2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测八函数的图象含解析

课时跟踪检测(八) 函数的图象
一、题点全面练
1．函数f (x )＝x e
－|x |
的图象可能是( )
解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x
，因为e －x
＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.
2.若函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
ax ＋b ，x <－1，
x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－
3)等于( )
A ．－1
2
B ．－54
C ．－1
D ．－2
解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋5，x <－1，
x ＋，x ≥－1，
故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )
A ．y ＝ln(1－x )
B ．y ＝ln(2－x )
C ．y ＝ln(1＋x )
D ．y ＝ln(2＋x )
解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a
2对称，令a ＝
2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.
4．已知f (x )＝⎩⎨
⎧
－2x ，－1≤x ≤0，
x ，0＜x ≤1，
则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D 在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.
5．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )
解析：选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．
6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )
解析：选 A ∵f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·s in x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－
⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x
1＋e x －1·sin x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋e 2－1·sin 2＜0，故排除B ，选A.
7.若函数f (x )＝(ax 2
＋bx )e x
的图象如图所示，则实数a ，b 的
值可能为( )
A ．a ＝1，b ＝2
B ．a ＝1，b ＝－2
C ．a ＝－1，b ＝2
D ．a ＝－1，b ＝－2
解析：选B 令f (x )＝0，则(ax 2
＋bx )e x
＝0，解得x ＝0或x ＝－b
a ，由图象可知，－
b a
＞1，又当x ＞－b a
时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.
8．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x,
2x －3,6－x }，则M 的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选C 画出函数M ＝max{2x,
2x －3,6－x }的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.
9.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )
解析：选B 由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.
10.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．
解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1.
∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集
为{x |－1<x ≤1}．
答案：{x |－1<x ≤1}
11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
12．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；
(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x x －a ，x ≥0，
－x x －a ，x ＜0，
其图象如图所示．
(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，a
2.
(3)由图象知，当a
2
＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；
当0＜a
2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＝－a 2
4.
综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2
4
，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·大同质检)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称( )
A ．(1,0)
B ．(－1,0)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0 解析：选C 因为f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故f (2x )关于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0成中心对称． 2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．
当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．
3．(2019·合肥质检)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，
f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x
－a (e 为自然对数的底数)
的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．
解析：依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x
－a ＝－(e －x
－
a )，即a ＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫
e x
＋1e
x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是
(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
(二)素养专练——学会更学通
4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、
直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )
解析：选C 由y ＝f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.
5．[直观想象]已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x
－1，x ≤0，
f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两
个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞)
解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1
为周期的函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝2
1－x
－1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1.方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个
函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数
a 的取值范围是(－∞，1)．
(三)难点专练——适情自主选
6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1
x
＋2的图象关于点A (0,1)对称．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a x
，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在
h (x )的图象上，
即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)．
(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋
a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1
x
2.
∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－
a ＋1x
2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2
在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，
故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 7．若关于x 的不等式4a x －1
<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值
范围．
解：不等式4a x －1
<3x －4等价于a
x －1
<3
4
x －1. 令f (x )＝a
x －1
，g (x )＝3
4
x －1，
当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a
2－1
≤3
4
×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12.。