求四边形面积的最大值.
111F M F A F B =+
1AMBF 解：（Ⅰ）依题意，，
24,2a a ==
因为，所以， 1
2
e =
2221,3c b a c ==-=所以椭圆方程为；……………4分
C 22
143
x y +=（Ⅱ）设 ，
1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+则由，可得，
221
14
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩223(1)412my y ++=即，
22(34)690m y my ++-=，……………6分 122634m y y m +=-
+12
29
34y y m =-+又因为，所以四边形是平行四边形， 111F M F A F B =+
1AMBF 设平面四边形的面积为， 1AMBF S 则
112121
222
ABF
S S F F y y ∆==⨯⨯⨯-=
=
分 设，则，
t =22
1(1)m t t =-≥所以
，因为，所以，所以， 21
2424131
3t S t t t
=⨯
=⨯
++1t ≥1
34t t
+≥(0,6]S ∈所以四边形面积的最大值为.……………12分 1AMBF 6。