知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础

《解析几何初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；
3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；
5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；
6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识络】
【要点梳理】
要点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；
③2
2
0(0)Ax By C A B ++=+≠；
④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为参数）．
要点二：两条直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
（1）当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为0
90，互相平行；
（2）当一条直线的斜率不存在（倾斜角为0
90），另一条直线的倾斜角为0
0时，两直线互相垂直。

2．斜率都存在时两直线的平行：
（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠
（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则
1l ∥2l ⇔
2
1
2121C C B B A A ≠= 。

要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。

3．斜率都存在时两直线的垂直：
（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则
1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．
要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2．两平行线间的距离公式
已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与
2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=。

要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题
1．点关于点成中心对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--。

2点关于直线成轴对称
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。

利用“垂直”“平分”这两个条件建
立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：
设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有00
00122
y y k x x y y x x k b '-⎧
⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、
y '。

特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-。

3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --。

要点五：圆的方程
求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．
1．圆的标准方程
222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.
要点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2
2
2
x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222
a b r +=.
（2）圆的标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
2．圆的一般方程
当22
40D E F +->时，方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,2
2D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭为圆心，
为半径. 要点诠释：由方程22
0x y Dx Ey F ++++=得22
224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）当22
40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-
=-.它表示一个点(,)22
D E --. （2）当2
2
40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当22
40D E F +->时，可以看出方程表示以,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭为半径的圆.
要点六：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为2
2
2
()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有
（1）若点()00M x y ，在圆上()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=
（2）若点()00M x y ，在圆外()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->
（3）若点()00M x y ，在圆内()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<
要点七：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法： （1）代数法：
判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：
设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222
:()()(0)C x a y b r r -
+-=>，圆心(,)C a b 到直
线l 的距离记为
d =
:
当d r <时，直线l 与圆C 相交；
当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离.
要点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法：
圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆2
2
22
2
2:()()C x
a y
b r
-+-
=，两圆圆心距
d =
当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.
要点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
要点九：求圆的切线方程的常用方法：
（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
（2）待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程（组）解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
（3）定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：
①过圆222
x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；
②过圆()()22
2
x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：
()()()()200x a x a y b y b r --+--=.
要点十：空间直角坐标系
空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】
类型一：直线方程的综合问题
例1．已知A （-m -3，2），B （-2m -4，4），C （-m ，m ），D （3，3m+2），若直线AB ⊥CD ，求m 的值．
【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
【答案】1或-1
【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，
∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，
∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，
-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．
而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，
∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意。

②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式
422
24(3)(1)AB k m m m -=
=------+，
322(1)
3()3
CD m m m k m m +-+=
=--+．
∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C D
k k =-，
即
22(1)
1(1)3
m m m +=--++，解得m ＝1．
综上，m 的值为1或-1．
举一反三：
【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值。

【答案】0或16
- 【解析】
解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ； 直线斜率存在时，123311//26
a l l a a a -⇔-=⇔=-。

故使12//l l 的a 的值为0或16
-。

解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-
，故使12//l l 的a 的值为0或1
6
-。

例2．过点(0,1)M 作直线l ，使其夹在两直线1:3100l x y -+=，和1:280l x y +-=之间的线段被M 平分，求直线l 的方程。

【思路点拨】求直线方程需两个条件，现已知l 过(0,1)M ，需再求出l 上的一个点或l 的斜率。

【解析】方法一：设11l l P =, 22l l P =, 12l l P =. 过M 作MQ//l
1交l 2于Q 点，则Q 为PP 2中点， 由⎩⎨
⎧=-+=+-0820103y x y x 解得⎩
⎨⎧==42
y x ，∴点P 坐标为（2，4），
又MQ 的方程为：y-1=3
1
（x-0），即x-3y+3=0,
∴ 由⎩⎨
⎧=-+=+-082033y x y x 得⎩⎨⎧==2
3
y x ，∴Q 点坐标为（3，2）。

由中点坐标公式可得P 2坐标为（4，0），
∴ 由两点式可得直线l 的方程为：14
x
y +=即x+4y-4=0。

方法二：由图示可得l 的斜率存在，故设l 的方程为y=kx+1，
由⎩
⎨⎧+==+-10103kx y y x 得P 1点坐标为（137-k ，131
10--k k ），
由⎩
⎨
⎧+==-+1082kx y y x 可解得P 2点坐标为（27+k ，22
8++k k ），
∵M （0，1）是P 1P 2的中点，∴137-k +2
7
+k =0，解之得k=-41，
∴ 直线l 的方程为：1
14
y x =-
+，即x+4y-4=0. 方法三：设P 1坐标为（m, n ），由M （0，1）为P 1P 2中点，∴ P 2点坐标为（-m,2-n ）， ∵P 1∈l 1, P 2∈l 2. ∴有m-3n+10=0, 2m+n+6=0. 由⎩⎨
⎧=++=+-0620103n m n m ，解得⎩
⎨⎧=-=24
n m ，
由两点式可得l 方程：
24
1204
y x -+=
-+即x+4y-4=0。

