代数法和组合意义法证明组合恒等式

代数法和组合意义法证明组合恒等式
组合恒等式是组合数学中一个重要定理。

它的形式为：
$C_m^n=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^n$
证明组合恒等式，最常用的方法是代数法和组合意义法。

以代数法为例证明组合恒等式，首先我们将LHS的$C_m^n$表示为：
$C_m^n=\frac{m \times (m-1) \times ... \times (m-n+1)}{n \times (n-1)
\times ... \times 1}=m(m-1)\dots (m-n+1) \div n(n-1) \dots 1$
由于左侧的作分母时有n个因子，我们暂且将其表示为 S 的乘积：
$S=n(n-1) \dots 1$
根据上面的公式，将左侧记为$C_{m-1}^{n-1}$部分写为如下形式：
$C_{m-1}^{n-1}=m(m-1)(m-2)\dots (m-n+1)\div S$
将 RHS 写为$C_{m-1}^n$，我们可以将它写为：
接下来我们对以上二者进行比较。

由于$C_{m-1}^{n-1}$部分多一个变量m，
将它乘以m，然后把 S 放在分母中，我们可以得到：
另一方面，$C_{m-1}^n$有一个变量减少，但分母还是$S$，所以：
综上所述，经过代数法证明，可知组合恒等式是成立的。

首先，我们考虑有m个元素的集合$A=\{a_1,a_2,a_3,...,a_m\}$，其中，任取n个元素的组合称为$A$的子集，令其中一个子集为$B=\{b_1,b_2,...,b_n\}$(注意，子集的元素的顺序无关紧要，只要有n个元素即可)。

对于该集合，从$A$中取出n个元素组成子集的方法分两种情况：
第一种情况是$B$中不包含$a_m$元素，即$B'=\{b_1,b_2,...,b_{n-1}\}$，此时有$C_{m-1}^{n-1}$种组合。

由上面的分析，可以得到下面表达式：
因此，组合恒等式证毕，本题得证。

通过以上两种证明方法，可以得出组合恒等式是正确的。