【压轴卷】高中必修二数学下期中一模试卷(含答案)(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中一模试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．设曲线3
1
x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4
B ．14
-
C ．
14
D ．4
2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．202π+
B ．203π+
C ．242π+
D ．243π+
3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积
为（ ） A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
4．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆2
2
0x y kx ++=上两个不同点，P 是圆2
2
0x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则
PAB ∆面积的最大值是（ ）
A ．32
B ．4
C ．6
D ．32+
5．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个 C ．有无限多个 D ．不存在 6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )
A ．1
B ．1-
C ．2-或1
D ．2或1
7．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6
π
，则球O 的表面积为（ ） A ．20π
B ．40π
C ．80π
D ．160π
8．已知圆O ：2
2
24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）
A ．42
B ．24
C ．21
2
D ．6
9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．正方形
D ．正六边形
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
11．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．34a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
12．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）
A ．20＋3π
B ．24＋3π
C ．20＋4π
D ．24＋4π
二、填空题
13．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线
A 1
B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．
14．直线与圆交于两点，则________．
15．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r
；
②∠BAC ＝60°；
③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；
④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）
17．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则
该三棱锥的外接球面积为________.
18．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．
19．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.
20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x -有两个公共点，则b 的取值范围是______.
三、解答题
21．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .
（1）求证：A E BC '⊥；
（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.
22．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成
角的正弦值.
23．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
24．如图，在ABC V 中AC BC ⊥且点O 为AB 的中点，矩形ABEF 所在的平面与平面
ABC 互相垂直.
（1）设EC 的中点为M ，求证：//OM 平面ACF ； （2）求证：AC ⊥平面CBE
25．已知圆()2
2:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．
（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．
26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】
解：由31
x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线3
1
x y x +=
-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．
2．B
解析：B 【解析】
该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为
221
5221122032
S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．
3．A
解析：A 【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.
详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，
PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，
所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即2R =
=
246R ππ=，故选A.
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；
②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大
1+，PAB S ∆最大值为3 【详解】
由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2
k
，0）在直线x-y-1=0上， ∴-
2
k
-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -
+2
y
=1，即x-y+2=0
∴圆心到直线AB 的距离为
2
.
∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB =⨯= 故选D ． 【点睛】
主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为
圆心到直线距离加上半径.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】
在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面
ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】
此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应
a 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为1
22x y a a a
+=--，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a
2a a
-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a
r A
=
=，
2
2
2
2SA R r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得答案.
【详解】
SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6
SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin a
r A
=
=，设球O 的半径为R ，
则2
2
2
2SA R r ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，解得
R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222
128d d MO +==，
1
2S AC BD =
⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2
2
1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.
()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.
11
22
S AC BD =
⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
画出截面图形如图
显然A正三角形C正方形：
D正六边形
可以画出三角形但不是直角三角形；
故选A．
用一个平面去截正方体，则截面的情况为：
①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；
②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；
③截面为五边形时，不可能是正五边形；
④截面为六边形时，可以是正六边形．
故可选A．
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为
，故选C ．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=11
13AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=
3
3
a
． 故选:B ． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体， 下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，
故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.
二、填空题
13．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其
10 【解析】 【分析】
连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案． 【详解】 如下图所示：
连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，
易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o
，由勾股定理可得15CM D M ==
，12CD =，
N Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110
cos D N CD M D M ∠=
=， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为10
5
． 【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
14．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：
【解析】 【分析】
首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】
根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为
，且半径是，
根据点到直线的距离公式可以求得
，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
【点睛】
该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
15．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1
解析：4
【解析】
【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数．
【详解】
解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1．
第一条：AC1是满足条件的直线；
第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；
第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；
第四条：延长C1A1到C4且C4A12
，AC4是满足条件的直线．
故答案为4．
【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
16．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC 数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC
解析：②③
【解析】
【分析】
①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC＝BC，三角形为等边三角形，得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．
【详解】
BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；
DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】
本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．
17．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π
【解析】 【分析】
由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】
∵PA PB ==AC BC ==
PC =，
∴222222
,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，
以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
设外接球半径为R ，则2222
(2)7R CA CB CP =++=，2
R =
，
球表面积为22
447.S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】
本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
18．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围
解析：3
2
a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】
判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】
解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，
计算513402PA k +=
=-，21
310
PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：3
2
a ≤-或3a ≥． 故答案为：3
2
a ≤-或3a ≥． 【点睛】
本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
19．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动
解析：. ① ② ④ 【解析】
对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面
11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中
点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得
1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②
④.
20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：)
1,2⎡⎣
【解析】 【分析】
由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二
是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

【详解】
如图所示，21y x =-是个以原点为圆心，1为半径的半圆，y x b =+是一条斜率为1的直线，要使直线l 与曲线C 有两个交点，过()1,0A -和()0,1B 作直线，直线l 必在AB 左上方的半圆内平移，直到直线与半圆相切.当直线l 与AB 重合时，1b =；当直线l 与半圆相切时，2b =
.所以b 的取值范周是)
1,2⎡⎣.