【总结升华】两个条件确定直线，求直线方程可用直接法也可用待定系数法。

熟练运用中点坐标公式，灵活运用直线方程形式，对简化解题过程是十分必要的。

举一反三： 【变式1】直线l 与直线x=1相交于P 点，与直线9x+3y-1=0相交于Q 点，并且线段PQ 的中点为（3
1
, 3），那么直线l 的斜率是（ ） （A ）
52 （B ）25 （C ）-52 （D ）-2
5
【答案】B
【解析】设P （1，y 1），由P ，Q 中点为（
3
1
，3）， 故Q 点横坐标为-
31，代入9x+3y-1=0中得Q （-31，34）， 所以得P （1，314），∴tan θ=2
5
.
例3．求直线20x y --=①关于直线330x y -+=②对称的直线方程． 【思路点拨】求出交点坐标，转化为求点关于直线的对称点的问题．
【答案】7x+y+22＝0
【解析】由①②得交点5922P ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，取直线①上点A （0，-2）
．设A 关于直线②的对称点为000()A x y ，，
则有00002
310
233022
y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，，
解得0031x y =-⎧⎨=-⎩，.
故所求直线过点5
922⎛⎫
--
⎪⎝⎭
,，(31)--,，所求直线方程为7x+y+22＝0． 【总结升华】本题利用转化思想，将对称直线问题转化成对称点问题，在中学数学中，转化与化归是最基本、最重要的思想方法之一，它无处不在． 举一反三：
【变式1】（2015年
宁夏固原模拟）光线从点(1A - 射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这
时反射光线恰好过点(2,C ，则光线BC 所在直线的倾斜角为（ ）
A ．
6π B ．3
π
C ．23π
D ．56π
【答案】B
【解析】点A 关于x
轴的对称点为(1,A '-，
A '在直线BC 上，
∴ 直线BC
的斜率是BC k ===
∴ 直线BC 的倾斜角是
3
π． 故选：B ．
类型二：圆的方程的综合问题
例4．已知直线mx +2ny －4=0（m ，n ∈R ），将圆22
4240x y x y +---=分成两段相等的弧，求m +n 的值． 【答案】2
【解析】由直线将圆分成等弧可得直线过圆心， 将圆心坐标（2，1）代入直线mx +2ny －4=0， 可得2m +2n =4， 解得：m +n =2．
举一反三：
【变式1】直线l 被圆C:2
2
20x y y +-=所截得的弦的中点是13
(,)22
M -，求直线l 的方程。

【答案】：20x y -+=
【变式2】已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：2
2
612200x y x y +-++=.
（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。

（2）m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长。

【答案】（1）将直线l 整理成点斜式方程32(4)y m x +=-，则直线l 过定点(4,3)A -，斜率为
2k m =.
将圆整理为标准方程2
2
(3)(6)25x y -++=，则圆心(3,6)C -，半径5r =.
∵ ||5AC ==<.
∴点(4,3)A -在圆C 内，故m R ∈时， l 与C 总相交。

（2）由3AC k =，当l 与C 垂直时，l 被C 截得弦长最短， ∴当123k m ==-即1
6
m =-
时，弦长最短，
设弦端点为P 、Q ，则||PQ ==
类型三：直线与圆的方程的综合问题
例5．已知⊙C ：2
2
(1)(2)2x y -+-=，点P （2，-1），过点P 作⊙C 的切线，切点为A 、B ． （1）求切线PA 、PB 的方程； （2）求线段PA 的长；
（3）求过A 、B 两点的直线方程； （4）求弦AB 的长．
【思路点拨】用切线的几何特征、平面几何知识解题． 【解析】（1）∵ （2-1）2+（-1-2）2＝10＞2， ∴ 点P （2，-1）在⊙C 外．
由题意知过点P 的切线的斜率存在． 设所求圆的切线方程为y+1＝k （x -2）， 即210kx y k ---=．
由圆心C （1，2，
=，解得k ＝7或k ＝-1．
故所求切线方程为7150x y --=或10x y +-=． （2）在Rt △APC 中，|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝8，
∴ ||PA =
（3）以P 为圆心，|AP |的长为半径的圆的方程为2
2
(2)(1)8x y -++=，线段AB 为⊙C 与⊙P 的公共弦，由圆系方程知，公共弦AB 所在的直线方程为330x y -+=．
（4）圆心C 到弦AB 的距离为
d =
=
，圆半径r =
||AB === 【总结升华】用圆系方程求解过A 、B 两点的直线方程的方法值得重视． 举一反三：
【变式1】（2016 湖南衡阳模拟）已知曲线C ：x 2+y 2+2x +4y +m =0． （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆？
（2）若直线l ：y =x ―m 与圆C 相切，求m 的值． 【思路点拨】（1）把已知方程配方，由5―m ＞0求得m 的取值范围； （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得m 值． 【答案】（1）m ＜5；（2）m =±3 【解析】（1）由C ：x 2+y 2+2x +4y +m =0， 得（x +1）2+（y +2）2=5―m ， 由5―m ＞0，得m ＜5．
∴当m ＜5时，曲线C 表示圆；
（2）圆C 的圆心坐标为（―1，―2）． ∵直线l ：y =x －m 与圆C 相切，
=
解得：m =±3，满足m ＜5． ∴m =±3．
类型四：空间直角坐标系
例6．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝AC ＝a ，AA 1＝2a ，E 、F 分别是CC 1、A 1B 1的中点，建立适当的坐标系，写出E 、F 的坐标，并求EF 的长度．
【思路点拨】充分利用直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中的垂直关系，建立空间直角坐标系． 【答案】32
a 【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E （0，a ，a ），022a
F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
，，
∴ 3||2EF a ==． 【总结升华】正确建立坐标系是用坐标法解几何问题的关键．
举一反三：
【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值。

【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点。

【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==
当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）。