昌图县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昌图县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ）A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
2． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种
3． 已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且
P 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>1F 2F ，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率
12PF PF ⊥2PF M N N 2PF 是（ ）
A.
B.2
D.5
2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.4． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（
）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
5． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
6． 已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为，
M N 、2
4y x =F MN 2
，则直线的方程为（ ）
||||10MF NF +=MN A ． B ．
240x y +-=240x y --= C ． D ．20x y +-=20
x y --=7． 是平面内不共线的两向量，已知，，若三点共线，则的值是
12,e e 12AB e ke =- 123CD e e =-
,,A B D （ ）A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
8． 下列满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0且f ′（x ）≤0”的函数是（ ）
A ．f （x ）=﹣xe |x|
B ．f （x ）=x+sinx
C ．f （x ）=
D ．f （x ）=x 2|x|
9． “双曲线C 的渐近线方程为y=±x ”是“双曲线C 的方程为﹣
=1”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分不必要条件
10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
11．设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（ ）
44N =S A ．
B ．
C ．
D ．251253255260
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.
二、填空题
13．已知向量若，则（ ）
(1,),(1,1),a x b x ==- (2)a b a -⊥ |2|a b -=
A ．
B ．
C ．2
D 23【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
14．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．15．若展开式中的系数为，则__________．
6
()mx y +3
3
x y 160-m =【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．16．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数；
②在区间（1，3）内f （x ）是减函数；③在x=2时，f （x ）取得极大值；④在x=3时，f （x ）取得极小值．其中正确的是 ．
17．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 23
1
22n n -④当时，函数的零点个数为，函数的
0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅--零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

18．函数（）满足且在上的导数满足，则不等式
)(x f R x ∈2)1(=f )(x f R )('x f 03)('>-x f 的解集为
.
1log 3)(log 33-<x x f 【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高
要求，难度大.
三、解答题
19．已知m ≥0，函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．（Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若实数a ，b ，c 满足a ﹣2b+c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．
20．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
21．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
22．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2
，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
23．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F C P ⎛ ⎝1
PF 交轴于，且为坐标原点．
y Q 22,PF QO O =
（1）求椭圆的方程；
C （2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率M C M ,MA MB ,A B 分别为，且，证明：直线过定点．
12,k k 122k k +=AB 24．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．
昌图县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，
∴sinA=2sinBcosB，
根据正弦定理==2R得：
sinA=，sinB=，
代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．
故选D
2．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
3．【答案】A.
【解析】
4．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan =2，lg =﹣1，∴（2tan ）⊗lg =（2tan
）×（lg
+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne ⊗（
）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．故选：C ．　
5． 【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D 选项中的命题是错误的故选D 6． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设，那么，，∴线段的中点坐标为
1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN .由，两式相减得，而
，∴，∴
(4,2)2114y x =2
224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-12
22
y y +=12121y y x x -=-直线的方程为，即，选D ．MN 24y x -=-20x y --=7． 【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理．8． 【答案】A
【解析】解：满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0，且f ′（x ）≤0”的函数为奇函数，且在R 上为减函数，
A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．
9．【答案】C
【解析】解：若双曲线C的方程为﹣=1，则双曲线的方程为，y=±x，则必要性成立，
若双曲线C的方程为﹣=2，满足渐近线方程为y=±x，但双曲线C的方程为﹣=1不成立，即充分性不成立，
故“双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为﹣=1”的必要不充分条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线和渐近线之间的关系是解决本题的关键．
10．【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
11．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】A
【解析】
14．【答案】　m ＞1　．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0，
解得m ＞1，
故答案为：m ＞1
15．【答案】2
-【解析】由题意，得，即，所以．
336160C m =-3
8m =-2m =-16．【答案】　③　．
【解析】解：由 y=f'（x ）的图象可知，
x ∈（﹣3，﹣），f'（x ）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f （x ）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x ）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f （x ）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f （x ）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
17．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，1[]x x x -<≤{}22sin cos []1x x +=，即.当 时，，，此时{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}22sin sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由3[12(1)]n n +++-+= 23122
n n -
18．【答案】)
3,0(【解析】构造函数，则，说明在上是增函数，且x x f x F 3)()(-=03)(')('>-=x f x F )(x F R .又不等式可化为，即，
13)1()1(-=-=f F 1log 3)(log 33-<x x f 1log 3)(log 33-<-x x f )1()(log 3F x F <
∴，解得.∴不等式的解集为.
1log 3<x 30<<x 1log 3)(log 33-<x x f )3,0(三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|=|2x ﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x ﹣2）﹣（2x+m ）|=|m+2|
∵m ≥0，∴f （x ）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f （x ）max =m+2，又f （x ）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a 2+b 2+c 2）[12+（﹣2）2+12]≥（a ﹣2b+c ）2，
∵a ﹣2b+c=m=1，∴
，当，即时取等号，∴a 2+b 2+c 2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（4，2），
∴log a 4=2，a=2，则g （x ）=log 2x ．…
∵函数y=f （x ）的图象与g （X ）的图象关于x 轴对称，∴．…
（Ⅱ）∵f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），∴，即
，解得1＜x ＜3，所以x 的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因f （x ）=2x 3+ax 2+bx+1，故f ′（x ）=6x 2+2ax+b
从而f ′（x ）=6
y=f ′（x ）关于直线x=﹣对称，
从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f ′（x ）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=2x 3+3x 2﹣12x+1
f ′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x ﹣1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；
当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．
22．【答案】
【解析】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵
，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，
，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．　
23．【答案】（1）；（2）证明见解析.2
212x y +=【解析】
试
题解析：（1），∴，∴，
22PF QO = 212PF F F ⊥1c =，2222221
121,1a b c b a b
+==+=+
∴，22
1,2b a ==即；2
212
x y +=（2）设方程为代入椭圆方程
AB y kx b =+，，22212102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭22221,1122A B A B kb b x x x x k k --+==++A ，∴，11,A B MA MB A B y y k k x x --==()112A B A B A B A B MA MB A B A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+==A ∴代入得：所以， 直线必过．1
1k b =+y kx b =+1y kx k =+-()1,1--考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
24．【答案】
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C 1在第一象限时，过C 1作C 1D 垂直于x 轴，C 1B 垂直于y 轴，连接AC 1，
由C 1在直线y=x 上，得到C 1B=C 1D ，则四边形OBC 1D 为正方形，
∵与y 轴截取的弦OA=4，∴OB=C 1D=OD=C 1B=2，即圆心C 1（2，2），
在直角三角形ABC 1中，根据勾股定理得：AC 1=2
，
则圆C 1方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=8；
当圆心C 2在第三象限时，过C 2作C 2D 垂直于x 轴，C 2B 垂直于y 轴，连接AC 2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．。