【点睛】
本题主要考查直线与圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于一般题。

三、解答题
21．（1）证明见解析（23
【解析】 【分析】
（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；
（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得3
A O '=
A O
B '中得3sin 4
A BO '∠=
. 【详解】
（1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥ 又∵A B A C A '''⋂= ∴A E '⊥面A BC ' ∴A E BC '⊥.
（2）∵点A '在底面上的射影为O .
∴AO '⊥面BCDE
∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角. 延长EO 交BC 于H ，连接A H ' 如图：
∵A E BC '⊥，AO BC '⊥
且A O A E A '''⋂= ∴BC ⊥面A EO ' ∴BC EO ⊥ ∵E 为AD 中点 ∴H 为BC 中点 ∵1A E '=，2EH = 由（1）知A E A H ''⊥ ∴60A EH '=︒ ∴3
A O '=
∴3
32sin 2A O BO A A B '∠==
''=所以直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值为3
4
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 22．（1）见解析；（27
【解析】 【分析】
（1）连接辅助线构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，通过二面角D AE C --为60°，利用平面法向量求出点B 的坐标，再利用法向量求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值. 【详解】 （1）如图，
连接BD ，且BD AC O ⋂=，则在矩形ABCD 中O 为BD 中点， 且在PBD △中，E 为PD 的中点， ∴//OE PB
且OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ；
（2）如图以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，
1AP =，3AD BC ==，
设AB CD a ==，()0,0,0A ， ()
3,0C a ，()
3,0D ，312E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
∴()
AC a =u u u r
，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r
，()
AD =u u u
r 设平面AEC 、平面AED 和平面ECD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u r ，()2222,,n x y z =u u r
， ()3333,,n x y z =u u r
则有11
00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，
∴111
11
0220
y z ax +=⎨⎪+=⎩，
令1x
)
1n a =-u r
，
同理可得()21,0,0n =u u r
，()
3n =u u r ，
∵二面角D AE C --为60°
∴
1212
1
cos 602n n n n ⋅︒==u r u u r
u r u u r ，
12
=
， 解得32
a =
，
∴32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
，()
3n =u
u r ，
设AC u u u r 与3n u
u r 所成角为θ，
∴33cos 7n AC n AC
θ⋅===u u r u u u r u u r u u u r ， 即直线AC 与平面ECD
. 【点睛】
本题考查用线面平行判定定理证明线面平行，用空间向量求线面所成角，考查推理论证能力、运算求解能力和转化与化归思想，是中档题. 23．（1
）；（2）2． 【解析】
试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．
（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解
试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
1=
，解得：1244,33k k +==．
故当
4433
k <<
，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．
（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，
由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程
()()
22
231x y -+-=，
可得(
)()2
2
14170k
x
k x +-++=，
∴()12122
2
417
,11k x x x x k k
++=
=
++， ∴()()()22
121212122
1241
1111k k y y kx kx k x x k x x k
++=++=+++=+， 由212122
1248·121k k OM ON x x y y k ++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k=1，
故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 24．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN ，可知四边形ANMO 为平行四边形，从而可知
//OM AN ，由线面平行的判定定理可证//OM 平面ACF .
（2）由BE AB ⊥以及平面ABEF ⊥平面ABC ，可得BE ⊥平面ABC ，从而可证
BE AC ⊥，结合AC BC ⊥，即能证明AC ⊥平面CBE .
【详解】
证明：（1）取CF 中点N ，连结AN ，MN .Q M 为CE 中点，//MN EF ∴且
1
2
MN EF =
. 又在矩形ABEF 中，//AB EF 且AB EF =，//MN AB ∴且12MN AB =
.
O Q 为AB 中点，//MN OA ∴且MN OA =.∴四边形ANMO 为平行四边形,
∴//OM AN ，且OM ⊄平面ACF ，AN ⊂平面ACF ，//OM Q 平面ACF . （2）由平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF I 平面ABC AB =，BE ⊂平面ABEF Q 矩形ABEF 中，BE AB ⊥，∴BE ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴BE AC ⊥ 又AC BC ⊥且BC BE B =I ，,BC BE ⊂平面CBE ，AC ∴⊥平面CBE .
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了面面垂直的性质.证明线线平行时，常结合三角形的中位线、平行四边形的对边、线面平行的性质.证明线线垂直时，常结合勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直、线面垂直、面面垂直的性质.
25．(1) 13+24y x = (2) 462
【解析】
【分析】
(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.
【详解】
（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112
CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =
-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2
y x = 圆心C 到直线l 的距离为1103222
d -+
==2，
∴弦AB 的长为=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.
26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】
【详解】
（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4
-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43
k -==； BC 5231--34
k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥
∴△ABC 为直角三角形
（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
半径为r=|AC |=22
， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。